Taşıyabileceğin ağırlıklar

72. ders, her pozisyonun aynı büyüklükte olduğu bir defteri fiyatladı ve her birine ne kadar gireceği sorusunu bu sayfaya bıraktı. Standart makinenin verdiği yanıt, 71. dersin dört kuralı ve aynı yirmi dokuz hareket üzerinde şudur: 0,746, 0,078, eksi 0,672 ve 0,848. Günün standart sapmasını yüzde 9,72 kısıyor; bu, her biri yüzde iki olan dört pozisyonda günün 0,71 yüzde puanı eder. Ayrıca senden kendi kurallarından birinin üçte ikisini açığa satmanı ve hesaptaki her dolar için 2,35 dolarlık pozisyon taşımanı istiyor. Açığa satışı yasakla, yanıt 0,711 ve 0,289 olur, iki kural sıfıra iner; bu da kısmanın yüzde 80’ini korur, hesabın her doları için bir dolarlık pozisyon tutar ve kendi verinden altmış gün biriktirene kadar kısıtsız yanıtı yener.

Ön koşullar: 72. ders, bu sayfanın yeniden ağırlıklandırdığı eşit ağırlıklı defter için, 71. ders, dört kural ve onların altı korelasyonu için, ve ders 12, işlem hacminle birlikte büyüyen maliyet için.

Amaç işlevinin içinde gerçekte ne var

Asgari varyans tek satırdır. Tuttuğun şeylerin kovaryans matrisini al, tersini al, birlerden oluşan bir sütunla çarp ve ağırlıklar bire toplansın diye toplama böl. Yöntemin tamamı budur, kapalı bir biçimi vardır ve dört kural üzerinde herhangi bir hesap tablosu bunu bir dakikada yapar.

w = Σ⁻¹1 / (1′Σ⁻¹1)

İçinde ne olduğunu, daha da önemlisi ne olmadığını oku. Beklenen getiri yok, ve bu bilinçli: 67. ders bir R’nin onda birinin gerçek olup olmadığını karara bağlamak için 589 işleme ihtiyaç duyuyordu, dolayısıyla her kuralın ne kazanacağına dair bir tahmin binadaki en güvenilmez sayıdır ve ona ihtiyaç duyan bir amaç bunu miras alır. Maliyet yok. Hiçbir kısıt yok. Formül hiçbir açıklama yapmadan negatif bir ağırlık döndürür, ve negatif, açığa satış demektir.

Girdiler 71. dersin seçtiği dört kuraldır: 2 barlık ortalamaya karşı 5, 3’e karşı 10, 5’e karşı 20 ve 8’e karşı 30; hepsi 63. dersin ızgarasındaki her kuralın tanımlı olduğu yirmi dokuz hareket üzerinde. Altı korelasyonu 71. dersinkilerdir, 0,6254’ten 0,9648’e. Standart sapmaları birbirine yakındır: kuralların döndürdüğü birimlerde 0,6015, 0,7104, 0,7278 ve 0,7082.

Dört ağırlıklandırmayı yan yana koymaya değer. Eşit ağırlıklar, 72. dersin varsaydığıdır. Ters varyans, acelesi olanların risk paritesinden kastettiği şeydir: her kuralın varyansının tersiyle ağırlıklandır ve korelasyonları büsbütün yok say. Sonra açığa satışın yasaklandığı asgari varyans yanıtı, ve hiçbir şeyin yasaklanmadığı aynı yanıt.

Ağırlıklandırma	Ağırlıklar	Dolar başına pozisyon	Günün standart sapması	Kısma
Eşit	0.25, 0.25, 0.25, 0.25	1,000	0,62719	—
Ters varyans	0.320, 0.230, 0.219, 0.231	1,000	0,61520	%1,91
Asgari varyans, açığa satışsız	0.711, 0, 0, 0.289	1,000	0,57813	%7,82
Asgari varyans	0,746, 0,078, −0,672, 0,848	2,345	0,56624	%9,72

Tartışmanın büyüklüğüyle başla. En üst satırdan en alta kadarki mesafenin tamamı 0,06095’tir, 0,62719’luk bir başlangıca karşı. Portföy kurmanın bu defter hakkında söyleyecek her şeyi, en kaba kuraldan yanıtlar elde tutularak hesaplanmış tam en iyiye kadar, günün standart sapmasının yüzde 9,72’si kadar değerlidir. Pozisyon başına yüzde iki ile ve 71. dersin bu dördü için verdiği 0,7695’lik ortalama korelasyonda eşit ağırlıklar günü yüzde 7,276 yapar, en iyi ise yüzde 6,568. Ödülün tamamı günde bir yüzde puanının onda yedisidir. Alınmaya değer ve büyük bir zahmete değmez, ve başlamadan önce hangisi olduğunu bilmek bu sayfanın büyük ölçüde varlık nedenidir.

Sonra ikinci satırı oku, çünkü insanların gerçekten koşturduğu odur. Ters varyans mevcut 9,72’nin yüzde 1,91’ini toplar, yani beşte birini. Başarısız olur, çünkü dört standart sapma neredeyse aynıdır, dolayısıyla onlara göre ağırlıklandırmak neredeyse hiçbir şeyi kımıldatmaz, ve çünkü bu defterdeki ödülün tamamı korelasyonların içinde yaşar. Korelasyonları 0,63 ile 0,96 arasında gezinen bir kural kümesinde korelasyonları yok sayan bir ağırlıklandırma, bu defterin sahip olmadığı bir sorunu çözüyordur.

Sonra da asıl önemli olan ikisi. Kısıtsız yanıt günden bir 1,90 yüzde puan daha alır, kısmayı yüzde 7,82’den 9,72’ye taşır, ve bunu 0,672’lik bir açık bacakla ve hesabın her doları için 2,345 dolarlık brüt pozisyonla satın alır. Kısıt, ödülün beşte birine mal olur ve kaldıracın tamamını kaldırır.

Neredeyse kimse ikisini birden hesaplamadı. Kısıtsız sayı, her ders kitabının ve her kod kütüphanesinin varsayılan olarak döndürdüğü şeydir; kısıtlı olan dört satır ötededir, ve aralarındaki fark, tarif edebileceğin bir portföy ile taşıyabileceğin bir portföy arasındaki farktır.

9. modülün kartı üçüncü bir sütun kazanıyor: bu sayfanın her kurala verdiği ağırlık, iki kez yazılmış olarak; bir kez eniyileyicinin döndürdüğü hâliyle, bir kez de açığa satış yasaklanmış hâliyle. Kartın tamamının birden harcandığı yer 75. derstir.

Yirmi dokuz günün neyi ödeyebileceği

Yukarıdaki ağırlıklar on sayıdan çıktı — dört varyans ve altı kovaryans — ve bunlar yirmi dokuz gözlemden tahmin edildi. Bu ne açıkça çok az, ne de açıkça yeterli; o yüzden tartışmak yerine ölç.

Yukarıda ölçülen kovaryansa gerçekmiş gibi davran. Ondan T gözlem çek, eniyileyiciyi elindeki her şey oymuş gibi o çekime uydur, sonra çıkan ağırlıkları yola çıktığın gerçeğe karşı puanla. Puan ile gerçek en iyi arasındaki açıklık tahmin hatasıdır ve bu deneyin içerdiği tek şey odur.

Gözlem	Uydurulan ağırlıkların gerçekten teslim ettiği standart sapma	Ödülün ulaşan payı	Açığa satışsız yanıtı yener
29	0,59971	%45,1	%21,7
60	0,58154	%74,9	%50,1
125	0,57312	%88,7	%82,9
250	0,56969	%94,3	—
1.000	0,56708	%98,6	—

İlk satır, bu sayfanın açılışta verdiği ağırlıklar hakkındaki dürüst karardır. Yirmi dokuz gözleme uydurulduğunda kısıtsız eniyileyici, bastığı 0,56624 yerine 0,59971 teslim eder; yani ödülün tamamı yerine yüzde 45,1’i. Yine de eşit ağırlıkları yener, hem de rahatça: bu defterde eniyileyici bir hata değildir ve N’ye bölmenin her zaman kazandığı yolundaki yaygın inanç, aritmetiğin söylediği şey değildir.

Dördüncü sütun bulgudur. Yirmi dokuz gözleme uydurulan kısıtsız yanıt, kısıtlı olanı zamanın yüzde 21,7’sinde yener. Beş kezin dördünde, taşıyamadığın ağırlıklar aynı zamanda kaybeden ağırlıklardır. Bunun yazı tura hâline gelmesi için altmış gözlem, kısıtsız yanıtın altıda beş kazanması için 125 gözlem gerekir, ve 125 günlük gözlem, kapanış olarak altı aydır.

Şimdi ağırlıkların neyi teslim ettiğine değil, ağırlıkların kendisine bak. Yirmi dokuz günü yerine koyarak dört bin kez yeniden çek, yeniden uydur ve her yüzden ortadaki doksan sonucu oku:

2-ve-5, uydurulan değer 0,746: 0,377 ile 1,081 arasına düşüyor.

3-ve-10, uydurulan değer 0,078: eksi 0,916 ile 0,635 arasına düşüyor ve zamanın yüzde 44,7’sinde negatif.

5-ve-20, uydurulan değer eksi 0,672: eksi 1,504 ile eksi 0,011 arasına düşüyor.

Brüt pozisyon, uydurulan değer 2,345: medyan 2,795, ve yeniden çekimlerin yüzde 31,9’unda hesabın doları başına üç doların üzerinde.

O ağırlıkların teslim ettiği standart sapma durağandır. Ağırlıkların kendisi değildir. Senin verinde 0,078 olan ve kendi yeniden çekimlerinin neredeyse yarısında negatif çıkan bir sayı, bir kural hakkında bir karar değildir; yirmi dokuz günü paylaşamayan on tahminin tortusudur, ve onu üç basamakla basmak yanıltan kısımdır.

Ve kısıt tam burada hakkını verir, üstelik seni kaldıraçtan korumaktan fazlasını yapar. Negatif ağırlıkları yasaklamak, kovaryansın kötü ölçüldüğünü kabul edip onu daha yalın bir şeye doğru çekmeye aritmetik olarak yakındır: bu defterin kovaryansını 72. dersin kullandığı tek ortalama korelasyona doğru yarı yolda büz, eniyileyici 1,076 brüt pozisyon ve 0,57831 standart sapma döndürür; kısıtın 1,000 ve 0,57813’üne karşı. Aynı bilgisizliğin iki ayrı itirafı, birbirinden on binde iki uzakta duruyor.

Ve kısıtlı yanıt 5-ve-20’yi sıfıra indirir; yani tam olarak, geri kalana karşı en yüksek korelasyona sahip olduğu için 71. dersin çıkarmanı söylediği kuralı. Biri korelasyonlarla biri varyansla ölçülen iki ayrı amaç, kaldırılacak aynı kuralı seçiyor.

O hâlde eniyileyiciyi açığa satış yasaklı koştur ve taşıyamadığı 9,72 yerine taşıyabildiği yüzde 7,82’yi al.

Bunun çözmediği şeyler

Asgari varyansın amaç olduğu. O, en az şey isteyen amaçtır, istediğin amaç değil. İçinde hangi kuralın para kazandığını bilen hiçbir şey yoktur, dolayısıyla sessiz ve değersiz bir kural, sessiz olduğu için ağırlık toplar. Bu kurstaki her eşik, bu sayfanın ağırlıkları kümeye uygulanmadan önce her kurala uygulanır: 64. dersin çıtası, 67. dersin sınaması, 70. dersin filtre koşulu. Dört ölü kuraldan oluşan bir defteri asgari varyansa göre ağırlıklandırmak, para kaybetmenin son derece durağan bir yolunu üretir.

Yüzde 9,72’nin bedava olduğu. Brüt pozisyon bir dolardan 2,345’e çıkar ve işlem hacminle birlikte büyüyen her maliyet onunla birlikte büyür: girerken ve çıkarken 12. dersin farkı, girerken 59. dersin etkisi, hiç taşıyabileceğin büyüklük için 68. dersin kapasitesi. Amaç işlevi bunların hiçbirini içermez, dolayısıyla günlük standart sapmanın bir yüzde puanının onda yedisini, faturayı ikiye katlamak pahasına hiç duraksamadan satın alır. 12. dersteki fonda o takas açıkça değer, mikro sermayede açıkça değmez, ve formül ikisini birbirinden ayıramaz, çünkü ona kotasyonlar hiç gösterilmedi.

Benzetimin hatanın tamamını ölçtüğü. Ölçmüyor ve kuruluşu gereği eniyileyiciyi kayırıyor. Çektiği gerçek, yirmi dokuz günün ürettiği kovaryansın ta kendisidir, dolayısıyla tablonun fiyatladığı şey tahmin hatasıdır, başka bir şey değil. Kovaryansın en baştan yanlış olabileceği hakkında hiçbir şey söylemez, ki bu daha büyük sorundur ve bir sonraki sayfanın konusudur.

Dört kuralın zor durum olduğu. Kolay olan bu. Yirmi dokuz gözlemden on parametre rahatsız edicidir; yirmi kural aynı yirmi dokuz günden 210 parametre demektir, ve yirmi dokuz kuralda ölçülen matrisin tersi büsbütün ortadan kalkar, yani eniyileyici kötü bir yanıt döndürmez, hiçbir yanıt döndürmez. Parametre sayısı kural sayısının karesiyle büyür, veri onunla büyümez; bu yüzden bu sorunun her profesyonel ele alınışı, ölçtüğünün tersini almak yerine matrisi büzmek, kısıtlamak ya da çarpanlarına ayırmak üzerinedir.

Ağırlıkların kurallar hakkında bir karar olduğu. Bunlar bu defter hakkında, bu günlerde alınmış bir karardır. Beşinci bir kural ekle, dört ağırlığın hepsi kımıldar, çünkü amaç işlevinin bir kuralın kendi değeri diye bir kavramı yoktur, yalnızca belirli bir kümeye katkısı vardır. Kartın üçüncü sütunu bu yüzden üzerindeki en taşınmaz şeydir, iki kez yazılmasının sebebi budur ve ikinci yazımın üzerine hareket edilecek olan olmasının sebebi de budur.

Ve en pahalıya mal olan ödün: bu sayfa kovaryansı tek bir pencerede ölçülmüş tek bir nesne gibi ele aldı, oysa o tek bir nesne değil. Aynı yirmi dokuz hareketi ikiye böl: dört kural arasındaki ortalama korelasyon ilk on beşte 0,5966, son on dörtte 0,8800’dür, ve ilk yarıya uydurulan ağırlıklar 0,746, 0,078, eksi 0,672 ve 0,848 yerine 0,448, 0,273, eksi 0,498 ve 0,777’dir. Son on dörtte durum kararsızlıktan da beter: dört kuraldan üçü o günlerin her birinde aynı pozisyonu tutuyor, korelasyonları tam olarak bir, ve kovaryans matrisinin tersi hiç yok. 74. ders oradan başlıyor: bu sayfanın makinesinin çalışmadığı, kendi verinin yarısından.

Problemler

1. Kendi defterini iki yolla ağırlıklandır. Koşturduğun kuralların günlük getirilerini al, hesap tablosunda kovaryans matrisini kur ve asgari varyans ağırlıklarını sıfır tabanlı ve tabansız hesapla. Yarım saat, ve elinde iki ağırlık kümesi ile tek bir sayı kalır: aralarındaki günlük standart sapma farkı, ki açık bacağa ödenen budur.
2. Peşine düşmeden önce ödülü fiyatla. Defterinin standart sapmasını eşit ağırlıklarda ve kısıtsız en iyide hesapla, oranı al. On dakika, ve elinde tek bir sayı kalır: yeniden ağırlıklandırmanın senin için yapabileceği azami şey; bunu bu sayfadaki yüzde 9,72 ile ve en iyinin brüt pozisyonunda maliyetlerinin ne kadar artacağıyla karşılaştır.
3. Kendi ağırlıklarını yeniden çek. Kendi günlerini yerine koyarak çek, ağırlıkları yeniden uydur ve bunu iki yüz kez yap. Bir akşam, ve elinde kural başına tek bir sayı kalır: ağırlığının negatif çıktığı yeniden çekimlerin payı; payı yarıya yakın olan her kural, verinden bir ağırlık almamış demektir.

Kaynaklar. Harry Markowitz, «Portfolio Selection» (The Journal of Finance, 1952), bu sayfanın hesapladığı amaç için ve daha en başta yapılıp genellikle unutulan, girdilerinin tahmin olduğu saptaması için. Richard O. Michaud, «The Markowitz Optimization Enigma: Is Optimized Optimal?» (Financial Analysts Journal, 1989), eniyileyicinin girdilerindeki hataları da geri kalan her şeyle birlikte azamileştirdiği savı için; ikinci tablonun tek cümlede okunmuş hâlidir. Ravi Jagannathan ve Tongshu Ma, «Risk Reduction in Large Portfolios: Why Imposing the Wrong Constraints Helps» (The Journal of Finance, 2003), açığa satış pozisyonlarını yasaklamanın kovaryans matrisini büzmeye denk olduğu sonucu için; burada kısıtlı yanıtla büzülmüş yanıtın aynı yere düşmesinin sebebi budur. Victor DeMiguel, Lorenzo Garlappi ve Raman Uppal, «Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient Is the 1/N Portfolio Strategy?» (The Review of Financial Studies, 2009), eniyilenmiş bir portföyün eşit ağırlıkları yenmesi için gereken tahmin pencereleri için; ikinci tablonun üçüncü sütununun gerektiği gibi ve ölçekli yapılmış hâlidir.

Yalnızca eğitim amaçlıdır. İşlem yapmak önemli ölçüde kayıp riski taşır. Finansal tavsiye değildir. Geçmiş performans gelecekteki sonuçları garanti etmez.