Taşıyabileceğin ağırlıklar

72. ders, her pozisyonun aynı büyüklükte olduğu bir defteri fiyatladı ve her birine ne kadar gireceği sorusunu bu sayfaya bıraktı. Standart makinenin verdiği yanıt, 71. dersin dört kuralı ve aynı yirmi sekiz hareket üzerinde şudur: 0,987, eksi 0,438, eksi 0,705 ve 1,156. Günün standart sapmasını yüzde 10,65 kısıyor; bu, her biri yüzde iki olan dört pozisyonda günün 0,78 yüzde puanı eder. Ayrıca senden kendi dört kuralından ikisini açığa satmanı ve hesaptaki her dolar için 3,29 dolarlık pozisyon taşımanı istiyor. Açığa satışları yasakla, yanıt 0,630 ve 0,370 olur, iki kural sıfıra iner; bu da kısmanın yüzde 59’unu korur, hesabın her doları için bir dolarlık pozisyon tutar ve önceden bilinmek yerine yirmi sekiz güne uydurulduğunda, kısıtsız yanıttan ortalamada daha iyi bir gün verir.

Ön koşullar: 72. ders, bu sayfanın yeniden ağırlıklandırdığı eşit ağırlıklı defter için, 71. ders, dört kural ve onların altı korelasyonu için, ve ders 12, işlem hacminle birlikte büyüyen maliyet için.

Amaç işlevinin içinde gerçekte ne var

Asgari varyans tek satırdır. Tuttuğun şeylerin kovaryans matrisini al, tersini al, birlerden oluşan bir sütunla çarp ve ağırlıklar bire toplansın diye toplama böl. Yöntemin tamamı budur, kapalı bir biçimi vardır ve dört kural üzerinde herhangi bir hesap tablosu bunu bir dakikada yapar.

w = Σ⁻¹1 / (1′Σ⁻¹1)

İçinde ne olduğunu, daha da önemlisi ne olmadığını oku. Beklenen getiri yok, ve bu bilinçli: 67. ders bir R’nin onda birinin gerçek olup olmadığını karara bağlamak için 589 işleme ihtiyaç duyuyordu, dolayısıyla her kuralın ne kazanacağına dair bir tahmin binadaki en güvenilmez sayıdır ve ona ihtiyaç duyan bir amaç bunu miras alır. Maliyet yok. Hiçbir kısıt yok. Formül hiçbir açıklama yapmadan negatif bir ağırlık döndürür, ve negatif, açığa satış demektir.

Girdiler 71. dersin seçtiği dört kuraldır: 2 barlık ortalamaya karşı 5, 3’e karşı 10, 5’e karşı 20 ve 8’e karşı 30; hepsi 63. dersin ızgarasındaki her kuralın tanımlı olduğu yirmi sekiz hareket üzerinde. Altı korelasyonu 71. dersinkilerdir, 0,6282’den 0,9742’ye. Standart sapmaları birbirine yakındır: kuralların döndürdüğü birimlerde 0,6375, 0,7218, 0,7265 ve 0,7032.

Dört ağırlıklandırmayı yan yana koymaya değer. Eşit ağırlıklar, 72. dersin varsaydığıdır. Ters varyans, acelesi olanların risk paritesinden kastettiği şeydir: her kuralın varyansının tersiyle ağırlıklandır ve korelasyonları büsbütün yok say. Sonra açığa satışın yasaklandığı asgari varyans yanıtı, ve hiçbir şeyin yasaklanmadığı aynı yanıt.

Ağırlıklandırma	Ağırlıklar	Dolar başına pozisyon	Günün standart sapması	Kısma
Eşit	0.25, 0.25, 0.25, 0.25	1,000	0,64074	—
Ters varyans	0.297, 0.231, 0.228, 0.244	1,000	0,63502	%0,89
Asgari varyans, açığa satışsız	0.630, 0, 0, 0.370	1,000	0,60021	%6,32
Asgari varyans	0,987, −0,438, −0,705, 1,156	3,287	0,57252	%10,65

Tartışmanın büyüklüğüyle başla. En üst satırdan en alta kadarki mesafenin tamamı 0,06822’dir, 0,64074’lük bir başlangıca karşı. Portföy kurmanın bu defter hakkında söyleyecek her şeyi, en kaba kuraldan yanıtlar elde tutularak hesaplanmış tam en iyiye kadar, günün standart sapmasının yüzde 10,65’i kadar değerlidir. Pozisyon başına yüzde iki ile ve 71. dersin bu dördü için verdiği 0,7887’lik ortalama korelasyonda eşit ağırlıklar günü yüzde 7,339 yapar, en iyi ise yüzde 6,557. Ödülün tamamı günde bir yüzde puanının onda sekizidir. Alınmaya değer ve büyük bir zahmete değmez, ve başlamadan önce hangisi olduğunu bilmek bu sayfanın büyük ölçüde varlık nedenidir.

Sonra ikinci satırı oku, çünkü insanların gerçekten koşturduğu odur. Ters varyans mevcut 10,65’in yüzde 0,89’unu toplar, yani on ikide birini. Başarısız olur, çünkü dört standart sapma neredeyse aynıdır, dolayısıyla onlara göre ağırlıklandırmak neredeyse hiçbir şeyi kımıldatmaz, ve çünkü bu defterdeki ödülün tamamı korelasyonların içinde yaşar. Korelasyonları 0,63 ile 0,97 arasında gezinen bir kural kümesinde korelasyonları yok sayan bir ağırlıklandırma, bu defterin sahip olmadığı bir sorunu çözüyordur.

Sonra da asıl önemli olan ikisi. Kısıtsız yanıt günden bir 4,33 yüzde puan daha alır, kısmayı yüzde 6,32’den 10,65’e taşır, ve bunu toplamı 1,143 olan iki açık bacakla ve hesabın her doları için 3,287 dolarlık brüt pozisyonla satın alır. Kısıt, ödülün beşte ikisine mal olur ve kaldıracın tamamını kaldırır.

Neredeyse kimse ikisini birden hesaplamadı. Kısıtsız sayı, her ders kitabının ve her kod kütüphanesinin varsayılan olarak döndürdüğü şeydir; kısıtlı olan dört satır ötededir, ve aralarındaki fark, tarif edebileceğin bir portföy ile taşıyabileceğin bir portföy arasındaki farktır.

9. modülün kartı üçüncü bir sütun kazanıyor: bu sayfanın her kurala verdiği ağırlık, iki kez yazılmış olarak; bir kez eniyileyicinin döndürdüğü hâliyle, bir kez de açığa satışlar yasaklanmış hâliyle. Kartın tamamının birden harcandığı yer 75. derstir.

Yirmi sekiz günün neyi ödeyebileceği

Yukarıdaki ağırlıklar on sayıdan çıktı, dört varyans ve altı kovaryans, ve bunlar yirmi sekiz gözlemden tahmin edildi. Bu ne açıkça çok az, ne de açıkça yeterli; o yüzden tartışmak yerine ölç.

Yukarıda ölçülen kovaryansa gerçekmiş gibi davran. Ondan T gözlem çek, eniyileyiciyi elindeki her şey oymuş gibi o çekime uydur, sonra çıkan ağırlıkları yola çıktığın gerçeğe karşı puanla. Puan ile gerçek en iyi arasındaki açıklık tahmin hatasıdır ve bu deneyin içerdiği tek şey odur. Her T için yirmi bin çekim, 20260905 tohumundan; böylece üçüncü sütun onda bir puana, dördüncü sütun onda iki puana kadar durağandır.

Gözlem	Uydurulan ağırlıkların gerçekten teslim ettiği standart sapma	Ödülün ulaşan payı	Açığa satışsız yanıtı yener
28	0,60798	%48,0	%50,4
60	0,58781	%77,6	%85,6
125	0,57960	%89,6	%99,1
250	0,57594	%95,0	%100,0
1.000	0,57338	%98,7	%100,0

İlk satır, bu sayfanın açılışta verdiği ağırlıklar hakkındaki dürüst karardır. Yirmi sekiz gözleme uydurulduğunda kısıtsız eniyileyici, bastığı 0,57252 yerine 0,60798 teslim eder; yani ödülün tamamı yerine yüzde 48,0’ı. Yine de eşit ağırlıkları yener, hem de rahatça: bu defterde eniyileyici bir hata değildir ve N’ye bölmenin her zaman kazandığı yolundaki yaygın inanç, aritmetiğin söylediği şey değildir.

Dördüncü sütun bulgudur ve ikinci sütuna karşı okunmalıdır. Yirmi sekiz gözleme uydurulan kısıtsız yanıt, kısıtlı olanı çekimlerin yüzde 50,4’ünde yener, yani yazı tura; bu arada ortalamada 0,60798 teslim eder, kısıtın hiçbir tahmin yapmadan teslim ettiği 0,60021’e karşı. Taşıyamadığın ağırlıklar zamanın yarısında kazanır, ortalamada kaybeder ve her hâlükârda her dolar için üç dolarlık pozisyon taşır. Kısıtsız yanıtın altıda beş kazanması için altmış gözlem, neredeyse her zaman kazanması için 125 gözlem gerekir, ve 125 günlük gözlem, kapanış olarak altı aydır.

Şimdi ağırlıkların neyi teslim ettiğine değil, ağırlıkların kendisine bak. Yirmi sekiz günü yerine koyarak 20260906 tohumundan dört bin kez yeniden çek, yeniden uydur ve her yüzden ortadaki doksan sonucu oku:

2-ve-5, uydurulan değer 0,987: 0,724 ile 1,316 arasına düşüyor.

3-ve-10, uydurulan değer eksi 0,438: eksi 0,881 ile eksi 0,043 arasına düşüyor.

5-ve-20, uydurulan değer eksi 0,705: eksi 1,381 ile 0,081 arasına düşüyor ve yeniden çekimlerin yüzde 6,6’sında pozitif.

Brüt pozisyon, uydurulan değer 3,287: medyan 3,194, ve yeniden çekimlerin yüzde 63,9’unda hesabın doları başına üç doların üzerinde.

O ağırlıkların teslim ettiği standart sapma durağandır. Ağırlıkların kendisi değildir. Kendi yeniden çekimleri eksi 1,381 ile artı 0,081 arasında gezinen eksi 0,705’lik bir ağırlık, bir kural hakkında bir karar değildir; yirmi sekiz günü paylaşamayan on tahminin tortusudur, ve onu üç basamakla basmak yanıltan kısımdır. Üstelik dört bin yeniden çekimin 153’ü hiç tersi olmayan bir kovaryans matrisi verdi; yani kendi günlerinden yapılan yirmi beş çekimin neredeyse birinde yöntem yanlış bir yanıt döndürmüyor, hiçbir yanıt döndürmüyor.

Ve kısıt tam burada hakkını verir, üstelik seni kaldıraçtan korumaktan fazlasını yapar. Negatif ağırlıkları yasaklamak, kovaryansın kötü ölçüldüğünü kabul edip onu daha yalın bir şeye doğru çekmeye aritmetik olarak yakındır: bu defterin kovaryansını 72. dersin kullandığı tek ortalama korelasyona doğru yarı yolda büz, eniyileyici 1,205 brüt pozisyon ve 0,59512 standart sapma döndürür; kısıtın 1,000 ve 0,60021’ine karşı. Aynı bilgisizliğin iki ayrı itirafı, günde birbirinden yüzde bir, pozisyonda beşte bir dolar uzakta duruyor.

Ve kısıtlı yanıt 5-ve-20’yi sıfıra indirir; yani tam olarak, geri kalana karşı en yüksek korelasyona sahip olduğu için 71. dersin çıkarmanı söylediği kuralı. Biri korelasyonlarla biri varyansla ölçülen iki ayrı amaç, kaldırılacak aynı kuralı seçiyor.

O hâlde eniyileyiciyi açığa satışlar yasaklı koştur ve taşıyamadığı 10,65 yerine taşıyabildiği yüzde 6,32’yi al.

Bunun çözmediği şeyler

Asgari varyansın amaç olduğu. O, en az şey isteyen amaçtır, istediğin amaç değil. İçinde hangi kuralın para kazandığını bilen hiçbir şey yoktur, dolayısıyla sessiz ve değersiz bir kural, sessiz olduğu için ağırlık toplar. Bu kurstaki her eşik, bu sayfanın ağırlıkları kümeye uygulanmadan önce her kurala uygulanır: 64. dersin çıtası, 67. dersin sınaması, 70. dersin filtre koşulu. Dört ölü kuraldan oluşan bir defteri asgari varyansa göre ağırlıklandırmak, para kaybetmenin son derece durağan bir yolunu üretir.

Yüzde 10,65’in bedava olduğu. Brüt pozisyon bir dolardan 3,287’ye çıkar ve işlem hacminle birlikte büyüyen her maliyet onunla birlikte büyür: girerken ve çıkarken 12. dersin farkı, girerken 59. dersin etkisi, hiç taşıyabileceğin büyüklük için 68. dersin kapasitesi. Amaç işlevi bunların hiçbirini içermez, dolayısıyla günlük standart sapmanın bir yüzde puanının onda sekizini, faturayı üçe katlamak pahasına hiç duraksamadan satın alır. 12. dersteki fonda o takas açıkça değer, mikro sermayede açıkça değmez, ve formül ikisini birbirinden ayıramaz, çünkü ona kotasyonlar hiç gösterilmedi.

Benzetimin hatanın tamamını ölçtüğü. Ölçmüyor ve kuruluşu gereği eniyileyiciyi kayırıyor. Çektiği gerçek, yirmi sekiz günün ürettiği kovaryansın ta kendisidir, dolayısıyla tablonun fiyatladığı şey tahmin hatasıdır, başka bir şey değil. Kovaryansın en baştan yanlış olabileceği hakkında hiçbir şey söylemez, ki bu daha büyük sorundur ve bir sonraki sayfanın konusudur.

Dört kuralın zor durum olduğu. Kolay olan bu. Yirmi sekiz gözlemden on parametre rahatsız edicidir; yirmi kural aynı yirmi sekiz günden 210 parametre demektir, ve yirmi sekiz kuralda ölçülen matrisin tersi büsbütün ortadan kalkar, yani eniyileyici kötü bir yanıt döndürmez, hiçbir yanıt döndürmez. Parametre sayısı kural sayısının karesiyle büyür, veri onunla büyümez; bu yüzden bu sorunun her profesyonel ele alınışı, ölçtüğünün tersini almak yerine matrisi büzmek, kısıtlamak ya da çarpanlarına ayırmak üzerinedir.

Ağırlıkların kurallar hakkında bir karar olduğu. Bunlar bu defter hakkında, bu günlerde alınmış bir karardır. Beşinci bir kural ekle, dört ağırlığın hepsi kımıldar, çünkü amaç işlevinin bir kuralın kendi değeri diye bir kavramı yoktur, yalnızca belirli bir kümeye katkısı vardır. Kartın üçüncü sütunu bu yüzden üzerindeki en taşınmaz şeydir, iki kez yazılmasının sebebi budur ve ikinci yazımın üzerine hareket edilecek olan olmasının sebebi de budur.

Ve en pahalıya mal olan ödün: bu sayfa kovaryansı tek bir pencerede ölçülmüş tek bir nesne gibi ele aldı, oysa o tek bir nesne değil. Aynı yirmi sekiz hareketi ikiye böl: dört kural arasındaki ortalama korelasyon ilk on dörtte 0,5673, son on dörtte 0,9247’dir, ve ilk yarıya uydurulan ağırlıklar 0,987, eksi 0,438, eksi 0,705 ve 1,156 yerine 0,308, 0,225, eksi 0,731 ve 1,197’dir. Son on dörtte durum kararsızlıktan da beter: dört kuraldan üçü o günlerin her birinde aynı pozisyonu tutuyor, korelasyonları tam olarak bir, ve kovaryans matrisinin tersi hiç yok. 74. ders oradan başlıyor: bu sayfanın makinesinin çalışmadığı, kendi verinin yarısından.

Problemler

1. Kendi defterini iki yolla ağırlıklandır. Koşturduğun kuralların günlük getirilerini al, hesap tablosunda kovaryans matrisini kur ve asgari varyans ağırlıklarını sıfır tabanlı ve tabansız hesapla. Yarım saat, ve elinde iki ağırlık kümesi ile tek bir sayı kalır: aralarındaki günlük standart sapma farkı, ki açık bacağa ödenen budur.
2. Peşine düşmeden önce ödülü fiyatla. Defterinin standart sapmasını eşit ağırlıklarda ve kısıtsız en iyide hesapla, oranı al. On dakika, ve elinde tek bir sayı kalır: yeniden ağırlıklandırmanın senin için yapabileceği azami şey; bunu bu sayfadaki yüzde 10,65 ile ve en iyinin brüt pozisyonunda maliyetlerinin ne kadar artacağıyla karşılaştır.
3. Kendi ağırlıklarını yeniden çek. Kendi günlerini yerine koyarak çek, ağırlıkları yeniden uydur ve bunu iki yüz kez yap. Bir akşam, ve elinde kural başına tek bir sayı kalır: ağırlığının negatif çıktığı yeniden çekimlerin payı; payı yarıya yakın olan her kural, verinden bir ağırlık almamış demektir.

Kaynaklar. Harry Markowitz, «Portfolio Selection» (The Journal of Finance, 1952), bu sayfanın hesapladığı amaç için ve daha en başta yapılıp genellikle unutulan, girdilerinin tahmin olduğu saptaması için. Richard O. Michaud, «The Markowitz Optimization Enigma: Is Optimized Optimal?» (Financial Analysts Journal, 1989), eniyileyicinin girdilerindeki hataları da geri kalan her şeyle birlikte azamileştirdiği savı için; ikinci tablonun tek cümlede okunmuş hâlidir. Ravi Jagannathan ve Tongshu Ma, «Risk Reduction in Large Portfolios: Why Imposing the Wrong Constraints Helps» (The Journal of Finance, 2003), açığa satış pozisyonlarını yasaklamanın kovaryans matrisini büzmeye denk olduğu sonucu için; burada kısıtlı yanıtla büzülmüş yanıtın aynı yere düşmesinin sebebi budur. Victor DeMiguel, Lorenzo Garlappi ve Raman Uppal, «Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient Is the 1/N Portfolio Strategy?» (The Review of Financial Studies, 2009), eniyilenmiş bir portföyün eşit ağırlıkları yenmesi için gereken tahmin pencereleri için; ikinci tablonun üçüncü sütununun gerektiği gibi ve ölçekli yapılmış hâlidir.

Her biri, bu sayfadaki aritmetiğin karşısında sözlükte tanımlanmıştır.

Minimum Variance

Yalnızca eğitim amaçlıdır. İşlem yapmak önemli ölçüde kayıp riski taşır. Finansal tavsiye değildir. Geçmiş performans gelecekteki sonuçları garanti etmez.