モジュール9のクイズ：ポートフォリオ

このモジュールは一枚のカードを、レッスンごとに一列ずつ埋めてきました。ある規則が他の規則に対して示す最も高い相関、帳簿が抱える負荷とそれが丸ごと訪れる頻度、空売りを禁じたときに最適化が各規則に与える重み、そしてその相関を記録の全部ではなく半分で測ったときにどれだけ動くか。六つの問い、すべて計算です。最後の問いはカード全体を一度に使い切り、効いてくる列とは誰も議論しない列だと知ります。

範囲：レッスン71から75まで、そしてモジュールがレッスン71から埋めてきた四列のカード。

下のどの問いも、あなたに数字を渡し、数字を返すよう求めます。答えまでスクロールする前に、6問すべてを電卓で解いてください。どの答えにも計算が出ているので、結果が違えば、ただ間違えたというだけでなく、どの段階に戻ればよいかが分かります。

問題

1. 三つの中央値、三つの上限

レッスン71は、レッスン63の253の規則からなる31,878組すべてを、格子のどの規則も定義されている二十九の値動きの上で相関させました。中央の組は0.9464となり、8.93パーセントの組は最後の桁まで同一の系列でした。

レッスン74は、同じ31,878組を、その窓の前後それぞれの半分で別々に測りました。最初の十五の値動きでは中央値は0.8835で、9.37パーセントの組が同一です。最後の十四では中央値はちょうど1.0000で、72.90パーセントが同一です。

問い。三つの窓それぞれで同一の組はいくつあるでしょうか。そしてそれぞれの中央値は、これらの規則からなる帳簿が抱えられる賭けの数に、どんな上限を置くでしょうか。何本走らせても変わらない上限です。

2. 除数を、その壁まで走らせる

あるトレーダーが、平均のペア相関が0.8800の規則を何本か走らせています。これはレッスン74が二つの二週間のうち悪いほうで測った値です。レッスン67は、十分の一Rのエッジが本物かどうかを決着させるのに589取引を必要とし、レッスン65はペースを月に四十取引と定めました。

帳簿が抱える賭けは、Nを、1にN引く1のr倍を足したもので割った値です。そして他の規則と並んで走る規則には、589をその値で割った回数が要ります。

問い。規則が二本、四本、六本のとき、そして極限では、賭けと取引回数と月数はいくつでしょうか。六本の規則が三つの賭けを抱えるには、相関はいくつでなければならないでしょうか。そして六本が独立だったなら、何か月で済んだでしょうか。

3. 帳簿がまるごと赤くなる日

建玉は六つ、それぞれ口座の1.5パーセントをリスクにさらします。相関はレッスン71で測った0.9464です。同じ大きさのN個の建玉の和の分散は、一つの建玉の分散に、Nと、1にN引く1のr倍を足したものを掛けたものです。

レッスン72は、あらゆる建玉が自分に逆らう日について一因子の積分を評価しました。建玉が六つなら、この相関では0.3829、六つが独立なら0.0156です。ひと月は21営業日とし、レッスン18の最悪drawdownの中央値9Rを使ってください。

問い。負荷はいくつで、その日の標準偏差はいくつでしょうか。それぞれの仮定のもとで、ひと月には全部が逆らう日が何日あり、両者の比はいくつでしょうか。そして9Rに達するには、そうした日が何営業日ぶん必要でしょうか。

4. 二つの規則と、持ちこたえられる重み

レッスン73は空売りを禁じ、最適化は四つの規則のうち二つにすべてを置きました。その二つを、レッスン71が同じ二十九の値動きの上で測った標準偏差と相関とともに挙げます。2と5の規則が0.6015、8と30の規則が0.7082、そして両者の相関が0.6254です。

資産が二つのとき、最小分散の重みは、一つ目については、二つ目の分散から共分散を引いたものを、二つの分散の和から共分散の二倍を引いたもので割った値です。

問い。二つの重みはいくつで、どれだけの標準偏差をもたらし、等分に対する削減はどれだけでしょうか。そして相関がいくつを超えると、最適化は二つのうち騒がしいほうを空売りしたがるでしょうか。

5. 決めるのは窓、そしてそれを救わない補正

レッスン74は、四つの規則の平均ペア相関を三通りに測りました。最初の十五の値動きで0.5966、二十九すべてで0.7695、最後の十四で0.8800です。銘柄自身の標準偏差は、後半の二週間では前半の1.240倍です。

この偏りに対する標準的な補正は、測った相関を、1にデルタと1引く相関の二乗の積を足したものの平方根で割ります。デルタは分散の比から1を引いた値です。帳簿はいずれの場合も二パーセントの建玉が四つで、全部が逆らう頻度は、最も低い相関で0.2323、最も高い相関で0.3567です。

問い。補正は0.8800をどうするでしょうか。三つの相関それぞれで、賭けとその日の標準偏差はいくつでしょうか。そして全部が逆らう日は、前半の二週間に比べて後半の二週間では何倍の頻度で訪れるでしょうか。

6. どの制限が効くのか、そしてカードを使い切る

ある口座は日々の損失上限を四パーセントとし、一取引につき一パーセントをリスクにさらします。日々の損失上限は、負荷の全部がその中に収まらないかぎり何の意味も持ちません。ですから建玉の数は、上限を一取引あたりのリスクで割った値です。

レッスン74の最悪の窓での相関0.8800を取ります。この相関では、建玉が四つのとき全部が逆らう日は日数の35.67パーセントで訪れます。これを、同じ四パーセントの負荷を一つで背負い、負けるときには必ず負荷の全部を失う単独の建玉と比べてください。

問い。上限は建玉を何本まで許すでしょうか。その帳簿と単独の建玉とで、その日の標準偏差はいくつでしょうか。リスクを分けることは、その日と負荷が満額になる日をどれだけ縮めるでしょうか。そのうえでカードを読んでください。相関の列はどの規則を消し、重みの列はさらにどの規則をゼロにするでしょうか。

解答

どれも最後まで計算してあります。数字がこのページではなくレッスンから来ている場合は、そのレッスン名を挙げています。

1. 三つの中央値、三つの上限

それぞれの個数は掛け算ひとつです。窓全体では0.0893 × 31,878 = 2,847、最初の十五の値動きでは0.0937 × 31,878 = 2,987、最後の十四では0.7290 × 31,878 = 23,239。

上限は割り算ひとつです。帳簿が抱える賭けは、Nを、1にN引く1のr倍を足したもので割った値であり、Nを限りなく大きくすると1をrで割った値に近づきます。0.9464なら上限は1.0566、0.8835なら1.1319、そしてちょうど1ならちょうど1です。

三つ目の窓は二度読んでください。中央値が1.0000だというのは、規則どうしが似ているという意味ではありません。格子の組の半分以上が、互いに同じ十四の数を生んだという意味です。ですから上限は下から近づかれるのではなく、到達されます。この一族の規則は、その二週間の上では何本走らせても一つを超える賭けを抱えません。そして真ん中の窓は、ほとんどすべてが並んだ二週間を含んでいるのに、最初の窓より同一の組が少ない。二十九の数で一致するほうが、十五の数で一致するより難しいからです。

答え。同一の組は2,847、2,987、23,239。上限はそれぞれ1.0566、1.1319、そしてちょうど1です。

2. 除数を、その壁まで走らせる

割り算が四つと表が一つ。

並行して走らせる規則	抱えている賭け	それぞれがなお要するトレード数	か月
二	1.0638	553.7	13.84
四つ	1.0989	536.0	13.40
六つ	1.1111	530.1	13.25
好きなだけ	1.1364	518.3	12.96

極限は1を0.8800で割った1.1364で、そこに残る待ち時間はもとの0.8800倍です。0.88 × 589は518.3取引、12.96か月。この相関では、待ち時間を十三か月より短くする規則の本数は存在しません。極限にはNがそもそも入っていないからです。

六本の規則から三つの賭けを買える相関は、除数を逆向きに解いたものです。6を1に5rを足したもので割ったら3、つまり1 + 5r = 2、r = 0.2000。これは、この講座がどの窓でも、この一族のどの二本のあいだでも、一度も測ったことのない相関です。

そして六本が独立なら、必要なのは一本あたり589 ÷ 6 = 98.2取引、すなわち2.45か月でした。2.45と13.25の隔たりこそ、分散という言葉がふだん背負っているものの全部であり、それは誰も測らない一つの数で買われます。

答え。賭けは1.0638、1.0989、1.1111、1.1364。取引は554回、536回、530回、518回。月数は13.84、13.40、13.25、12.96。三つの賭けには相関0.2000が要り、独立なら2.45か月です。

3. 帳簿がまるごと赤くなる日

負荷はストップの合計です。1.5パーセントの建玉が六つで9.0パーセント。これは要約ではなく最大値です。

要約のほうは標準偏差です。1に5×0.9464を足すと5.7320、その六倍が34.3920、平方根が5.8645、一建玉1.5パーセントならこれは8.80パーセントになります。つまりこの日は、独立な六建玉が与える3.67パーセントから、六つが一つのように動くときに訪れる9.0パーセントまでの道のりの96.2パーセントの地点にあります。

頻度はそれぞれ掛け算ひとつです。0.3829 × 21 = ひと月に8.04日。独立なら0.0156 × 21 = 0.33日で、三か月に一日という勘定です。比は0.3829 ÷ 0.0156 = 24.5。しかもこれは、建玉の大きさもストップも規則も一切変えずに買われます。

そして深さです。全部が逆らう日には、六つの建玉が6Rを差し出します。ですから9Rはそうした日の1.5日ぶんであり、2.61日に一度の頻度なら3.9営業日で到着します。生涯最悪のdrawdownの材料が、四営業日。どのチェックリストも分散が効いていると呼ぶ帳簿の上で、です。

答え。負荷は9.0パーセント、その日は8.80パーセント、全部が逆らう日はひと月に8.04日で、独立なら0.33日。比は24.5、そして9Rには3.9営業日です。

4. 二つの規則と、持ちこたえられる重み

共分散は0.6254 × 0.6015 × 0.7082 = 0.26641。二つの分散は0.36180と0.50155です。

2と5の規則にかかる重みは(0.50155 − 0.26641) ÷ (0.36180 + 0.50155 − 2 × 0.26641) = 0.23514 ÷ 0.33053 = 0.7114。もう一方の重みは0.2886です。これはカードに載っている0.711と0.289そのものであり、行列の逆をとるのではなく、二つの標準偏差と一つの相関から得られたものです。

この重みがもたらす分散は0.7114² × 0.36180 + 0.2886² × 0.50155 + 2 × 0.7114 × 0.2886 × 0.26641 = 0.33427で、その平方根が0.57816です。等分なら0.59080ですから、この二本で得られる賞金の全部は、その日の2.14パーセントです。

空売りは計算ではなく比較です。二つ目の規則にかかる重みは、その規則自身の分散から共分散を引いたものですから、共分散が一つ目の規則の分散を超えたときに負になります。すなわちrが0.6015 ÷ 0.7082 = 0.8493を超えたときです。それ未満なら最適化は両方を持ちます。それを超えると、静かなほうを守るために騒がしいほうを売りたがります。そしてレッスン74が悪いほうの二週間で測った相関は、その上にあります。

答え。0.7114と0.2886。もたらす標準偏差は0.57816で、等分の0.59080に対して2.14パーセントの削減です。そして空売りは相関0.8493を超えたところで現れます。

5. 決めるのは窓、そしてそれを救わない補正

デルタは1.240² − 1 = 0.5376。1から0.8800²を引くと0.2256なので、分母は1 + 0.5376 × 0.2256 = 1.12128の平方根、すなわち1.05891。そして0.8800 ÷ 1.05891 = 0.8310です。

これは本物の補正ですが、測定を救いはしません。0.8310は前半二週間の0.5966よりなお遥かに上にあり、ボラティリティが説明するのは移動の一部であって大部分ではありません。

相関を測った区間	ペアの平均	独立な賭け	その日の標準偏差
最初の十五本の動き	0.5966	1.4338	6.68%
二十九本すべて	0.7695	1.2090	7.28%
最後の十四本の動き	0.8800	1.0989	7.63%

そして頻度は割り算ひとつです。0.3567 ÷ 0.2323 = 1.54。同じ四つの建玉を同じ大きさで持っていて、すべてが自分に逆らう日は一・五倍の頻度で訪れます。帳簿は何ひとつ変わっていません。変わったのは、相関を測った二週間だけです。

答え。0.8800は0.8310に補正されます。賭けは1.4338、1.2090、1.0989。日は6.68、7.28、7.63パーセント。そして全部が逆らう日は1.54倍の頻度で訪れます。

6. どの制限が効くのか、そしてカードを使い切る

本数は割り算ひとつです。4 ÷ 1 = 4本。四つの規則を選んでからその周りで大きさを決めるのではありません。四パーセントの上限のもとで一取引一パーセントが空けてくれる場所が、ちょうど四つだということです。

四パーセントの単独の建玉は、その日が4.00パーセントで、負けるたびに負荷の全部を支払います。それは半分の確率です。一パーセントの建玉が四つなら、1 + 3 × 0.8800 = 3.64、その四倍が14.56、平方根が3.8158。ですからその日は3.82パーセントで、負荷の全部が訪れるのは35.67パーセントの確率です。

ですからその日は(4.00 − 3.82) ÷ 4.00 = 4.61パーセント小さくなり、負荷が満額になる日は(0.5000 − 0.3567) ÷ 0.5000 = 28.7パーセント稀になります。五つのレッスンぶんの測定を経て、規則を一本ではなく四本走らせることの利得はこれで全部です。しかもそれは、一取引あたりの大きさを四分の一にする代価で買われます。独立だったなら、同じ入れ替えは50パーセント小さい日と、87.5パーセント稀な満額の日をもたらしたはずです。

そして、モジュールがレッスン71から携えてきた四つの規則についてのカードです。

ルール	最も高い相関、全窓	いずれかの窓での最高値	重み、売り建て禁止
2と5	0.7326	0.7599	0.711
3と10	0.8287	1.0000	0
5と20	0.9648	1.0000	0
8と30	0.9648	1.0000	0.289

最初の列は言います。5と20を消せ、と。0.9648で8と30の重複であり、ほかの規則がまだ持っていないものをほとんど運んでいないからです。二つ目の列は、最初の列が楽観的な版だったと言います。肝心な二週間では、四つのうち三つが同じ系列です。三つ目の列は同じことを別の通貨で言い、3と10にも5と20にもまったく置きません。三つの列、残る規則は二つ。そして本数のほうは、そのどれが計算されるよりも前に、上限がすでに決めていました。

答え。建玉は四つ。その日は4.00パーセントに対して3.82パーセントで、4.61パーセント小さくなります。負荷が満額になる日は28.7パーセント稀になります。そしてカードは5と20を消し、さらに3と10をゼロにします。

この小テストが試していたこと

ポジションの一覧と帳簿を見分けられるかどうか。中央値の相関を渡されたら、それを上限に変え、その上限が規則の数を含んでいないことに気づく。帳簿を渡されたら、負荷と、それが丸ごと訪れる頻度の両方を計算し、後者に従って動く。二つの規則を渡されたら、重みについて解き、答えが持ちこたえられなくなる相関を見つける。記録を渡されたら、半分に割り、悪いほうの半分で建てる。そして損失の上限を渡されたら、どの規則を走らせるかを論じる前に、それを一取引あたりのリスクで割る。その割り算がすでに本数を決めているからです。

モジュール10は算術を離れて一日から始まり、一日に足りないのは時間ではなく決定だと知ります。格子の253の規則のうち203は、定義されている区間で入場をちょうど一回しか生みません。そして格子全体でいちばん忙しいセルでも、年に七十回の入場にしかなりません。