持てるほうの重み

レッスン72は、どのポジションも同じ大きさである帳簿を値付けし、それぞれにいくら入れるかという問いをこのページに残しました。標準的な機械が返す答えが、レッスン71の四つの規則と同じ二十八本の動きの上でこれです。0.987、マイナス0.438、マイナス0.705、1.156。これはその日の標準偏差を10.65パーセント削り、各二パーセントの四つのポジションでは、その日の0.78パーセントポイントにあたります。同時に、自分の四つの規則のうち二つを売り建てし、口座の一ドルにつき3.29ドルのポジションを抱えることを要求します。売り建てを禁じれば、答えは0.630と0.370になり、二つの規則はゼロに落ちます。それでも削りの59パーセントを保ち、口座一ドルにつきポジション一ドルにとどまり、そして二十八日ぶんで推定した場合、制約なしの答えより平均して良い一日を返します。

前提条件: レッスン72。このページが重みづけし直す、等分の帳簿について。レッスン71。四つの規則と、その六つの相関について。そしてレッスン12。売買する量とともに増える費用について。

その目的関数に本当に入っているもの

最小分散は一行です。持っているものの共分散行列を取り、逆行列にし、一が並んだ列を掛け、重みの和が一になるようにその総和で割ってください。それが手法のすべてで、閉じた形があり、四つの規則ならどんな表計算でも一分で片づきます。

w = Σ⁻¹1 / (1′Σ⁻¹1)

中に何が入っているか、そしてもっと大事なことに、何が入っていないかを読んでください。期待リターンはありません。これは意図的です。レッスン67は、Rの十分の一が本物かどうかを片づけるのに589トレードを要しました。ですから各規則がいくら稼ぐかの見積もりはこの建物のなかで最も当てにならない数であり、それを必要とする目的関数はその当てにならなさを受け継ぎます。費用もありません。制約も一つもありません。この式は何のことわりもなく負の重みを返し、負とは売り建てのことです。

入力は、レッスン71が選んだ四つの規則です。2本平均対5本、3本対10本、5本対20本、8本対30本を、レッスン63の格子のどの規則も定義されている二十八本の動きの上で走らせます。その六つの相関はレッスン71のもので、0.6282から0.9742まで。標準偏差は互いに近く、規則が返す単位で0.6375、0.7218、0.7265、0.7032です。

四つの重みづけを並べる値打ちがあります。等分はレッスン72が仮定したものです。逆分散は、急いでいる人がリスクパリティと言うときにたいてい意味しているもの、つまり各規則の分散の逆数で重みをつけ、相関はまるごと無視するやり方です。それから、売り建てを禁じた最小分散の答えと、何も禁じない同じ答えです。

重みづけ	重み	一ドルあたりのポジション	その日の標準偏差	削り
等分	0.25, 0.25, 0.25, 0.25	1.000	0.64074	—
逆分散	0.297, 0.231, 0.228, 0.244	1.000	0.63502	0.89%
最小分散、売り建てなし	0.630, 0, 0, 0.370	1.000	0.60021	6.32%
最小分散	0.987、−0.438、−0.705、1.156	3.287	0.57252	10.65%

まず争いの大きさから始めましょう。一番上の行から一番下までの隔たりは全部で0.06822、出発点の0.64074に対してです。ポートフォリオ構築がこの帳簿について言えることのすべては、最も粗い規則から答えを手にしたうえで計算した厳密な最適まで、その日の標準偏差の10.65パーセント分の値打ちしかありません。一ポジション二パーセントで、レッスン71がこの四つに与える平均相関0.7887のとき、等分はその日を7.339パーセントにし、最適は6.557パーセントにします。賞金は全部で一日あたり0.8パーセントポイントです。取る値打ちはあり、大変な手間をかける値打ちはなく、始める前にそのどちらであるかを知っておくことこそ、このページのおおかたの用途です。

次に二行目を読んでください。実際に人が走らせているのはこれだからです。逆分散は使える10.65のうち0.89パーセントを拾い、つまり十二分の一です。うまくいかないのは、四つの標準偏差がほとんど同じで、それで重みをつけてもほとんど何も動かないからであり、この帳簿の賞金がまるごと相関のなかに住んでいるからです。相関が0.63から0.97まで並ぶ規則の集まりに対して相関を無視する重みづけは、この帳簿が抱えていない問題を解いています。

そして効いてくる二つです。制約なしの答えはその日からさらに4.33パーセントポイントを取り去り、削りを6.32パーセントから10.65に動かします。その代金は合わせて1.143の売り建ての脚二本と、口座一ドルにつき3.287ドルの総ポジションです。制約は賞金の五分の二を食い、そのかわり梃子をすべて取り除きます。

両方を計算した人はほとんどいません。制約なしの数は、どの教科書もどのライブラリも既定で返してくるものであり、制約つきはその四行先にあり、二つの違いは、説明できるポートフォリオと、持てるポートフォリオとの違いです。

モジュール9のカードは三つ目の列を得ます。それはこのページが各規則に与える重みであり、二度書かれます。一度は最適化器が返すまま、もう一度は売り建てを禁じたうえで。カードがまるごとまとめて使われるのはレッスン75です。

二十八日で払えるもの

上の重みは十個の数、四つの分散と六つの共分散、から出てきており、それらは二十八の観測から推定されています。明らかに少なすぎるわけでもなく、明らかに足りているわけでもありません。ですから議論せずに測ってください。

上で測った共分散を、それが真実であるかのように扱ってください。そこからT個の観測を引き、それが手持ちのすべてであるかのように最適化器をその引きに当てはめ、出てきた重みを、出発点にした真実に対して採点します。採点と本当の最適との隔たりが推定誤差であり、この実験に入っているのはそれだけです。各Tで二万回の引き、種は20260905です。ですから三列目は十分の一ポイント、四列目は十分の二ポイントまで安定しています。

観測数	当てはめた重みが実際に届ける標準偏差	届く賞金の割合	売り建てなしの答えに勝つ割合
28	0.60798	48.0%	50.4%
60	0.58781	77.6%	85.6%
125	0.57960	89.6%	99.1%
250	0.57594	95.0%	100.0%
1,000	0.57338	98.7%	100.0%

一行目が、このページが冒頭に出した重みへの正直な判定です。二十八の観測に当てはめると、制約なしの最適化器が届けるのは、印字する0.57252ではなく0.60798であり、賞金の全部ではなく48.0パーセントです。それでも等分には勝ちます、しかも余裕をもって。この帳簿の上では最適化器は誤りではなく、Nで割れば必ず勝つという通説は、算術の言っていることではありません。

四列目が結論であり、二列目に照らして読む必要があります。二十八の観測に当てはめた制約なしの答えが、制約つきの答えに勝つのは引きの50.4パーセント、つまり五分五分です。そのあいだ平均して届けるのは0.60798であり、制約が何も推定せずに届ける0.60021に対してです。持てないほうの重みは半分の場合に勝ち、平均では負け、どちらにしても一ドルにつき三ドルのポジションを抱えます。制約なしの答えが六回のうち五回勝つには六十の観測が要り、ほぼ必ず勝つには125が要ります。日次の観測125は、終値にして六か月です。

今度は、重みが何を届けるかではなく、重みそのものを見てください。二十八日を復元ありで、種20260906から四千回引き直し、当てはめ直し、百のうち真ん中の九十の結果を読みます。

2と5、当てはめ値0.987：0.724から1.316のあいだに落ちます。

3と10、当てはめ値マイナス0.438：マイナス0.881からマイナス0.043のあいだに落ちます。

5と20、当てはめ値マイナス0.705：マイナス1.381から0.081のあいだに落ち、引き直しの6.6パーセントで正になります。

総ポジション、当てはめ値3.287：中央値3.194、そして引き直しの63.9パーセントで口座一ドルにつき三ドルを超えます。

それらの重みが届ける標準偏差は安定しています。重みのほうは安定していません。自分自身の引き直しがマイナス1.381からプラス0.081まで広がるマイナス0.705という重みは、規則についての決定ではありません。十個の推定が二十八日を奪い合った残りかすであり、それを三桁で印字することこそ、人を誤らせる部分です。しかも四千回の引き直しのうち153回は、逆行列をまったく持たない共分散行列を生みました。自分の日々からの引きの二十五回に一回近くで、この方法は誤った答えを返すのではなく、何も返さないのです。

そしてここで制約が働きに見合います。しかも梃子から守る以上のことをします。負の重みを禁じるのは、共分散がうまく測れていないと認め、もっと単純なものへ引き寄せることに、算術としてよく似ています。この帳簿の共分散を、レッスン72が使った一つの平均相関へ半分だけ縮めると、最適化器は総ポジション1.205と標準偏差0.59512を返します。制約のほうの1.000と0.60021に対してです。同じ無知についての二つの異なる告白が、その日については一パーセント、ポジションについては五分の一ドルのところに落ち着きます。

そして制約つきの答えは5と20をゼロにします。それはまさに、残りに対する相関が最も高いという理由でレッスン71が落とせと言った規則です。相関で測る目的と分散で測る目的という二つの異なる目的が、取り除くべき同じ規則を選びます。

ですから最適化器を売り建て禁止で走らせ、持てない10.65ではなく、持てる6.32パーセントのほうを取ってください。

これで片づかないこと

最小分散が目的であること。それは最も要求の少ない目的であって、あなたが望む目的ではありません。そのなかのどこにも、どの規則が儲けるかを知っている部分はありません。ですから静かで無価値な規則は、静かであるという理由で重みを集めます。この講座のどの敷居も、このページの重みが集合に効くより前に、各規則に効きます。レッスン64の基準、レッスン67の検定、レッスン70のフィルター条件です。死んだ四つの規則からなる帳簿を最小分散で重みづけすれば、きわめて安定した損の出し方ができあがります。

10.65パーセントがただであること。総ポジションは一ドルから3.287になり、売買する量とともに増える費用はすべてそれとともに増えます。行きと帰りにかかるレッスン12のスプレッド、行きにかかるレッスン59のインパクト、そもそも持てる大きさを決めるレッスン68の容量です。目的関数はそのどれも含みませんから、日次標準偏差の0.8パーセントポイントを、請求書が三倍になるのと引き換えに喜んで買います。レッスン12のファンドではその取引は明らかに割に合い、マイクロキャップでは明らかに合いません。そして式は両者を見分けられません。気配値を見せられたことがないからです。

そのシミュレーションが誤差のすべてを測っていること。測っていませんし、作りからして最適化器に甘くできています。そこから引いてくる真実は、二十八日が生んだのと同じ共分散ですから、表が値付けしているのは推定誤差だけです。共分散がそもそも間違っているかもしれないことについては何も言っておらず、そちらのほうが大きな問題で、次のページの主題です。

四つの規則が難しい場合であること。これは易しいほうです。二十八の観測から十個のパラメータは居心地が悪く、二十の規則なら同じ二十八日から210個のパラメータになり、二十八の規則では測った行列に逆行列がそもそも存在しなくなります。つまり最適化器は悪い答えを返すのではなく、何も返しません。パラメータの数は規則の数の二乗で増え、データはそれに合わせて増えませんから、この問題を扱う専門の文献はどれも、測ったものを逆行列にすることではなく、行列を縮める、制約する、因子に分けることについて書かれているのです。

重みが規則についての決定であること。これはこの帳簿の、これらの日についての決定です。五つ目の規則を足せば四つの重みはすべて動きます。目的関数は規則それ自体の値打ちという考えを持たず、ある特定の集合への寄与しか見ないからです。ですからカードの三列目は、そこに載っているもののなかで最も持ち運びの利かないものであり、だからこそ二度書かれ、だからこそ二度目の書き方こそが行動の拠りどころになります。

そして最も高くつく譲歩。このページは共分散を、一つの窓の上で測られた一つの対象として扱いましたが、それは一つの対象ではありません。同じ二十八本の動きを半分に割ると、四つの規則のあいだの平均相関は最初の十四本で0.5673、最後の十四本で0.9247であり、前半に当てはめた重みは0.987、マイナス0.438、マイナス0.705、1.156ではなく、0.308、0.225、マイナス0.731、1.197です。最後の十四本では不安定などという話ではありません。四つのうち三つの規則がその日々のどの日にも同じポジションを持ち、相関はちょうど一であり、共分散行列に逆行列はまったくありません。レッスン74はそこから始まります。このページの機械が動かない、あなた自身のデータの半分から。

練習問題

1. 自分の帳簿を二通りに重みづけする。走らせている規則の日次リターンを取り、表計算で共分散行列を組み、ゼロの下限ありとなしで最小分散の重みを計算してください。三十分で、最後にあなたは二組の重みと一つの数字、両者のその日の標準偏差の差を手にします。それが売り建ての脚が受け取っている報酬です。
2. 追いかける前に賞金を値付けする。自分の帳簿の標準偏差を等分のときと制約なしの最適のときとで計算し、その比を取ってください。十分で、最後にあなたは一つの数字、重みづけ直しがあなたのためにできる最大値を手にします。それをこのページの10.65パーセントと、最適の総ポジションで自分の費用がどれだけ上がるかと突き合わせてください。
3. 自分の重みを引き直す。自分の日々を復元ありで引き、重みを当てはめ直し、それを二百回してください。一晩で、最後にあなたは規則ごとに一つの数字、その重みが負になる引き直しの割合を手にします。その割合が半分近い規則は、あなたのデータから重みを与えられていません。

出典。 Harry Markowitz「Portfolio Selection」(The Journal of Finance、1952年)。このページが計算する目的について。そして、初めに述べられ、たいてい忘れられている指摘、その入力は推定値であるという指摘について。 Richard O. Michaud、「The Markowitz Optimization Enigma: Is Optimized Optimal?」(Financial Analysts Journal、1989年)。最適化器が入力の誤差もほかのすべてと一緒に最大化してしまうという論について。第二の表を一文で読んだものです。 Ravi Jagannathan と Tongshu Ma、「Risk Reduction in Large Portfolios: Why Imposing the Wrong Constraints Helps」(The Journal of Finance、2003年)。売り建てを禁じることが共分散行列を縮めることに等しいという結果について。ここで制約つきの答えと縮めた答えが同じ場所に落ちるのはそのためです。 Victor DeMiguel, Lorenzo Garlappi と Raman Uppal、「Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient Is the 1/N Portfolio Strategy?」(The Review of Financial Studies、2009年)。最適化したポートフォリオが等分に勝つまでに必要な推定窓について。第二の表の三列目を、きちんと大きな規模でやったものです。

どれも、このページの計算に照らして用語集で定義されています。

Minimum Variance

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