Quiz du module 9 : Portefeuille

Ce module a rempli une fiche, une colonne par leçon : la corrélation la plus élevée qu’une règle montre contre les autres, la charge que porte le portefeuille et la fréquence à laquelle elle arrive en entier, le poids que l’optimiseur donne à chaque règle quand la vente à découvert est interdite, et de combien cette corrélation bouge quand vous la mesurez sur la moitié du relevé plutôt que sur la totalité. Six questions, rien que du calcul. La dernière dépense la fiche entière d’un coup et trouve que la colonne qui mord est celle dont personne ne discute.

Couvre : Leçons 71 à 75, et la fiche à quatre colonnes que le module remplit depuis la leçon 71.

Chaque question ci-dessous vous tend des nombres et attend un nombre en retour. Faites les 6 à la calculatrice avant de descendre aux réponses ; chaque réponse montre le calcul, si bien qu’un résultat faux vous dit à quelle étape revenir et pas seulement que vous vous êtes trompé.

Les questions

1. Trois médianes, trois plafonds

La leçon 71 a corrélé les 31 878 paires des 253 règles de la leçon 63 sur les vingt-neuf mouvements où chaque règle de la grille est définie. La paire médiane est ressortie à 0,9464 et 8,93 pour cent des paires étaient la même série jusqu’à la dernière décimale.

La leçon 74 a mesuré ces mêmes 31 878 paires sur chaque moitié de cette fenêtre séparément. Sur les quinze premiers mouvements la médiane vaut 0,8835 et 9,37 pour cent des paires sont identiques. Sur les quatorze derniers la médiane vaut exactement 1,0000 et 72,90 pour cent sont identiques.

Question. Combien de paires sont identiques dans chacune des trois fenêtres, et quel plafond chaque médiane met-elle aux paris qu’un portefeuille de ces règles peut porter, quel qu’en soit le nombre ?

2. Le diviseur, poussé jusqu’à son mur

Un trader fait tourner plusieurs règles dont la corrélation moyenne deux à deux vaut 0,8800, ce que la leçon 74 a mesuré sur la pire de ses deux quinzaines. La leçon 67 a eu besoin de 589 trades pour trancher si un avantage d’un dixième de R était réel, et la leçon 65 a fixé le rythme à quarante trades par mois.

Les paris que porte un portefeuille valent N sur un plus N moins un fois r, et une règle qui tourne à côté d’autres a besoin des 589 divisés par ce nombre.

Question. Quels sont les paris, les trades et les mois à deux règles, à quatre, à six, et à la limite ? Quelle corrélation faudrait-il à six règles pour porter trois paris ? Et combien de mois auraient coûté six règles indépendantes ?

3. Le jour où tout le portefeuille est dans le rouge

Six positions, risquant chacune 1,5 pour cent du compte, à la corrélation de 0,9464 mesurée en leçon 71. La variance d’une somme de N positions de même taille vaut la variance d’une position multipliée par N fois un plus N moins un fois r.

La leçon 72 a évalué l’intégrale à un facteur pour le jour où chaque position va contre vous : à six positions elle vaut 0,3829 à cette corrélation et 0,0156 si les six étaient indépendantes. Prenez un mois pour 21 jours de bourse, et prenez le drawdown le pire médian de 9R de la leçon 18.

Question. Quelle est la charge et quel est l’écart-type de la journée ? Combien de jours où tout va contre vous un mois contient-il sous chaque hypothèse, et quel est le rapport entre les deux ? Et combien de jours de bourse de tels jours faut-il pour atteindre 9R ?

4. Deux règles et les poids que vous pouvez tenir

La leçon 73 a interdit la vente à découvert et l’optimiseur a tout mis dans deux des quatre règles. Voici ces deux-là, avec les écarts-types et la corrélation que la leçon 71 a mesurés sur les mêmes vingt-neuf mouvements : la règle 2-et-5 à 0,6015, la règle 8-et-30 à 0,7082, et une corrélation entre elles de 0,6254.

Pour deux actifs, le poids de variance minimale sur le premier vaut la variance du second moins la covariance, divisé par la somme des deux variances moins deux fois la covariance.

Question. Quels sont les deux poids, quel écart-type livrent-ils, et quelle est la réduction face aux poids égaux ? Et au-dessus de quelle corrélation l’optimiseur voudrait-il vendre à découvert la plus bruyante des deux ?

5. La fenêtre décide, et la correction qui ne la sauve pas

La leçon 74 a mesuré la corrélation moyenne deux à deux des quatre règles de trois façons : 0,5966 sur les quinze premiers mouvements, 0,7695 sur les vingt-neuf, et 0,8800 sur les quatorze derniers. L’écart-type propre de l’instrument sur la seconde quinzaine vaut 1,240 fois son écart-type sur la première.

La correction standard de ce biais divise la corrélation mesurée par la racine carrée de un plus delta fois un moins la corrélation au carré, où delta est le rapport des variances moins un. Le portefeuille est de quatre positions à deux pour cent chacune dans tous les cas, et les fréquences du tout contre vous valent 0,2323 à la corrélation la plus basse et 0,3567 à la plus haute.

Question. Que fait la correction au 0,8800 ? Quels sont les paris et l’écart-type de la journée à chacune des trois corrélations ? Et combien de fois plus souvent le jour où tout va contre vous arrive-t-il sur la seconde quinzaine que sur la première ?

6. Quelle limite mord, et la fiche dépensée

Un compte applique une limite de perte quotidienne de quatre pour cent et risque un pour cent par trade. Une limite de perte quotidienne ne veut rien dire tant que toute la charge n’y entre pas, le nombre de positions vaut donc la limite divisée par le risque par trade.

Prenez la corrélation de 0,8800 de la pire fenêtre de la leçon 74, à laquelle le jour où tout va contre vous arrive 35,67 pour cent des jours pour quatre positions. Comparez le portefeuille autorisé à une position unique portant les mêmes quatre pour cent de charge, qui perd toute sa charge dès qu’elle perd.

Question. Combien de positions la limite autorise-t-elle, quel est l’écart-type de la journée pour ce portefeuille face à la position unique, et de combien répartir le risque rétrécit-il la journée et le jour à pleine charge ? Lisez ensuite la fiche : quelle règle la colonne des corrélations supprime-t-elle, et laquelle la colonne des poids met-elle en plus à zéro ?

Les réponses

Chacune est traitée en entier. Là où un chiffre vient d’une leçon et non de cette page, la leçon est nommée.

1. Trois médianes, trois plafonds

Les comptes sont une multiplication chacun. 0,0893 × 31 878 = 2 847 sur la fenêtre entière, 0,0937 × 31 878 = 2 987 sur les quinze premiers mouvements et 0,7290 × 31 878 = 23 239 sur les quatorze derniers.

Le plafond est une division. Les paris que porte un portefeuille valent N sur un plus N moins un fois r, et quand N croît sans limite cela tend vers un sur r. À 0,9464 le plafond vaut 1,0566, à 0,8835 il vaut 1,1319, et à exactement un il vaut exactement un.

Lisez deux fois la troisième fenêtre. Une médiane de 1,0000 ne veut pas dire que les règles se ressemblent. Elle veut dire que plus de la moitié des paires de la grille ont produit les mêmes quatorze nombres les unes que les autres : le plafond n’est donc pas approché par le bas, il est atteint. Aucun nombre de règles de cette famille, sur cette quinzaine, ne porte plus d’un pari. Et la fenêtre du milieu contient moins de paires identiques que la première alors même qu’elle contient la quinzaine où presque tout s’est égalisé, parce que s’accorder sur vingt-neuf nombres est plus difficile que sur quinze.

Réponse. 2 847, 2 987 et 23 239 paires identiques, contre des plafonds de 1,0566, 1,1319 et exactement 1.

2. Le diviseur, poussé jusqu’à son mur

Quatre divisions et un tableau.

Règles en parallèle	Paris que vous portez	Transactions dont chacune a encore besoin	Mois
Deux	1,0638	553,7	13,84
Quatre	1,0989	536,0	13,40
Six	1,1111	530,1	13,25
Autant que vous voulez	1,1364	518,3	12,96

La limite vaut un sur 0,8800, soit 1,1364, et l’attente qu’elle laisse vaut 0,8800 de l’originale : 0,88 × 589 font 518,3 trades et 12,96 mois. Aucun nombre de règles à cette corrélation ne fait passer l’attente sous treize mois, parce que la limite ne contient pas N du tout.

La corrélation qui achèterait trois paris à six règles est le diviseur résolu à l’envers : 6 sur un plus cinq r égale 3 donne 1 + 5r = 2 et r = 0,2000. Ce n’est pas une corrélation que ce cours ait mesurée où que ce soit, sur quelque fenêtre que ce soit, entre deux règles de cette famille.

Et six règles indépendantes auraient eu besoin de 589 ÷ 6 = 98,2 trades chacune, soit 2,45 mois. La distance entre 2,45 et 13,25 est tout ce que le mot diversification transporte d’ordinaire, et cela s’achète avec un nombre que personne ne mesure.

Réponse. 1,0638, 1,0989, 1,1111 et 1,1364 paris ; 554, 536, 530 et 518 trades ; 13,84, 13,40, 13,25 et 12,96 mois ; une corrélation de 0,2000 pour trois paris ; et 2,45 mois si elles étaient indépendantes.

3. Le jour où tout le portefeuille est dans le rouge

La charge est la somme des stops : six positions à 1,5 pour cent font 9,0 pour cent, et c’est le maximum et non un résumé.

Le résumé est l’écart-type. Un plus cinq fois 0,9464 fait 5,7320, six fois cela fait 34,3920, sa racine carrée vaut 5,8645, et à 1,5 pour cent par position cela fait 8,80 pour cent. La journée se situe donc à 96,2 pour cent du chemin entre les 3,67 pour cent que donneraient six positions indépendantes et les 9,0 pour cent qui arrivent quand les six bougent comme une seule.

Les fréquences sont une multiplication chacune. 0,3829 × 21 = 8,04 jours par mois, contre 0,0156 × 21 = 0,33, soit un tel jour tous les trois mois. Le rapport vaut 0,3829 ÷ 0,0156 = 24,5, et il s’achète sans changer une seule taille de position, un seul stop ou une seule règle.

Et la profondeur. Six positions vous remettent 6R le jour où tout va contre vous, donc 9R font 1,5 de ces journées, et à raison d’un jour sur 2,61 elles arrivent en 3,9 jours de bourse. Quatre jours ouvrés pour l’ingrédient du pire drawdown d’une carrière, sur un portefeuille que toute liste de contrôle appellerait diversifié.

Réponse. 9,0 pour cent de charge, une journée de 8,80 pour cent, 8,04 jours où tout va contre vous par mois contre 0,33, un rapport de 24,5, et 9R en 3,9 jours de bourse.

4. Deux règles et les poids que vous pouvez tenir

La covariance vaut 0,6254 × 0,6015 × 0,7082 = 0,26641. Les deux variances valent 0,36180 et 0,50155.

Le poids sur la règle 2-et-5 vaut (0,50155 − 0,26641) ÷ (0,36180 + 0,50155 − 2 × 0,26641) = 0,23514 ÷ 0,33053 = 0,7114, l’autre poids vaut donc 0,2886. Ce sont les 0,711 et 0,289 de la fiche, obtenus à partir de deux écarts-types et d’une corrélation plutôt que d’une inversion de matrice.

La variance qu’ils livrent vaut 0,7114² × 0,36180 + 0,2886² × 0,50155 + 2 × 0,7114 × 0,2886 × 0,26641 = 0,33427, dont la racine carrée vaut 0,57816. Les poids égaux donnent 0,59080 : tout le gain sur cette paire vaut donc 2,14 pour cent de la journée.

La vente à découvert est une comparaison et non un calcul. Le poids sur la seconde règle vaut sa propre variance moins la covariance : il devient donc négatif dès que la covariance dépasse la variance de la première règle, c’est-à-dire quand r dépasse 0,6015 ÷ 0,7082 = 0,8493. En dessous, l’optimiseur tient les deux. Au-dessus, il veut vendre la règle la plus bruyante pour couvrir la plus calme, et les corrélations que la leçon 74 a mesurées sur sa pire quinzaine sont au-dessus.

Réponse. 0,7114 et 0,2886, livrant 0,57816 contre 0,59080 à poids égaux, une réduction de 2,14 pour cent ; et la vente à découvert arrive au-dessus d’une corrélation de 0,8493.

5. La fenêtre décide, et la correction qui ne la sauve pas

Delta vaut 1,240² − 1 = 0,5376. Un moins 0,8800² vaut 0,2256, le dénominateur est donc la racine carrée de 1 + 0,5376 × 0,2256 = 1,12128, soit 1,05891, et 0,8800 ÷ 1,05891 = 0,8310.

C’est une vraie correction et elle ne sauve pas la mesure : 0,8310 reste bien au-dessus du 0,5966 de la première quinzaine, la volatilité explique donc une partie du déplacement et non l’essentiel.

Corrélation mesurée sur	Moyenne deux à deux	Paris indépendants	Écart-type du jour
Quinze premiers mouvements	0,5966	1,4338	6,68 %
Les vingt-neuf	0,7695	1,2090	7,28 %
Quatorze derniers mouvements	0,8800	1,0989	7,63 %

Et la fréquence est une division : 0,3567 ÷ 0,2323 = 1,54. Les mêmes quatre positions, dimensionnées à l’identique, vous remettent une journée où tout va contre vous une fois et demie plus souvent, et rien du portefeuille n’a changé. Seule a changé la quinzaine où la corrélation a été mesurée.

Réponse. Le 0,8800 se corrige en 0,8310 ; les paris valent 1,4338, 1,2090 et 1,0989 et les journées 6,68, 7,28 et 7,63 pour cent ; et le jour où tout va contre vous arrive 1,54 fois plus souvent.

6. Quelle limite mord, et la fiche dépensée

Le nombre est une division : 4 ÷ 1 = 4 positions. Pas quatre règles choisies puis dimensionnées autour, quatre parce que c’est ce à quoi un pour cent par trade laisse de la place sous une limite de quatre pour cent.

La position unique à quatre pour cent a une journée de 4,00 pour cent et paie toute sa charge dès qu’elle perd, c’est-à-dire une fois sur deux. Quatre positions à un pour cent donnent 1 + 3 × 0,8800 = 3,64, quatre fois cela fait 14,56, et la racine carrée vaut 3,8158 : la journée vaut donc 3,82 pour cent et la charge entière arrive 35,67 pour cent du temps.

La journée est donc (4,00 − 3,82) ÷ 4,00 = 4,61 pour cent plus petite et le jour à pleine charge (0,5000 − 0,3567) ÷ 0,5000 = 28,7 pour cent plus rare. C’est tout le bénéfice de faire tourner quatre règles plutôt qu’une, après cinq leçons de mesure, et il coûte de diviser par quatre la taille par trade. Indépendantes, le même échange aurait donné une journée 50 pour cent plus petite et un jour à pleine charge 87,5 pour cent plus rare.

Et la fiche, pour les quatre règles que le module porte depuis la leçon 71 :

Règle	Corrélation la plus haute, fenêtre entière	La plus haute sur une fenêtre quelconque	Poids, vente à découvert interdite
2-et-5	0,7326	0,7599	0,711
3-et-10	0,8287	1,0000	0
5-et-20	0,9648	1,0000	0
8-et-30	0,9648	1,0000	0,289

La première colonne dit : supprimez 5-et-20, parce que c’est un doublon de 8-et-30 à 0,9648 et qu’elle porte moins que les autres n’ont déjà. La deuxième dit que la première colonne était la version optimiste : sur la quinzaine qui compte, trois des quatre règles sont la même série. La troisième dit la même chose dans une autre monnaie et ne met absolument rien dans 3-et-10 ni dans 5-et-20. Trois colonnes, deux règles restantes, et un plafond qui avait déjà décidé le nombre avant qu’aucune d’elles ne soit calculée.

Réponse. Quatre positions, une journée de 3,82 pour cent contre 4,00, soit 4,61 pour cent plus petite, et un jour à pleine charge 28,7 pour cent plus rare ; et la fiche supprime 5-et-20 et met en plus 3-et-10 à zéro.

Ce que ce quiz mettait à l’épreuve

Si vous savez distinguer un portefeuille d’une liste de positions. On vous donne une corrélation médiane : vous en faites un plafond et remarquez que le plafond ne contient pas le nombre de règles ; on vous donne un portefeuille : vous calculez à la fois la charge et la fréquence à laquelle elle arrive en entier, et vous agissez sur la seconde ; on vous donne deux règles : vous les résolvez en poids et trouvez la corrélation à partir de laquelle la réponse cesse d’être tenable ; on vous donne un relevé : vous le coupez en deux et dimensionnez sur la pire moitié ; et on vous donne une limite de perte : vous la divisez par votre risque par trade avant de discuter des règles à faire tourner, parce que cette division a déjà fixé le nombre.

Le module 10 quitte le calcul et commence par la journée, et découvre que ce n’est pas d’heures que la journée manque mais de décisions : sur les 253 règles de la grille, 203 produisent exactement une entrée sur l’étendue où elles sont définies, et la cellule la plus active de toute la grille revient à soixante-dix entrées par an.

À but éducatif uniquement. Le trading comporte un risque de perte substantiel. Ceci n'est pas un conseil financier. Les performances passées ne garantissent pas les résultats futurs.