Les poids que vous pouvez tenir

La leçon 72 a chiffré un livre où chaque position faisait la même taille et a laissé à cette page la question de savoir combien va dans chacune. Voici la réponse que donne la machinerie habituelle, sur les quatre règles de la leçon 71 et les mêmes vingt-neuf mouvements : 0,746, 0,078, moins 0,672 et 0,848. Elle réduit l’écart-type du jour de 9,72 pour cent, ce qui, sur quatre positions de deux pour cent chacune, fait 0,71 point de pourcentage du jour. Elle vous demande aussi de vendre à découvert les deux tiers d’une de vos propres règles et de porter 2,35 dollars de position pour chaque dollar du compte. Interdisez la vente à découvert et la réponse devient 0,711 et 0,289 avec deux règles à zéro, ce qui garde 80 pour cent de la baisse, tient un dollar de position par dollar de compte, et bat la réponse sans contrainte sur vos propres données jusqu’à ce que vous en ayez soixante jours.

Prérequis : Leçon 72, pour le livre à poids égaux que cette page repondère, leçon 71, pour les quatre règles et leurs six corrélations, et la leçon 12, pour le coût qui grandit avec ce que vous tradez.

Ce que l’objectif contient vraiment

La variance minimale tient en une ligne. Prenez la matrice de covariance de ce que vous détenez, inversez-la, multipliez par une colonne de uns et divisez par la somme pour que les poids fassent un. C’est toute la méthode, elle a une forme fermée, et n’importe quel tableur la fait sur quatre règles en une minute.

w = Σ⁻¹1 / (1′Σ⁻¹1)

Lisez ce qu’il y a dedans et, plus important, ce qu’il n’y a pas. Il n’y a pas de rendements espérés, et c’est voulu : la leçon 67 avait besoin de 589 transactions pour trancher si un dixième de R était réel, donc une estimation de ce que chaque règle va gagner est le nombre le moins fiable de la maison, et un objectif qui en a besoin en hérite. Il n’y a pas de coûts. Il n’y a aucune contrainte. La formule renverra un poids négatif sans commentaire, et négatif veut dire vendu à découvert.

Les entrées sont les quatre règles choisies par la leçon 71, une moyenne à 2 barres contre une à 5, une à 3 contre une à 10, une à 5 contre une à 20 et une à 8 contre une à 30, sur les vingt-neuf mouvements où chaque règle de la grille de la leçon 63 est définie. Leurs six corrélations sont celles de la leçon 71, de 0,6254 à 0,9648. Leurs écarts-types sont proches les uns des autres : 0,6015, 0,7104, 0,7278 et 0,7082 dans les unités que renvoient les règles.

Quatre pondérations méritent d’être mises côte à côte. Les poids égaux sont ce que la leçon 72 supposait. La variance inverse est ce que la plupart des gens entendent par parité de risque quand ils sont pressés : pondérez par un sur la variance de chaque règle et ignorez complètement les corrélations. Puis la réponse en variance minimale avec la vente à découvert interdite, et la même réponse sans rien d’interdit.

Pondération	Poids	Position par dollar	Écart-type du jour	Baisse
Égaux	0.25, 0.25, 0.25, 0.25	1,000	0,62719	—
Variance inverse	0.320, 0.230, 0.219, 0.231	1,000	0,61520	1,91 %
Variance minimale, sans vente à découvert	0.711, 0, 0, 0.289	1,000	0,57813	7,82 %
Variance minimale	0,746, 0,078, −0,672, 0,848	2,345	0,56624	9,72 %

Commencez par la taille du débat. La distance entière de la première ligne à la dernière vaut 0,06095, contre un point de départ de 0,62719. Tout ce que la construction de portefeuille a à dire sur ce livre, de la règle la plus grossière à l’optimum exact calculé avec les réponses en main, vaut 9,72 pour cent de l’écart-type du jour. À deux pour cent par position et à la corrélation moyenne de 0,7695 que la leçon 71 donne pour ces quatre-là, les poids égaux font un jour à 7,276 pour cent et l’optimum un jour à 6,568 pour cent. Le prix entier fait sept dixièmes d’un point de pourcentage par jour. Il vaut la peine d’être pris et il ne vaut pas beaucoup de mal, et savoir lequel des deux avant de commencer est l’essentiel de ce à quoi sert cette page.

Lisez ensuite la deuxième ligne, car c’est celle que les gens font tourner pour de vrai. La variance inverse récolte 1,91 pour cent des 9,72 disponibles, soit un cinquième. Elle échoue parce que les quatre écarts-types sont presque égaux, si bien que pondérer par eux ne bouge presque rien, et parce que la totalité du prix sur ce livre vit dans les corrélations. Une pondération qui ignore les corrélations sur un ensemble de règles dont les corrélations vont de 0,63 à 0,96 résout un problème que ce livre n’a pas.

Puis les deux qui comptent. La réponse sans contrainte retire au jour 1,90 point de pourcentage de plus, faisant passer la baisse de 7,82 pour cent à 9,72, et elle achète cela avec une jambe vendeuse de 0,672 et une position brute de 2,345 dollars pour chaque dollar de compte. La contrainte coûte un cinquième du prix et retire tout le levier.

Presque personne n’a calculé les deux. Le nombre sans contrainte est ce que renvoient par défaut tous les manuels et toutes les bibliothèques de code, le nombre contraint est quatre lignes plus loin, et l’écart entre eux est l’écart entre un portefeuille que vous pouvez décrire et un portefeuille que vous pouvez tenir.

La fiche du module 9 gagne une troisième colonne, et c’est le poids que cette page donne à chaque règle, écrit deux fois : une fois tel que l’optimiseur le renvoie et une fois avec la vente à découvert interdite. La leçon 75 est l’endroit où la fiche entière est dépensée d’un coup.

Ce que vingt-neuf jours peuvent payer

Les poids ci-dessus sont sortis de dix nombres — quatre variances et six covariances — estimés sur vingt-neuf observations. Ce n’est pas manifestement trop peu, et ce n’est pas manifestement assez : mesurez-le plutôt que d’en débattre.

Traitez la covariance mesurée ci-dessus comme si elle était la vérité. Tirez-en T observations, ajustez l’optimiseur sur le tirage comme si c’était tout ce dont vous disposiez, puis notez les poids obtenus contre la vérité dont vous êtes parti. L’écart entre la note et le vrai optimum est l’erreur d’estimation, et c’est la seule chose que contient cette expérience.

Observations	Écart-type que les poids ajustés livrent réellement	Part du prix récupérée	Bat la réponse sans vente à découvert
29	0,59971	45,1 %	21,7 %
60	0,58154	74,9 %	50,1 %
125	0,57312	88,7 %	82,9 %
250	0,56969	94,3 %	—
1 000	0,56708	98,6 %	—

La première ligne est le verdict honnête sur les poids par lesquels cette page a ouvert. Ajusté sur vingt-neuf observations, l’optimiseur sans contrainte livre 0,59971 au lieu du 0,56624 qu’il imprime, soit 45,1 pour cent du prix au lieu de la totalité. Il bat quand même les poids égaux, et largement : sur ce livre l’optimiseur n’est pas une erreur, et la croyance courante selon laquelle diviser par N gagne toujours n’est pas ce que dit l’arithmétique.

La quatrième colonne est le résultat. Ajustée sur vingt-neuf observations, la réponse sans contrainte bat la réponse contrainte 21,7 pour cent du temps. Quatre fois sur cinq, les poids que vous ne pouvez pas tenir sont aussi les poids qui perdent. Il faut soixante observations pour que cela devienne un pile ou face et 125 avant que la réponse sans contrainte gagne cinq fois sur six, et 125 observations quotidiennes font six mois de clôtures.

Regardez maintenant les poids eux-mêmes plutôt que ce qu’ils livrent. Retirez les vingt-neuf jours avec remise quatre mille fois, réajustez, et lisez les quatre-vingt-dix résultats centraux sur cent :

2-et-5, ajusté à 0,746 : atterrit entre 0,377 et 1,081.

3-et-10, ajusté à 0,078 : atterrit entre moins 0,916 et 0,635, et est négatif 44,7 pour cent du temps.

5-et-20, ajusté à moins 0,672 : atterrit entre moins 1,504 et moins 0,011.

Position brute, ajustée à 2,345 : médiane 2,795, et au-dessus de trois dollars par dollar de compte dans 31,9 pour cent des tirages.

L’écart-type que ces poids livrent est stable. Les poids ne le sont pas. Un nombre qui vaut 0,078 sur vos données et qui est négatif dans presque la moitié de ses propres tirages n’est pas une décision sur une règle, c’est le résidu de dix estimations qui se disputent vingt-neuf jours, et l’imprimer à trois chiffres est la partie qui trompe.

Et c’est là que la contrainte gagne sa place, et elle fait plus que vous protéger du levier. Interdire les poids négatifs revient arithmétiquement à admettre que la covariance est mal mesurée et à la tirer vers quelque chose de plus simple : rétrécissez la covariance de ce livre à mi-chemin vers l’unique corrélation moyenne qu’utilisait la leçon 72 et l’optimiseur renvoie une position brute de 1,076 et un écart-type de 0,57831, contre le 1,000 et le 0,57813 de la contrainte. Deux aveux différents de la même ignorance, qui atterrissent à deux dix-millièmes l’un de l’autre.

Et la réponse contrainte met 5-et-20 à zéro, c’est-à-dire précisément la règle que la leçon 71 vous disait de retirer parce qu’elle a la corrélation la plus élevée avec le reste. Deux objectifs différents, l’un mesuré sur des corrélations et l’autre sur une variance, choisissent la même règle à supprimer.

Faites donc tourner l’optimiseur avec la vente à découvert interdite, et prenez les 7,82 pour cent qu’il peut tenir plutôt que les 9,72 qu’il ne peut pas.

Ce que cela ne règle pas

Que la variance minimale soit l’objectif. C’est l’objectif qui demande le moins, pas celui que vous voulez. Rien dedans ne sait quelle règle gagne de l’argent, donc une règle calme et sans valeur récolte du poids parce qu’elle est calme. Tous les seuils de ce cours s’appliquent à chaque règle avant que les poids de cette page ne s’appliquent à l’ensemble : la barre de la leçon 64, le test de la leçon 67, la condition de filtre de la leçon 70. Pondérer un livre de quatre règles mortes en variance minimale produit une manière très stable de perdre de l’argent.

Que les 9,72 pour cent soient gratuits. La position brute passe d’un dollar à 2,345, et tout coût qui grandit avec ce que vous tradez grandit avec elle : l’écart de la leçon 12 à l’entrée et à la sortie, l’impact de la leçon 59 à l’entrée, la capacité de la leçon 68 sur la taille que vous pouvez tenir tout court. L’objectif n’en contient aucun, donc il achètera volontiers sept dixièmes d’un point de pourcentage d’écart-type quotidien contre un doublement de la facture. Sur le fonds de la leçon 12 cette affaire en vaut clairement la peine et sur la micro-capitalisation clairement pas, et la formule ne peut pas les distinguer parce qu’on ne lui a jamais montré les cotations.

Que la simulation mesure l’erreur entière. Elle ne le fait pas, et elle flatte l’optimiseur par construction. La vérité dont elle tire est la même covariance que les vingt-neuf jours ont produite, donc ce que le tableau chiffre est l’erreur d’estimation et rien d’autre. Il ne dit rien du fait que la covariance puisse être fausse d’emblée, ce qui est le problème le plus grand et celui de la page suivante.

Que quatre règles soit le cas difficile. C’est le cas facile. Dix paramètres sur vingt-neuf observations est inconfortable ; vingt règles font 210 paramètres sur les mêmes vingt-neuf jours, et à vingt-neuf règles la matrice mesurée cesse d’avoir une inverse, si bien que l’optimiseur ne renvoie pas une mauvaise réponse, il n’en renvoie aucune. Le nombre de paramètres croît comme le carré du nombre de règles et les données ne croissent pas avec, et c’est pourquoi tout traitement professionnel de ce problème porte sur le rétrécissement, la contrainte ou la factorisation de la matrice plutôt que sur l’inversion de ce que vous avez mesuré.

Que les poids soient une décision sur les règles. Ce sont une décision sur ce livre pendant ces jours-là. Ajoutez une cinquième règle et les quatre poids bougent, parce que l’objectif n’a aucune notion du mérite propre d’une règle, seulement de sa contribution à un ensemble donné. La troisième colonne de la fiche est donc ce qu’il y a de moins transportable dessus, ce qui explique pourquoi elle est écrite deux fois et pourquoi la seconde écriture est celle sur laquelle on agit.

Et la concession qui coûte le plus : cette page a traité la covariance comme un objet mesuré sur une fenêtre, et ce n’est pas un objet. Coupez les mêmes vingt-neuf mouvements en deux et la corrélation moyenne entre les quatre règles vaut 0,5966 sur les quinze premiers et 0,8800 sur les quatorze derniers, et les poids ajustés sur la première moitié valent 0,448, 0,273, moins 0,498 et 0,777 au lieu de 0,746, 0,078, moins 0,672 et 0,848. Sur les quatorze derniers, c’est pire qu’instable : trois des quatre règles tiennent la même position chacun de ces jours, leurs corrélations valent exactement un, et la matrice de covariance n’a aucune inverse. La leçon 74 commence là, sur la moitié de vos propres données où la machinerie de cette page ne tourne pas.

Exercices

1. Pondérez votre propre livre de deux façons. Prenez les rendements quotidiens des règles que vous faites tourner, construisez la matrice de covariance dans un tableur, et calculez les poids de variance minimale avec et sans plancher à zéro. Une demi-heure, et vous finissez avec deux jeux de poids et un nombre, la différence d’écart-type du jour entre eux, qui est ce que la jambe vendeuse se fait payer.
2. Chiffrez le prix avant de le poursuivre. Calculez l’écart-type de votre livre à poids égaux et à l’optimum sans contrainte, et prenez le rapport. Dix minutes, et vous finissez avec un nombre, le maximum que repondérer pourra jamais faire pour vous, que vous comparez aux 9,72 pour cent de cette page et à ce dont vos coûts monteraient à la position brute de l’optimum.
3. Retirez vos propres poids. Tirez vos propres jours avec remise, réajustez les poids, et faites-le deux cents fois. Une soirée, et vous finissez avec un nombre par règle, la part des tirages où son poids est négatif, et toute règle dont la part approche la moitié n’a pas reçu de poids de vos données.

Sources. Harry Markowitz, « Portfolio Selection » (The Journal of Finance, 1952), pour l’objectif que cette page calcule et pour la remarque, faite d’emblée et le plus souvent oubliée, que ses entrées sont des estimations. Richard O. Michaud, « The Markowitz Optimization Enigma: Is Optimized Optimal? » (Financial Analysts Journal, 1989), pour l’argument selon lequel l’optimiseur maximise les erreurs de ses entrées en même temps que tout le reste, ce qui est le deuxième tableau lu en une phrase. Ravi Jagannathan et Tongshu Ma, « Risk Reduction in Large Portfolios: Why Imposing the Wrong Constraints Helps » (The Journal of Finance, 2003), pour le résultat selon lequel interdire les positions vendeuses équivaut à rétrécir la matrice de covariance, ce qui explique pourquoi la réponse contrainte et la réponse rétrécie atterrissent ici au même endroit. Victor DeMiguel, Lorenzo Garlappi et Raman Uppal, « Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient Is the 1/N Portfolio Strategy? » (The Review of Financial Studies, 2009), pour les fenêtres d’estimation dont un portefeuille optimisé a besoin avant de battre les poids égaux, ce qui est la troisième colonne du deuxième tableau faite correctement et à grande échelle.

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