Les poids que vous pouvez tenir

La leçon 72 a chiffré un livre où chaque position faisait la même taille et a laissé à cette page la question de savoir combien va dans chacune. Voici la réponse que donne la machinerie habituelle, sur les quatre règles de la leçon 71 et les mêmes vingt-huit mouvements : 0,987, moins 0,438, moins 0,705 et 1,156. Elle réduit l’écart-type du jour de 10,65 pour cent, ce qui, sur quatre positions de deux pour cent chacune, fait 0,78 point de pourcentage du jour. Elle vous demande aussi de vendre à découvert deux de vos quatre propres règles et de porter 3,29 dollars de position pour chaque dollar du compte. Interdisez les ventes à découvert et la réponse devient 0,630 et 0,370 avec deux règles à zéro, ce qui garde 59 pour cent de la baisse, tient un dollar de position par dollar de compte, et, ajustée sur vingt-huit jours plutôt que connue d’avance, donne en moyenne un meilleur jour que la réponse sans contrainte.

Prérequis : Leçon 72, pour le livre à poids égaux que cette page repondère, leçon 71, pour les quatre règles et leurs six corrélations, et la leçon 12, pour le coût qui grandit avec ce que vous tradez.

Ce que l’objectif contient vraiment

La variance minimale tient en une ligne. Prenez la matrice de covariance de ce que vous détenez, inversez-la, multipliez par une colonne de uns et divisez par la somme pour que les poids fassent un. C’est toute la méthode, elle a une forme fermée, et n’importe quel tableur la fait sur quatre règles en une minute.

w = Σ⁻¹1 / (1′Σ⁻¹1)

Lisez ce qu’il y a dedans et, plus important, ce qu’il n’y a pas. Il n’y a pas de rendements espérés, et c’est voulu : la leçon 67 avait besoin de 589 transactions pour trancher si un dixième de R était réel, donc une estimation de ce que chaque règle va gagner est le nombre le moins fiable de la maison, et un objectif qui en a besoin en hérite. Il n’y a pas de coûts. Il n’y a aucune contrainte. La formule renverra un poids négatif sans commentaire, et négatif veut dire vendu à découvert.

Les entrées sont les quatre règles choisies par la leçon 71, une moyenne à 2 barres contre une à 5, une à 3 contre une à 10, une à 5 contre une à 20 et une à 8 contre une à 30, sur les vingt-huit mouvements où chaque règle de la grille de la leçon 63 est définie. Leurs six corrélations sont celles de la leçon 71, de 0,6282 à 0,9742. Leurs écarts-types sont proches les uns des autres : 0,6375, 0,7218, 0,7265 et 0,7032 dans les unités que renvoient les règles.

Quatre pondérations méritent d’être mises côte à côte. Les poids égaux sont ce que la leçon 72 supposait. La variance inverse est ce que la plupart des gens entendent par parité de risque quand ils sont pressés : pondérez par un sur la variance de chaque règle et ignorez complètement les corrélations. Puis la réponse en variance minimale avec la vente à découvert interdite, et la même réponse sans rien d’interdit.

Pondération	Poids	Position par dollar	Écart-type du jour	Baisse
Égaux	0.25, 0.25, 0.25, 0.25	1,000	0,64074	—
Variance inverse	0.297, 0.231, 0.228, 0.244	1,000	0,63502	0,89 %
Variance minimale, sans vente à découvert	0.630, 0, 0, 0.370	1,000	0,60021	6,32 %
Variance minimale	0,987, −0,438, −0,705, 1,156	3,287	0,57252	10,65 %

Commencez par la taille du débat. La distance entière de la première ligne à la dernière vaut 0,06822, contre un point de départ de 0,64074. Tout ce que la construction de portefeuille a à dire sur ce livre, de la règle la plus grossière à l’optimum exact calculé avec les réponses en main, vaut 10,65 pour cent de l’écart-type du jour. À deux pour cent par position et à la corrélation moyenne de 0,7887 que la leçon 71 donne pour ces quatre-là, les poids égaux font un jour à 7,339 pour cent et l’optimum un jour à 6,557 pour cent. Le prix entier fait huit dixièmes d’un point de pourcentage par jour. Il vaut la peine d’être pris et il ne vaut pas beaucoup de mal, et savoir lequel des deux avant de commencer est l’essentiel de ce à quoi sert cette page.

Lisez ensuite la deuxième ligne, car c’est celle que les gens font tourner pour de vrai. La variance inverse récolte 0,89 pour cent des 10,65 disponibles, soit un douzième. Elle échoue parce que les quatre écarts-types sont presque égaux, si bien que pondérer par eux ne bouge presque rien, et parce que la totalité du prix sur ce livre vit dans les corrélations. Une pondération qui ignore les corrélations sur un ensemble de règles dont les corrélations vont de 0,63 à 0,97 résout un problème que ce livre n’a pas.

Puis les deux qui comptent. La réponse sans contrainte retire au jour 4,33 point de pourcentage de plus, faisant passer la baisse de 6,32 pour cent à 10,65, et elle achète cela avec deux jambes vendeuses totalisant 1,143 et une position brute de 3,287 dollars pour chaque dollar de compte. La contrainte coûte deux cinquièmes du prix et retire tout le levier.

Presque personne n’a calculé les deux. Le nombre sans contrainte est ce que renvoient par défaut tous les manuels et toutes les bibliothèques de code, le nombre contraint est quatre lignes plus loin, et l’écart entre eux est l’écart entre un portefeuille que vous pouvez décrire et un portefeuille que vous pouvez tenir.

La fiche du module 9 gagne une troisième colonne, et c’est le poids que cette page donne à chaque règle, écrit deux fois : une fois tel que l’optimiseur le renvoie et une fois avec les ventes à découvert interdites. La leçon 75 est l’endroit où la fiche entière est dépensée d’un coup.

Ce que vingt-huit jours peuvent payer

Les poids ci-dessus sont sortis de dix nombres, quatre variances et six covariances, estimés sur vingt-huit observations. Ce n’est pas manifestement trop peu, et ce n’est pas manifestement assez : mesurez-le plutôt que d’en débattre.

Traitez la covariance mesurée ci-dessus comme si elle était la vérité. Tirez-en T observations, ajustez l’optimiseur sur le tirage comme si c’était tout ce dont vous disposiez, puis notez les poids obtenus contre la vérité dont vous êtes parti. L’écart entre la note et le vrai optimum est l’erreur d’estimation, et c’est la seule chose que contient cette expérience. Vingt mille tirages à chaque T, à partir de la graine 20260905, si bien que la troisième colonne est stable au dixième de point et la quatrième à deux dixièmes.

Observations	Écart-type que les poids ajustés livrent réellement	Part du prix récupérée	Bat la réponse sans vente à découvert
28	0,60798	48,0 %	50,4 %
60	0,58781	77,6 %	85,6 %
125	0,57960	89,6 %	99,1 %
250	0,57594	95,0 %	100,0 %
1 000	0,57338	98,7 %	100,0 %

La première ligne est le verdict honnête sur les poids par lesquels cette page a ouvert. Ajusté sur vingt-huit observations, l’optimiseur sans contrainte livre 0,60798 au lieu du 0,57252 qu’il imprime, soit 48,0 pour cent du prix au lieu de la totalité. Il bat quand même les poids égaux, et largement : sur ce livre l’optimiseur n’est pas une erreur, et la croyance courante selon laquelle diviser par N gagne toujours n’est pas ce que dit l’arithmétique.

La quatrième colonne est le résultat, et il faut la lire contre la deuxième. Ajustée sur vingt-huit observations, la réponse sans contrainte bat la réponse contrainte sur 50,4 pour cent des tirages, soit un pile ou face, tout en livrant 0,60798 en moyenne contre le 0,60021 que la contrainte livre sans rien estimer du tout. Les poids que vous ne pouvez pas tenir gagnent la moitié du temps, perdent en moyenne, et portent de toute façon trois dollars de position pour un. Il faut soixante observations avant que la réponse sans contrainte gagne cinq fois sur six et 125 avant qu’elle gagne pour ainsi dire toujours, et 125 observations quotidiennes font six mois de clôtures.

Regardez maintenant les poids eux-mêmes plutôt que ce qu’ils livrent. Retirez les vingt-huit jours avec remise quatre mille fois à partir de la graine 20260906, réajustez, et lisez les quatre-vingt-dix résultats centraux sur cent :

2-et-5, ajusté à 0,987 : atterrit entre 0,724 et 1,316.

3-et-10, ajusté à moins 0,438 : atterrit entre moins 0,881 et moins 0,043.

5-et-20, ajusté à moins 0,705 : atterrit entre moins 1,381 et 0,081, et est positif dans 6,6 pour cent des tirages.

Position brute, ajustée à 3,287 : médiane 3,194, et au-dessus de trois dollars par dollar de compte dans 63,9 pour cent des tirages.

L’écart-type que ces poids livrent est stable. Les poids ne le sont pas. Un poids de moins 0,705 dont les propres tirages vont de moins 1,381 à plus 0,081 n’est pas une décision sur une règle, c’est le résidu de dix estimations qui se disputent vingt-huit jours, et l’imprimer à trois chiffres est la partie qui trompe. Et 153 des quatre mille tirages ont donné une matrice de covariance sans aucune inverse, si bien que sur près d’un tirage sur vingt-cinq de vos propres jours la méthode ne renvoie pas une mauvaise réponse, elle n’en renvoie aucune.

Et c’est là que la contrainte gagne sa place, et elle fait plus que vous protéger du levier. Interdire les poids négatifs revient arithmétiquement à admettre que la covariance est mal mesurée et à la tirer vers quelque chose de plus simple : rétrécissez la covariance de ce livre à mi-chemin vers l’unique corrélation moyenne qu’utilisait la leçon 72 et l’optimiseur renvoie une position brute de 1,205 et un écart-type de 0,59512, contre le 1,000 et le 0,60021 de la contrainte. Deux aveux différents de la même ignorance, qui atterrissent à un pour cent l’un de l’autre sur le jour et à un cinquième de dollar sur la position.

Et la réponse contrainte met 5-et-20 à zéro, c’est-à-dire précisément la règle que la leçon 71 vous disait de retirer parce qu’elle a la corrélation la plus élevée avec le reste. Deux objectifs différents, l’un mesuré sur des corrélations et l’autre sur une variance, choisissent la même règle à supprimer.

Faites donc tourner l’optimiseur avec les ventes à découvert interdites, et prenez les 6,32 pour cent qu’il peut tenir plutôt que les 10,65 qu’il ne peut pas.

Ce que cela ne règle pas

Que la variance minimale soit l’objectif. C’est l’objectif qui demande le moins, pas celui que vous voulez. Rien dedans ne sait quelle règle gagne de l’argent, donc une règle calme et sans valeur récolte du poids parce qu’elle est calme. Tous les seuils de ce cours s’appliquent à chaque règle avant que les poids de cette page ne s’appliquent à l’ensemble : la barre de la leçon 64, le test de la leçon 67, la condition de filtre de la leçon 70. Pondérer un livre de quatre règles mortes en variance minimale produit une manière très stable de perdre de l’argent.

Que les 10,65 pour cent soient gratuits. La position brute passe d’un dollar à 3,287, et tout coût qui grandit avec ce que vous tradez grandit avec elle : l’écart de la leçon 12 à l’entrée et à la sortie, l’impact de la leçon 59 à l’entrée, la capacité de la leçon 68 sur la taille que vous pouvez tenir tout court. L’objectif n’en contient aucun, donc il achètera volontiers huit dixièmes d’un point de pourcentage d’écart-type quotidien contre un triplement de la facture. Sur le fonds de la leçon 12 cette affaire en vaut clairement la peine et sur la micro-capitalisation clairement pas, et la formule ne peut pas les distinguer parce qu’on ne lui a jamais montré les cotations.

Que la simulation mesure l’erreur entière. Elle ne le fait pas, et elle flatte l’optimiseur par construction. La vérité dont elle tire est la même covariance que les vingt-huit jours ont produite, donc ce que le tableau chiffre est l’erreur d’estimation et rien d’autre. Il ne dit rien du fait que la covariance puisse être fausse d’emblée, ce qui est le problème le plus grand et celui de la page suivante.

Que quatre règles soit le cas difficile. C’est le cas facile. Dix paramètres sur vingt-huit observations est inconfortable ; vingt règles font 210 paramètres sur les mêmes vingt-huit jours, et à vingt-huit règles la matrice mesurée cesse d’avoir une inverse, si bien que l’optimiseur ne renvoie pas une mauvaise réponse, il n’en renvoie aucune. Le nombre de paramètres croît comme le carré du nombre de règles et les données ne croissent pas avec, et c’est pourquoi tout traitement professionnel de ce problème porte sur le rétrécissement, la contrainte ou la factorisation de la matrice plutôt que sur l’inversion de ce que vous avez mesuré.

Que les poids soient une décision sur les règles. Ce sont une décision sur ce livre pendant ces jours-là. Ajoutez une cinquième règle et les quatre poids bougent, parce que l’objectif n’a aucune notion du mérite propre d’une règle, seulement de sa contribution à un ensemble donné. La troisième colonne de la fiche est donc ce qu’il y a de moins transportable dessus, ce qui explique pourquoi elle est écrite deux fois et pourquoi la seconde écriture est celle sur laquelle on agit.

Et la concession qui coûte le plus : cette page a traité la covariance comme un objet mesuré sur une fenêtre, et ce n’est pas un objet. Coupez les mêmes vingt-huit mouvements en deux et la corrélation moyenne entre les quatre règles vaut 0,5673 sur les quatorze premiers et 0,9247 sur les quatorze derniers, et les poids ajustés sur la première moitié valent 0,308, 0,225, moins 0,731 et 1,197 au lieu de 0,987, moins 0,438, moins 0,705 et 1,156. Sur les quatorze derniers, c’est pire qu’instable : trois des quatre règles tiennent la même position chacun de ces jours, leurs corrélations valent exactement un, et la matrice de covariance n’a aucune inverse. La leçon 74 commence là, sur la moitié de vos propres données où la machinerie de cette page ne tourne pas.

Exercices

1. Pondérez votre propre livre de deux façons. Prenez les rendements quotidiens des règles que vous faites tourner, construisez la matrice de covariance dans un tableur, et calculez les poids de variance minimale avec et sans plancher à zéro. Une demi-heure, et vous finissez avec deux jeux de poids et un nombre, la différence d’écart-type du jour entre eux, qui est ce que la jambe vendeuse se fait payer.
2. Chiffrez le prix avant de le poursuivre. Calculez l’écart-type de votre livre à poids égaux et à l’optimum sans contrainte, et prenez le rapport. Dix minutes, et vous finissez avec un nombre, le maximum que repondérer pourra jamais faire pour vous, que vous comparez aux 10,65 pour cent de cette page et à ce dont vos coûts monteraient à la position brute de l’optimum.
3. Retirez vos propres poids. Tirez vos propres jours avec remise, réajustez les poids, et faites-le deux cents fois. Une soirée, et vous finissez avec un nombre par règle, la part des tirages où son poids est négatif, et toute règle dont la part approche la moitié n’a pas reçu de poids de vos données.

Sources. Harry Markowitz, « Portfolio Selection » (The Journal of Finance, 1952), pour l’objectif que cette page calcule et pour la remarque, faite d’emblée et le plus souvent oubliée, que ses entrées sont des estimations. Richard O. Michaud, « The Markowitz Optimization Enigma: Is Optimized Optimal? » (Financial Analysts Journal, 1989), pour l’argument selon lequel l’optimiseur maximise les erreurs de ses entrées en même temps que tout le reste, ce qui est le deuxième tableau lu en une phrase. Ravi Jagannathan et Tongshu Ma, « Risk Reduction in Large Portfolios: Why Imposing the Wrong Constraints Helps » (The Journal of Finance, 2003), pour le résultat selon lequel interdire les positions vendeuses équivaut à rétrécir la matrice de covariance, ce qui explique pourquoi la réponse contrainte et la réponse rétrécie atterrissent ici au même endroit. Victor DeMiguel, Lorenzo Garlappi et Raman Uppal, « Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient Is the 1/N Portfolio Strategy? » (The Review of Financial Studies, 2009), pour les fenêtres d’estimation dont un portefeuille optimisé a besoin avant de battre les poids égaux, ce qui est la troisième colonne du deuxième tableau faite correctement et à grande échelle.

Chacun d’eux est défini dans le glossaire face à l’arithmétique de cette page.

Minimum Variance

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