Веса, которые ты можешь держать

Урок 72 оценил книгу, в которой каждая позиция была одного размера, и оставил этой странице вопрос о том, сколько идёт в каждую. Вот ответ, который даёт стандартная машинерия, на четырёх правилах урока 71 и тех же двадцати восьми движениях: 0,987, минус 0,438, минус 0,705 и 1,156. Он срезает дневное стандартное отклонение на 10,65 процента, что при четырёх позициях по два процента каждая составляет 0,78 процентного пункта дня. Он также требует продать в короткую два из твоих же четырёх правил и нести 3,29 доллара позиции на каждый доллар на счёте. Запрети короткие продажи — и ответ становится 0,630 и 0,370 с двумя правилами на нуле, что сохраняет 59 процентов среза, держит доллар позиции на доллар счёта и, будучи подогнанным по двадцати восьми дням, а не известным заранее, в среднем даёт день лучше, чем ответ без ограничений.

Требования: Урок 72, за книгу с равными весами, которую эта страница перевзвешивает, урок 71, за четыре правила и их шесть корреляций, и урок 12, за издержку, растущую вместе с тем, чем ты торгуешь.

Что на самом деле содержит целевая функция

Минимальная дисперсия — это одна строка. Возьми ковариационную матрицу того, что держишь, обрати её, умножь на столбец единиц и раздели на сумму, чтобы веса складывались в единицу. Это весь метод, у него замкнутая форма, и любая таблица посчитает его на четырёх правилах за минуту.

w = Σ⁻¹1 / (1′Σ⁻¹1)

Прочти, что в нём есть, и, что важнее, чего в нём нет. Нет ожидаемых доходностей, и это намеренно: уроку 67 понадобилось 589 сделок, чтобы выяснить, реальна ли одна десятая R, так что оценка того, сколько заработает каждое правило, — самое ненадёжное число во всём здании, и цель, которой она нужна, это наследует. Нет издержек. Нет ни одного ограничения. Формула без комментариев вернёт отрицательный вес, а отрицательный означает короткую позицию.

На входе — четыре правила, выбранные уроком 71: среднее по 2 барам против 5, по 3 против 10, по 5 против 20 и по 8 против 30, на тех двадцати восьми движениях, на которых определено каждое правило сетки урока 63. Их шесть корреляций — это корреляции урока 71, от 0,6282 до 0,9742. Их стандартные отклонения близки друг к другу: 0,6375, 0,7218, 0,7265 и 0,7032 в тех единицах, которые возвращают правила.

Четыре взвешивания стоит поставить рядом. Равные веса — это то, что предполагал урок 72. Обратная дисперсия — это то, что большинство имеет в виду под паритетом риска, когда спешит: взвесить по единице, делённой на дисперсию каждого правила, и полностью проигнорировать корреляции. Затем ответ минимальной дисперсии с запретом на короткую продажу и тот же ответ без каких-либо запретов.

Взвешивание	Веса	Позиция на доллар	Дневное стандартное отклонение	Срез
Равные	0.25, 0.25, 0.25, 0.25	1,000	0,64074	—
Обратная дисперсия	0.297, 0.231, 0.228, 0.244	1,000	0,63502	0,89 %
Минимальная дисперсия, без коротких	0.630, 0, 0, 0.370	1,000	0,60021	6,32 %
Минимальная дисперсия	0,987, −0,438, −0,705, 1,156	3,287	0,57252	10,65 %

Начни с масштаба спора. Всё расстояние от верхней строки до нижней есть 0,06822 против исходных 0,64074. Всё, что построение портфеля может сказать об этой книге, от самого грубого правила до точного оптимума, посчитанного с ответами на руках, стоит 10,65 процента дневного стандартного отклонения. При двух процентах на позицию и средней корреляции 0,7887, которую урок 71 даёт для этих четырёх, равные веса делают день 7,339 процента, а оптимум — 6,557 процента. Весь приз — восемь десятых процентного пункта в день. Его стоит взять, и он не стоит больших хлопот, и знать заранее, что из двух верно, — это и есть большая часть того, зачем эта страница нужна.

Затем прочти вторую строку, потому что именно её люди и запускают. Обратная дисперсия собирает 0,89 процента из доступных 10,65, то есть двенадцатую часть. Она проваливается, потому что четыре стандартных отклонения почти одинаковы, так что взвешивание по ним почти ничего не двигает, и потому что весь приз на этой книге живёт в корреляциях. Взвешивание, игнорирующее корреляции на наборе правил, чьи корреляции идут от 0,63 до 0,97, решает задачу, которой у этой книги нет.

И наконец две, которые важны. Ответ без ограничений снимает с дня ещё 4,33 процентного пункта, переводя срез с 6,32 процента на 10,65, и покупает это двумя короткими ногами на 1,143 в сумме и валовой позицией в 3,287 доллара на каждый доллар счёта. Ограничение стоит двух пятых приза и убирает всё плечо.

Почти никто не посчитал оба. Число без ограничений — это то, что по умолчанию возвращает любой учебник и любая библиотека кода, ограниченное лежит четырьмя строками дальше, а разница между ними — это разница между портфелем, который можно описать, и портфелем, который можно держать.

Карточка модуля 9 получает третий столбец, и это вес, который эта страница даёт каждому правилу, записанный дважды: один раз так, как его возвращает оптимизатор, и один раз с запретом на короткие продажи. В уроке 75 вся карточка расходуется разом.

Что могут оплатить двадцать восемь дней

Веса выше вышли из десяти чисел, четырёх дисперсий и шести ковариаций, оценённых по двадцати восьми наблюдениям. Это не очевидно слишком мало и не очевидно достаточно, так что измерь это, а не спорь об этом.

Отнесись к измеренной выше ковариации так, будто она и есть истина. Извлеки из неё T наблюдений, подгони оптимизатор к выборке так, будто это всё, что у тебя есть, а затем оцени полученные веса против той истины, с которой ты начал. Расстояние между оценкой и настоящим оптимумом — это ошибка оценивания, и больше в этом опыте нет ничего. Двадцать тысяч выборок при каждом T, от зерна 20260905, так что третий столбец устойчив до десятой доли пункта, а четвёртый — до двух десятых.

Наблюдений	Стандартное отклонение, которое подогнанные веса дают на деле	Доля приза, которая доходит	Обыгрывает ответ без коротких
28	0,60798	48,0 %	50,4 %
60	0,58781	77,6 %	85,6 %
125	0,57960	89,6 %	99,1 %
250	0,57594	95,0 %	100,0 %
1 000	0,57338	98,7 %	100,0 %

Первая строка — честный приговор весам, с которых эта страница началась. Подогнанный по двадцати восьми наблюдениям, оптимизатор без ограничений даёт 0,60798 вместо 0,57252, которые печатает, то есть 48,0 процента приза вместо всего приза. Равные веса он всё равно обыгрывает, и с запасом: на этой книге оптимизатор — не ошибка, и расхожее утверждение, будто делить на N всегда выгоднее, не есть то, что говорит арифметика.

Четвёртый столбец — и есть находка, и читать его надо против второго. Подогнанный по двадцати восьми наблюдениям, ответ без ограничений обыгрывает ограниченный в 50,4 процента выборок, то есть бросок монеты, и при этом даёт в среднем 0,60798 против 0,60021, которые ограничение даёт вообще без оценивания. Веса, которые ты не можешь держать, выигрывают в половине случаев, в среднем проигрывают и в любом случае несут три доллара позиции на каждый доллар. Нужно шестьдесят наблюдений, чтобы ответ без ограничений выигрывал пять раз из шести, и 125, чтобы он выигрывал практически всегда, а 125 дневных наблюдений — это шесть месяцев закрытий.

Теперь посмотри на сами веса, а не на то, что они дают. Перевыбери двадцать восемь дней с возвращением четыре тысячи раз от зерна 20260906, подгони заново и прочти средние девяносто результатов из ста:

2-и-5, подогнан на 0,987: попадает между 0,724 и 1,316.

3-и-10, подогнан на минус 0,438: попадает между минус 0,881 и минус 0,043.

5-и-20, подогнан на минус 0,705: попадает между минус 1,381 и 0,081 и положителен в 6,6 процента перевыборок.

Валовая позиция, подогнана на 3,287: медиана 3,194, и выше трёх долларов на доллар счёта в 63,9 процента перевыборок.

Стандартное отклонение, которое эти веса дают, устойчиво. Сами веса — нет. Вес минус 0,705, чьи собственные перевыборки идут от минус 1,381 до плюс 0,081, — это не решение о правиле, это осадок от десяти оценок, спорящих о двадцати восьми днях, и печатать его тремя знаками — та самая часть, которая вводит в заблуждение. А 153 из четырёх тысяч перевыборок дали ковариационную матрицу вовсе без обратной, так что почти на одной выборке из двадцати пяти по твоим же дням метод не возвращает неверный ответ — он не возвращает никакого.

И вот здесь ограничение отрабатывает своё место, и делает оно больше, чем защищает тебя от плеча. Запретить отрицательные веса арифметически близко к признанию, что ковариация измерена плохо, и к подтягиванию её к чему-то более простому: сожми ковариацию этой книги наполовину к той единственной средней корреляции, которой пользовался урок 72, и оптимизатор вернёт валовую позицию 1,205 и стандартное отклонение 0,59512 против 1,000 и 0,60021 у ограничения. Два разных признания одного и того же незнания, оказавшиеся в одном проценте друг от друга по дню и в пятой части доллара по позиции.

А ограниченный ответ ставит 5-и-20 на ноль, то есть ровно то правило, которое урок 71 советовал убрать за самую высокую корреляцию с остальными. Две разные цели, одна измеренная по корреляциям, другая по дисперсии, выбирают на удаление одно и то же правило.

Так что запусти оптимизатор с запретом на короткие продажи и возьми те 6,32 процента, которые он может удержать, вместо 10,65, которых не может.

Что это не решает

Что минимальная дисперсия — это и есть цель. Это цель, которой нужно меньше всего, а не та, которую ты хочешь. Ничто внутри неё не знает, какое правило зарабатывает, так что тихое и бесполезное правило набирает вес за то, что оно тихое. Любой порог этого курса применяется к каждому правилу до того, как веса этой страницы применятся к набору: планка урока 64, тест урока 67, условие фильтра урока 70. Взвесить книгу из четырёх мёртвых правил по минимальной дисперсии — это очень устойчивый способ терять деньги.

Что 10,65 процента достаются даром. Валовая позиция идёт с одного доллара на 3,287, и всякая издержка, растущая вместе с тем, чем ты торгуешь, растёт вместе с ней: спред урока 12 на входе и на выходе, влияние на цену из урока 59 на входе, вместимость урока 68 для размера, который вообще можно держать. Целевая функция не содержит ни одной из них, так что она с готовностью купит восемь десятых процентного пункта дневного стандартного отклонения ценой утроения счёта. На фонде из урока 12 эта сделка явно выгодна, а на микрокапитализации явно нет, и формула их не различает, потому что котировок ей никогда не показывали.

Что симуляция измеряет всю ошибку. Не измеряет и по самому своему устройству льстит оптимизатору. Истина, из которой она тянет, — та же ковариация, которую дали двадцать восемь дней, так что таблица оценивает ошибку оценивания и больше ничего. Она ничего не говорит о том, что ковариация может быть неверной изначально, а это проблема побольше и это уже следующая страница.

Что четыре правила — трудный случай. Это лёгкий. Десять параметров по двадцати восьми наблюдениям неудобны; двадцать правил — это 210 параметров по тем же двадцати восьми дням, а при двадцати восьми правилах измеренная матрица вообще перестаёт иметь обратную, так что оптимизатор не возвращает плохой ответ — он не возвращает никакого. Число параметров растёт как квадрат числа правил, а данные не растут, и потому всякая профессиональная работа с этой задачей посвящена сжатию, ограничению или факторизации матрицы, а не обращению того, что ты измерил.

Что веса — решение о правилах. Это решение об этой книге в эти дни. Добавь пятое правило, и все четыре веса сдвинутся, потому что у цели нет понятия о собственной ценности правила, только о его вкладе в конкретный набор. Третий столбец карточки поэтому самое непереносимое, что на ней есть, и потому он записан дважды, и потому вторая запись — та, по которой действуют.

И уступка, которая стоит дороже всего: эта страница обошлась с ковариацией как с одним объектом, измеренным на одном окне, а она не один объект. Разрежь те же двадцать восемь движений пополам, и средняя корреляция между четырьмя правилами равна 0,5673 на первых четырнадцати и 0,9247 на последних четырнадцати, а веса, подогнанные на первой половине, равны 0,308, 0,225, минус 0,731 и 1,197 вместо 0,987, минус 0,438, минус 0,705 и 1,156. На последних четырнадцати всё хуже, чем неустойчиво: три правила из четырёх держат одну и ту же позицию в каждый из этих дней, их корреляции ровно единица, а у ковариационной матрицы нет обратной вовсе. Урок 74 начинается там, на той половине твоих же данных, на которой машинерия этой страницы не работает.

Задачи

1. Взвесь свою книгу двумя способами. Возьми дневные доходности правил, которые запускаешь, построй ковариационную матрицу в таблице и посчитай веса минимальной дисперсии с нулевым полом и без него. Полчаса, и в итоге у тебя два набора весов и одно число, разница дневного стандартного отклонения между ними, а это и есть то, чем оплачивается короткая нога.
2. Оцени приз, прежде чем за ним гнаться. Посчитай стандартное отклонение своей книги при равных весах и в оптимуме без ограничений и возьми отношение. Десять минут, и в итоге у тебя одно число, самое большее, что перевзвешивание вообще может для тебя сделать, которое ты сравниваешь с 10,65 процента этой страницы и с тем, насколько выросли бы твои издержки при валовой позиции оптимума.
3. Перевыбери свои собственные веса. Извлеки свои дни с возвращением, подгони веса заново и сделай так двести раз. Один вечер, и в итоге у тебя по одному числу на правило, доля перевыборок, в которых его вес отрицателен, и всякое правило, чья доля близка к половине, веса от твоих данных не получило.

Источники. Harry Markowitz, «Portfolio Selection» (The Journal of Finance, 1952) — за цель, которую считает эта страница, и за замечание, сделанное с самого начала и обычно забываемое, что её входы суть оценки. Richard O. Michaud, «The Markowitz Optimization Enigma: Is Optimized Optimal?» (Financial Analysts Journal, 1989) — за довод, что оптимизатор максимизирует ошибки своих входов вместе со всем прочим, и это вторая таблица, прочитанная в одном предложении. Ravi Jagannathan и Tongshu Ma, «Risk Reduction in Large Portfolios: Why Imposing the Wrong Constraints Helps» (The Journal of Finance, 2003) — за результат, что запрет коротких позиций равносилен сжатию ковариационной матрицы, и потому здесь ограниченный ответ и сжатый оказываются в одном и том же месте. Victor DeMiguel, Lorenzo Garlappi и Raman Uppal, «Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient Is the 1/N Portfolio Strategy?» (The Review of Financial Studies, 2009) — за окна оценивания, которые нужны оптимизированному портфелю, прежде чем он обыграет равные веса, и это третий столбец второй таблицы, сделанный как следует и в масштабе.

Каждый из них определён в глоссарии рядом с арифметикой этой страницы.

Minimum Variance

Только в образовательных целях. Торговля сопряжена со значительным риском убытков. Это не финансовая консультация. Прошлые результаты не гарантируют будущих.