Корреляция
Два ряда, чья корреляция по всему отрезку равна 0,45, читаются от -0,41 до 0,94 на десятибаровых окнах собственных шестидесяти баров этого модуля и от -0,03 до 0,89 на двадцатибаровых, то есть почти по всему диапазону, какой мера вообще может принять. Корреляция — это одно деление: ковариация двух рядов доходностей, делённая на произведение их стандартных отклонений, и то, что выходит, не есть свойство пары. Три точных результата переживают этот шум, и ради них деление и стоит делать. Корреляция и чувствительность — это один и тот же факт, увиденный дважды, потому что наклон регрессии есть корреляция, умноженная на отношение двух стандартных отклонений — значит, хедж может иметь верный знак и неверный размер. Хедж забирает у дисперсии квадрат корреляции, а не саму корреляцию, поэтому 0,7 оставляет на месте 71 процент исходного стандартного отклонения. И книга из двадцати позиций со средней попарной корреляцией 0,3 несёт риск трёх независимых; при 0,8 она несёт риск 1,2. Ни один размер позиции не изменился.
Требования: Урок 44, который посчитал величину, отношением которой является корреляция, урок 38, чья задача про окно всплывает здесь в третий раз, и урок 20, чья арифметика меряет по одной позиции за раз и нуждается в этом уроке, как только их две.
Одно деление, и что оно делит
Корреляция берёт первые два шага урока 44 и добавляет один. Преврати оба ценовых ряда в доходности. Возьми ковариацию, то есть среднее произведение отклонений двух рядов от их собственных средних. Раздели на произведение двух стандартных отклонений. Это последнее деление и есть весь смысл: ковариация измеряется в квадрате доходности и между парами несравнима, тогда как отношение безразмерно и заключено между минус единицей и единицей, так что число, посчитанное на двух валютах, может стоять рядом с числом, посчитанным на двух акциях.
Всё дальнейшее идёт на двух рядах, и второй нужно объявить, прежде чем им пользоваться. Первый — те шестьдесят закрытий, с которыми этот модуль работает с урока 38. Второй строится из них по опубликованному правилу, чтобы каждое число на этой странице можно было воспроизвести: каждая его доходность есть половина доходности первого ряда на том же баре плюс 0,866 доходности первого ряда 29 баров спустя, с возвратом к началу в конце отрезка. Эти веса выбраны так, чтобы дать второму ряду примерно волатильность первого и корреляцию с ним в одну вторую. На деле выходит 0,45, потому что сдвинутый ряд не вполне некоррелирован с исходным — он читается как -0,07 —, и этот промах стоит заметить первым. Пара, построенная так, чтобы попасть в цель на шестидесяти барах, промахивается на пять пунктов.
Корреляция и чувствительность — это один и тот же факт
Спрашивать, насколько сдвинется второй инструмент, когда первый сдвинется на один процент, значит просить наклон регрессии, а не корреляцию. Эти двое не альтернативы. Наклон есть корреляция, умноженная на отношение стандартных отклонений, второго к первому, и это тождество точное, а не приближённое. На этих двух рядах ковариация, делённая на дисперсию первого, даёт 0,4374, и корреляция 0,4518, умноженная на отношение волатильностей 0,9682, тоже даёт 0,4374. Одно и то же число двумя путями.
Тождество стоит держать в голове, потому что две его половины отказывают независимо. Корреляция около единицы говорит тебе, что две вещи движутся вместе; насколько далеко — не говорит ничего. Если второй инструмент втрое менее волатилен, чем первый, корреляция 0,95 всё равно означает, что одна его единица покрывает лишь треть единицы первого, и держать их один к одному значит оставить две трети позиции непокрытыми. Вот так хедж получает верный знак и неверный размер, и вот почему разумная инструкция — посчитать оба числа и перемножить, а не прочитать корреляцию и успокоиться.
Вторая половина арифметики менее приятна. Захеджируй один инструмент другим в наилучшей возможной пропорции, и оставшаяся дисперсия равна единице минус квадрат корреляции. Возведение в квадрат безжалостно на тех уровнях, с какими работают на деле. Корреляция 0,3 забирает 9 процентов дисперсии и оставляет 95 процентов стандартного отклонения. При 0,5 забирает 25 процентов и оставляет 87. При 0,7, что почти кто угодно назовёт сильной связью, забирает 49 процентов и всё равно оставляет 71 процент исходной ширины. Только при 0,9 остаток падает ниже половины, и только при 0,95 ниже трети. На двух рядах модуля, чья корреляция 0,4518, наилучший доступный хедж забирает 20 процентов дисперсии. Всё остальное в этой позиции никуда не делось.
Окно, в третий раз
Урок 38 установил, что измерение принадлежит своему окну, а урок 44 нашёл этот эффект в волатильности сразу дважды. С корреляцией хуже, потому что она есть отношение трёх оценок, а не одной, и ошибки не гасят друг друга. Ниже корреляция между двумя рядами модуля, посчитанная по каждому окну каждой длины, какую отрезок допускает.
| Баров в окне | Доступных окон | Самый низкий | Медиана | Самый высокий | Самый высокий минус самый низкий |
|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 50 | -0,41 | 0,41 | 0,94 | 1,35 |
| 20 | 40 | -0,03 | 0,38 | 0,89 | 0,92 |
| 30 | 30 | 0,05 | 0,52 | 0,83 | 0,78 |
| 59 | 1 | 0,45 | 0,45 | 0,45 | 0,00 |
Смотри сначала на последний столбец. Коэффициент корреляции может принимать значения только в пределах двух единиц, от минус единицы до единицы, а десятибаровая оценка этой пары покрывает 1,35 из этих двух единиц. Дело не в том, что оценка неточна; дело в том, что десятибаровое окно может сообщить о сильной отрицательной и о сильной положительной связи по одной и той же паре, на одном и том же отрезке, в нескольких барах друг от друга. В конструкции ничего не менялось. Одно и то же правило породило каждую доходность ряда.
Выборочная арифметика точно говорит, сколько из этого шум. Вокруг наблюдённой корреляции 0,50 интервал в 95 процентов по 20 наблюдениям идёт от 0,07 до 0,77. По 60 наблюдениям он идёт от 0,28 до 0,67. По полному году из 252 он всё ещё идёт от 0,40 до 0,59 — интервал шириной в пятую часть единицы после года дневных данных. Высокие корреляции меряются точнее — наблюдённая 0,90 по 60 наблюдениям лежит между 0,84 и 0,94 —, и это слабое утешение, потому что для книги важны как раз высокие значения.
Знак не есть свойство пары
Чаще всего о двух инструментах говорят, что они обратно коррелированы, будто знак есть факт о них самих. Это не так. Возьми самую цитируемую пару из всех, акции и государственные облигации, и дай рынку две независимые вещи, которых можно бояться: рост и процентные ставки. Хорошие новости о росте поднимают акции и вредят облигациям, потому что поднимают ожидаемые дальше ставки. Рост ставок вредит обеим, потому что сильнее дисконтирует каждый будущий поток. Запиши акции как рост минус ставки, а облигации как минус рост минус ставки, и ковариация между ними окажется дисперсией шока ставок минус дисперсия шока роста, тогда как у каждой дисперсия равна их сумме.
Значит, корреляция есть разность двух дисперсий, делённая на их сумму, и ничто иное. Дай шоку роста втрое большую дисперсию, чем процентному, и она равна -0,50; дай процентному шоку втрое большую дисперсию, чем шоку роста, и она равна 0,50. Девятикратно в любую сторону даёт -0,80 и 0,80. Когда они равно важны, она в точности ноль. На всём этом промежутке никто не менял поведения и ни одна связь не сломалась; изменилась смесь того, о чём рынок тревожился, и корреляция — это показание этой смеси.
Отсюда следуют две вещи, которые легко понять неверно. Первая: нулевая корреляция между акциями и облигациями не значит, что они не связаны; по этому счёту она значит, что две сильные связи противоположного знака уравновешивают друг друга, а это совсем не то же самое, что два инструмента, которые и вправду ни при чём друг другу, и на нуле она не останется. Вторая: смена знака не есть доказательство того, что что-то сломалось. Это доказательство того, что сменился главенствующий шок, а рынки делают это рутинно, и часто это видно заранее по календарю.
Почему она растёт в кризис и какая часть этого роста настоящая
Наблюдение, что корреляции идут к единице, когда всё падает, достаточно верно, чтобы принимать его всерьёз, и обычно объясняется страхом, что не объясняет ничего. Механизмов три, и ни один из них не страх.
Первый — чистая арифметика. Пусть доходность каждого инструмента будет общий фактор плюс что-то своё. Корреляция между любыми двумя из них есть дисперсия общего фактора, делённая на сумму её и собственной дисперсии. Теперь дай общему шоку вырасти, не меняя больше ничего: ни одна нагрузка не меняется, ни один участник не ведёт себя иначе, ни в одном инструменте ничего не меняется. Если дисперсия общего шока была 1 против собственной 3, корреляция была 0,25. Утрой стандартное отклонение общего шока, отчего его дисперсия дойдёт до 9, — и корреляция станет 0,75. Вот и всё движение, и оно следует из того, что корреляция есть отношение, числитель которого кризис раздувает.
Второй механизм настоящий и к факторной структуре не имеет никакого отношения. Держатель с плечом, получивший требование довнести маржу, продаёт то, что у него есть, а не то, что падает, так что инструменты без всякого общего начинают двигаться вместе, потому что один баланс вмещает их все. Это новый общий фактор, созданный ликвидацией и живущий ровно столько, сколько она. Он и есть причина, по которой кризисная корреляция может превзойти всё, что дала бы обычная факторная структура, и причина, по которой она может исчезнуть за несколько дней.
Третий состоит в том, что смещено само измерение, и он заслуживает арифметики, потому что он велик. Корреляция, посчитанная только по бурному участку, выходит выше корреляции той же пары, измеренной по всему, даже когда ровно ничего не менялось, потому что условие на большие движения в одном ряду отбирает именно те наблюдения, где общая составляющая доминировала. Поправка делит наблюдённое число на корень из единицы плюс относительный рост дисперсии, умноженный на единицу минус квадрат наблюдённой корреляции. Возьми участок, чья дисперсия выросла вчетверо, то есть волатильность удвоилась: наблюдённая корреляция 0,80 соответствует тогда безусловной 0,55. Наблюдённая 0,60 соответствует 0,35. Наблюдённая 0,90 соответствует 0,72.
Эта поправка оспаривается, и разногласие есть честное состояние вопроса, а не сноска. Поправка на волатильность снимает бо́льшую часть кажущегося роста, но работы о хвостах распределения находят, что корреляция всё равно растёт на падающих рынках сильнее, чем объясняет одна волатильность, и что на растущих она растёт не так. Значит, часть прироста — артефакт измерения в бурный период, а часть — настоящее свойство падающих рынков. Арифметика решает вот что: артефакт достаточно велик, чтобы считаться. Кто называет кризисную корреляцию, не сказав, что делала дисперсия, называет число, раздутое на неизвестную и немалую величину.
Что она делает с книгой
Всё вышесказанное готовит один расчёт, и этот расчёт и есть причина, по которой корреляция стоит в программе. Держи две позиции одного размера в инструментах одной волатильности — и стандартное отклонение пары равно корню из двух умножить на единицу плюс корреляция, в единицах одной позиции. При нулевой корреляции это 1,41, а не 2: две независимые ставки одного размера несут меньше двойного риска, и вся диверсификация есть именно эта разница. При 0,3 это 1,61. При 0,8 это 1,90. При 1,0 это ровно 2, то есть одна позиция с двумя тикерами на ней.
Распространи это на равновзвешенную книгу любого размера — и арифметика останется точной. Книга из инструментов одной волатильности со средней попарной корреляцией несёт риск меньшего числа независимых позиций, и это число есть количество, делённое на единицу плюс количество минус один, умноженное на среднюю корреляцию. Оно зависит от средней попарной корреляции и больше ни от чего в структуре, и это стоит знать, потому что значит: коррелированную книгу не починить перестановкой того, какие имена в ней стоят.
| Средняя попарная корреляция | 2 имени | 5 имён | 20 имён | 50 имён |
|---|---|---|---|---|
| 0,0 | 2,00 | 5,00 | 20,00 | 50,00 |
| 0,1 | 1,82 | 3,57 | 6,90 | 8,47 |
| 0,3 | 1,54 | 2,27 | 2,99 | 3,18 |
| 0,5 | 1,33 | 1,67 | 1,90 | 1,96 |
| 0,8 | 1,11 | 1,19 | 1,23 | 1,24 |
Каждое число в таблице — это количество независимых позиций, которое книга несёт на самом деле. Прочти строку 0,3 поперёк: переход от пяти имён к пятидесяти, то есть десятикратный рост работы по ведению всего этого, поднимает счёт с 2,27 независимых ставок до 3,18. Прочти столбец с 20 именами сверху вниз — и обвал идёт ещё быстрее: с двадцати при нулевой корреляции до 6,90 при 0,1 и 2,99 при 0,3. Первая десятая доля корреляции стоит больше половины диверсификации в книге. Это не предупреждение о кризисах; 0,1 — это спокойный рынок.
Пол стоит назвать, потому что он точен. По мере того как число имён растёт без предела, стандартное отклонение книги приближается к корню из средней корреляции, умноженному на отклонение одного имени. При 0,3 этот пол равен 0,55, так что никакое число позиций не опустит книгу с такой средней попарной корреляцией ниже 55 процентов волатильности одной из них. При 0,8 пол равен 0,89. Добавлять имена за той точкой, где счёт перестал расти, — работа, которая ничего не покупает.
Теперь впусти сюда кризис. Книга из двадцати имён при средней корреляции 0,3 несёт 2,99 независимых ставок и стандартное отклонение 0,58 от отклонения одного имени. Сдвинь корреляцию к 0,75, что арифметика выше приписывает утроенному общему шоку, — и та же книга несёт 1,31 независимой ставки и стандартное отклонение 0,87. Её риск вырос на 51 процент, и никто не торговал. Чтобы вернуться к риску, который был раньше, каждая позиция должна опуститься на 34 процента — и этот срез есть ответ на вопрос, оставленный уроком 44 открытым, потому что это срез, который измерение от волатильности за тебя не сделает. Арифметика урока 44 меряет каждую позицию против её собственной волатильности, по одной за раз, и слепа к тому, что они стали одной и той же позицией.
Что это не решает
Что корреляция, которую ты измерил, и есть корреляция. Это оценка, и шумная. Вокруг наблюдённой 0,50 интервал в 95 процентов по 20 наблюдениям идёт от 0,07 до 0,77, по 60 наблюдениям от 0,28 до 0,67, а по полному году из 252 наблюдений от 0,40 до 0,59. Всякая скользящая корреляция на всякой платформе — число этого рода. Прежде чем принять сдвиг в ней за сдвиг рынка, проверь, перекрываются ли интервалы двух отсчётов, потому что при тех длинах окна, какими пользуются люди, они перекрываются почти всегда.
Что средняя попарная корреляция — это всё, что нужно знать о книге. Для дисперсии это так, причём точно, поэтому счёт выше и не зависит больше ни от чего. Для всего остального это не так. Возьми те же двадцать имён и ту же среднюю 0,3, но расставь их двумя блоками по десять, внутри блока с корреляцией 0,75, а между блоками -0,105: это законная корреляционная матрица, и среднее у неё 0,3 до цифры. Книга по-прежнему показывает 2,99 независимых ставок и стандартное отклонение 0,58, потому что и то и другое держится на одной средней. Но десять её двадцати имён — блок, несущий между собой 1,29 независимой ставки, так что половина книги есть одна позиция, и ни одна цифра в таблице выше этого не видит. Фраза выше о том, что корреляционную книгу нельзя починить перестановкой имён, верна про дисперсию и ни про что шире. Считай счёт и по своим блокам, а не только по целому.
Что корреляция меряет, насколько две вещи связаны. Она меряет, насколько хорошо ложится прямая, и ничего больше. Два ряда могут полностью определять друг друга и показывать ноль, а происходит это всякий раз, когда связь симметрична относительно точки поворота — у позиции, которая теряет при большом движении в любую сторону, ровно такая форма. Всё на этой странице относится к инструментам, чья связь примерно линейна на том промежутке, где ты их держишь, и опционы к ним не относятся.
Что цифры этих двух рядов годятся кому угодно. Второй был построен из первого по правилу, напечатанному выше, именно затем, чтобы арифметику можно было проверить, а шестьдесят баров модуля с самого начала делались так, чтобы читаться на маленьком графике. Форма оконной таблицы переносится — короткие окна на настоящих данных и правда дают дикие корреляции, и по той же причине. Конкретные цифры не переносятся, и 0,45 тоже.
Что арифметика книги покрывает настоящую книгу. Эффективный счёт предполагает, что каждая позиция одного размера и каждый инструмент одной волатильности. Книга, в которой одна позиция втрое больше остальных, ближе к тому, чтобы быть этой одной позицией, чем показывает любой подсчёт тикеров, а лекарство — проделать тот же расчёт с позициями, взвешенными по тому, чем они на деле рискуют. Результат о средней корреляции остаётся точным при равных весах и перестаёт быть точным в тот момент, когда веса перестают быть равными.
Что корреляция достаточно устойчива, чтобы на ней хеджировать. Коэффициент хеджирования — это корреляция, умноженная на отношение двух волатильностей: три оценки, каждая со своей ошибкой, сведённые в одно число, которое затем решает вопрос о размере. И эта величина движется сильнее всего ровно в тех условиях, в которых от хеджа и требуется работать. Хедж, отмеренный по корреляции спокойного рынка, отмерен по рынку, которого нет как раз тогда, когда он тебе нужен.
Задачи
- Посчитай независимые ставки в собственной книге. Возьми позиции, которые держишь, посчитай корреляцию каждой пары по последним 60 барам, усредни эти корреляции и подставь среднее в количество, делённое на единицу плюс количество минус один, умноженное на среднее. Напиши ответ рядом с числом тикеров на экране. Если ты держишь пятнадцать вещей, а арифметика говорит два с половиной, ты теперь знаешь, чего стоит твоя диверсификация, и никаким другим путём это число было не получить.
- Суди о каждом хедже по двум его числам, а не по его истории. Для всего, что ты держишь, потому что оно должно что-то компенсировать, посчитай корреляцию между этими двумя, посчитай отношение их стандартных отклонений и перемножь. Это произведение и есть размер, который хедж должен иметь, на единицу хеджируемого. Сравни его с размером, который ты держишь на деле. Затем возведи корреляцию в квадрат и прочти, сколько дисперсии хедж снимает даже при идеальном размере. При 0,7 ответ — меньше половины.
- Раздели собственную историю надвое и примени поправку. Возьми пару, которая тебе важна, раздели её историю на более спокойную и более бурную половину по волатильности первого инструмента и посчитай корреляцию в каждой отдельно. Затем возьми отношение двух дисперсий и примени приведённую выше поправку к цифре бурной половины. То, что от разницы переживёт эту поправку, и есть часть, которая не является артефактом измерения в бурный отрезок, и обычно она заметно меньше, чем подсказывало сырое сравнение.
Источники. Francis Galton, «Co-relations and their Measurement, chiefly from Anthropometric Data» (Proceedings of the Royal Society of London, 1888), за сам коэффициент, введённый для сравнения длин конечностей, а не рынков, и определённый тогда ровно так, как его считают сейчас. Ronald A. Fisher, «Frequency Distribution of the Values of the Correlation Coefficient in Samples from an Indefinitely Large Population» (Biometrika, 1915), за выборочное распределение и за преобразование, из которого получаются приведённые выше интервалы. Harry Markowitz, «Portfolio Selection» (The Journal of Finance, 1952), за тождество дисперсии портфеля, которое превращает попарную корреляцию в утверждение о книге, а это единственная причина, по которой хоть что-то из этого стоит в торговой программе. Kristin J. Forbes и Roberto Rigobon, «No Contagion, Only Interdependence: Measuring Stock Market Comovements» (The Journal of Finance, 2002), за смещение от условия и за применённую выше поправку. François Longin и Bruno Solnik, «Extreme Correlation of International Equity Markets» (The Journal of Finance, 2001), за другую сторону этого спора: корреляция растёт на падающих рынках сильнее, чем объясняет поправка на волатильность, и на растущих растёт не так.
В третьем механизме выше корреляция выросла потому, что один баланс держал всё, и это указывает на величину, о которой этот модуль не измерил ничего. Каждое число в уроках с 38 по 45 посчитано из цен. Ни одно из них не говорит, кто держит позицию по другую сторону от твоей, сколько её там и сколько из неё было занято. Урок 46 берётся за данные о позициях, которые действительно публикуются: что содержится в отчётах, разрыв между датой, которую они описывают, и датой, когда они выходят, почему большая позиция — не то же самое, что переполненная, и что можно и чего нельзя заключить из того, что кто-то другой стоит в лонге.
Волатильность как величина
Величина, отношением которой является корреляция, и измерение, которое этот урок исправляет.
Читать урок →Что такое таймфрейм
Задача окна в общем виде, до того как корреляция её усугубила.
Читать урок →Размер позиции
Арифметика, которая меряет по одной позиции за раз и не видит вторую.
Читать урок →Только в образовательных целях. Торговля сопряжена со значительным риском убытков. Это не финансовая консультация. Прошлые результаты не гарантируют будущих.
💬 Обсуждение (0 комментариев)
Загрузка комментариев…
Готовы торговать с Signal Pilot?
Примените полученные знания с профессиональными индикаторами и инструментами анализа рынка в реальном времени.
Вернуться в Signal Pilot →