Os pesos que consegues segurar

A aula 72 avaliou uma carteira em que cada posição tinha o mesmo tamanho e deixou a esta página a pergunta de quanto vai em cada uma. Aqui está a resposta que a maquinaria habitual dá, sobre as quatro regras da aula 71 e os mesmos vinte e nove movimentos: 0,746, 0,078, menos 0,672 e 0,848. Corta o desvio-padrão do dia em 9,72 por cento, o que em quatro posições de dois por cento cada uma são 0,71 pontos percentuais do dia. Pede-te também que fiques vendido em dois terços de uma das tuas próprias regras e que carregues 2,35 dólares de posição por cada dólar da conta. Proíbe a venda a descoberto e a resposta passa a 0,711 e 0,289 com duas regras a zero, o que guarda 80 por cento do corte, segura um dólar de posição por dólar de conta e ganha à resposta sem restrições nos teus próprios dados até teres sessenta dias deles.

Pré-requisitos: Aula 72, pela carteira de pesos iguais que esta página volta a ponderar, aula 71, pelas quatro regras e as suas seis correlações, e a aula 12, pelo custo que cresce com aquilo que operas.

O que o objetivo contém de facto

A variância mínima é uma linha. Pega na matriz de covariâncias daquilo que estás a segurar, inverte-a, multiplica por uma coluna de uns e divide pela soma para que os pesos somem um. É o método inteiro, tem forma fechada, e qualquer folha de cálculo o resolve sobre quatro regras num minuto.

w = Σ⁻¹1 / (1′Σ⁻¹1)

Lê o que lá está e, mais importante, o que não está. Não há rendimentos esperados, e isso é de propósito: a aula 67 precisava de 589 operações para decidir se um décimo de um R era real, portanto uma estimativa do que cada regra vai ganhar é o número menos fiável do edifício, e um objetivo que precise dela herda isso. Não há custos. Não há restrição nenhuma. A fórmula devolve um peso negativo sem comentários, e negativo quer dizer vendido.

As entradas são as quatro regras que a aula 71 escolheu, uma média de 2 barras contra uma de 5, uma de 3 contra uma de 10, uma de 5 contra uma de 20 e uma de 8 contra uma de 30, sobre os vinte e nove movimentos em que cada regra da grelha da aula 63 está definida. As suas seis correlações são as da aula 71, de 0,6254 a 0,9648. Os seus desvios-padrão estão próximos uns dos outros: 0,6015, 0,7104, 0,7278 e 0,7082 nas unidades que as regras devolvem.

Vale a pena pôr quatro ponderações lado a lado. Pesos iguais é o que a aula 72 assumiu. Variância inversa é o que a maioria quer dizer com paridade de risco quando anda com pressa: pondera por um a dividir pela variância de cada regra e ignora as correlações por completo. Depois a resposta de variância mínima com a venda a descoberto proibida, e a mesma resposta sem nada proibido.

Ponderação	Pesos	Posição por dólar	Desvio-padrão do dia	Corte
Iguais	0.25, 0.25, 0.25, 0.25	1,000	0,62719	—
Variância inversa	0.320, 0.230, 0.219, 0.231	1,000	0,61520	1,91 %
Variância mínima, sem venda a descoberto	0.711, 0, 0, 0.289	1,000	0,57813	7,82 %
Variância mínima	0,746, 0,078, −0,672, 0,848	2,345	0,56624	9,72 %

Começa pelo tamanho da discussão. A distância inteira da primeira linha à última é 0,06095, contra um ponto de partida de 0,62719. Tudo o que a construção de carteiras tem a dizer sobre esta carteira, da regra mais grosseira ao ótimo exato calculado com as respostas na mão, vale 9,72 por cento do desvio-padrão do dia. A dois por cento por posição e à correlação média de 0,7695 que a aula 71 dá para estas quatro, os pesos iguais fazem o dia a 7,276 por cento e o ótimo fá-lo a 6,568 por cento. O prémio inteiro são sete décimos de um ponto percentual por dia. Vale a pena tê-lo e não vale grande trabalheira, e saber qual das duas coisas é antes de começar é a maior parte daquilo para que esta página serve.

Lê a seguir a segunda linha, porque é a que as pessoas de facto correm. A variância inversa recolhe 1,91 por cento dos 9,72 disponíveis, ou seja um quinto. Falha porque os quatro desvios-padrão são quase iguais, de modo que ponderar por eles quase não mexe nada, e porque o prémio inteiro nesta carteira vive nas correlações. Uma ponderação que ignora correlações num conjunto de regras cujas correlações vão de 0,63 a 0,96 está a resolver um problema que esta carteira não tem.

E depois as duas que interessam. A resposta sem restrições tira ao dia mais 1,90 pontos percentuais, levando o corte de 7,82 por cento para 9,72, e compra isso com uma perna vendida de 0,672 e uma posição bruta de 2,345 dólares por cada dólar de conta. A restrição custa um quinto do prémio e tira toda a alavancagem.

Quase ninguém calculou as duas. O número sem restrições é o que todos os manuais e todas as bibliotecas de código devolvem por omissão, o restringido está quatro linhas mais à frente, e a diferença entre eles é a diferença entre uma carteira que consegues descrever e uma carteira que consegues segurar.

A ficha do módulo 9 ganha uma terceira coluna, e é o peso que esta página dá a cada regra, escrito duas vezes: uma tal como o otimizador o devolve e outra com a venda a descoberto proibida. A aula 75 é onde a ficha inteira é gasta de uma vez.

O que vinte e nove dias conseguem pagar

Os pesos acima saíram de dez números — quatro variâncias e seis covariâncias — estimados a partir de vinte e nove observações. Não são obviamente poucas de mais e não são obviamente suficientes, portanto mede isso em vez de discutires.

Trata a covariância medida acima como se fosse a verdade. Tira dela T observações, ajusta o otimizador ao sorteio como se fosse tudo o que tinhas, e depois pontua os pesos resultantes contra a verdade de que partiste. A distância entre a pontuação e o verdadeiro ótimo é o erro de estimação, e é a única coisa que esta experiência contém.

Observações	Desvio-padrão que os pesos ajustados entregam mesmo	Parte do prémio que chega	Ganha à resposta sem venda a descoberto
29	0,59971	45,1 %	21,7 %
60	0,58154	74,9 %	50,1 %
125	0,57312	88,7 %	82,9 %
250	0,56969	94,3 %	—
1.000	0,56708	98,6 %	—

A primeira linha é o veredicto honesto sobre os pesos com que esta página abriu. Ajustado sobre vinte e nove observações, o otimizador sem restrições entrega 0,59971 em vez do 0,56624 que imprime, ou seja 45,1 por cento do prémio em vez de todo ele. Ainda assim ganha aos pesos iguais, e com folga: nesta carteira o otimizador não é um erro, e a crença corrente de que dividir por N ganha sempre não é o que a aritmética diz.

A quarta coluna é o achado. Ajustada sobre vinte e nove observações, a resposta sem restrições ganha à restringida 21,7 por cento das vezes. Quatro em cada cinco vezes, os pesos que não consegues segurar são também os pesos que perdem. São precisas sessenta observações para que seja um cara ou coroa e 125 antes de a resposta sem restrições ganhar cinco em cada seis vezes, e 125 observações diárias são seis meses de fechos.

Agora olha para os pesos em si em vez de para o que entregam. Volta a tirar os vinte e nove dias com reposição quatro mil vezes, reajusta, e lê os noventa resultados do meio em cada cem:

2-e-5, ajustado em 0,746: cai entre 0,377 e 1,081.

3-e-10, ajustado em 0,078: cai entre menos 0,916 e 0,635, e é negativo 44,7 por cento das vezes.

5-e-20, ajustado em menos 0,672: cai entre menos 1,504 e menos 0,011.

Posição bruta, ajustada em 2,345: mediana 2,795, e acima de três dólares por dólar de conta em 31,9 por cento das reamostragens.

O desvio-padrão que esses pesos entregam é estável. Os pesos não são. Um número que nos teus dados é 0,078 e é negativo em quase metade das suas próprias reamostragens não é uma decisão sobre uma regra, é o resíduo de dez estimativas a disputarem vinte e nove dias, e imprimi-lo com três algarismos é a parte que engana.

E é aí que a restrição ganha o seu lugar, e faz mais do que proteger-te da alavancagem. Proibir pesos negativos é aritmeticamente muito próximo de admitir que a covariância está mal medida e de a puxar para algo mais simples: encolhe a covariância desta carteira a meio caminho da única correlação média que a aula 72 usou e o otimizador devolve uma posição bruta de 1,076 e um desvio-padrão de 0,57831, contra o 1,000 e o 0,57813 da restrição. Duas admissões diferentes da mesma ignorância, que aterram a dois décimos de milésimo uma da outra.

E a resposta restringida põe 5-e-20 a zero, que é exatamente a regra que a aula 71 te disse para tirares por ter a correlação mais alta com o resto. Dois objetivos diferentes, um medido em correlações e outro em variância, escolhem a mesma regra para remover.

Portanto corre o otimizador com a venda a descoberto proibida, e fica com os 7,82 por cento que ele consegue segurar em vez dos 9,72 que não consegue.

O que isto não resolve

Que a variância mínima seja o objetivo. É o objetivo que precisa de menos, não o que queres. Nada lá dentro sabe que regra ganha dinheiro, portanto uma regra sossegada e sem valor recolhe peso por ser sossegada. Todos os limiares deste curso aplicam-se a cada regra antes de os pesos desta página se aplicarem ao conjunto: a fasquia da aula 64, o teste da aula 67, a condição de filtro da aula 70. Ponderar a variância mínima uma carteira de quatro regras mortas produz uma maneira muito estável de perder dinheiro.

Que os 9,72 por cento sejam de graça. A posição bruta passa de um dólar para 2,345, e todo o custo que cresce com aquilo que operas cresce com ela: o spread da aula 12 à entrada e à saída, o impacto da aula 59 à entrada, a capacidade da aula 68 sobre o tamanho que consegues segurar sequer. O objetivo não contém nenhum deles, portanto comprará de bom grado sete décimos de um ponto percentual de desvio-padrão diário à custa de duplicar a conta. No fundo da aula 12 esse negócio compensa claramente e na micro cap claramente não, e a fórmula não os consegue distinguir porque nunca lhe mostraram as cotações.

Que a simulação meça o erro inteiro. Não mede, e lisonjeia o otimizador por construção. A verdade de que tira é a mesma covariância que os vinte e nove dias produziram, portanto o que a tabela avalia é erro de estimação e mais nada. Não diz nada sobre a covariância estar errada à partida, que é o problema maior e o da página seguinte.

Que quatro regras sejam o caso difícil. É o fácil. Dez parâmetros a partir de vinte e nove observações é incómodo; vinte regras são 210 parâmetros a partir dos mesmos vinte e nove dias, e com vinte e nove regras a matriz medida deixa de ter inversa de todo, portanto o otimizador não devolve uma resposta má, não devolve nenhuma. O número de parâmetros cresce com o quadrado do número de regras e os dados não crescem com ele, e é por isso que todo o tratamento profissional deste problema é sobre encolher, restringir ou fatorizar a matriz em vez de inverter aquilo que mediste.

Que os pesos sejam uma decisão sobre as regras. São uma decisão sobre esta carteira nestes dias. Acrescenta uma quinta regra e os quatro pesos mexem-se, porque o objetivo não tem noção do mérito próprio de uma regra, apenas do seu contributo para um conjunto concreto. A terceira coluna da ficha é por isso a coisa menos transportável que lá está, razão pela qual é escrita duas vezes e pela qual a segunda escrita é aquela sobre a qual se age.

E a concessão que mais custa: esta página tratou a covariância como um objeto medido numa janela, e não é um objeto. Parte ao meio os mesmos vinte e nove movimentos e a correlação média entre as quatro regras é 0,5966 nos primeiros quinze e 0,8800 nos últimos catorze, e os pesos ajustados sobre a primeira metade são 0,448, 0,273, menos 0,498 e 0,777 em vez de 0,746, 0,078, menos 0,672 e 0,848. Nos últimos catorze é pior do que instável: três das quatro regras seguram a mesma posição em cada um desses dias, as suas correlações são exatamente um, e a matriz de covariâncias não tem inversa nenhuma. A aula 74 começa aí, na metade dos teus próprios dados em que a maquinaria desta página não corre.

Problemas

1. Pondera a tua carteira de duas maneiras. Pega nos rendimentos diários das regras que corres, constrói a matriz de covariâncias numa folha de cálculo, e calcula os pesos de variância mínima com e sem um piso de zero. Meia hora, e ficas com dois conjuntos de pesos e um número, a diferença no desvio-padrão do dia entre eles, que é o que a perna vendida está a receber.
2. Avalia o prémio antes de o perseguires. Calcula o desvio-padrão da tua carteira com pesos iguais e no ótimo sem restrições, e tira o rácio. Dez minutos, e ficas com um número, o máximo que reponderar poderá alguma vez fazer por ti, que comparas com os 9,72 por cento desta página e com o quanto os teus custos subiriam à posição bruta do ótimo.
3. Reamostra os teus próprios pesos. Tira os teus dias com reposição, reajusta os pesos, e fá-lo duzentas vezes. Uma noite, e ficas com um número por regra, a parte das reamostragens em que o seu peso é negativo, e qualquer regra cuja parte esteja perto de metade não recebeu um peso dos teus dados.

Fontes. Harry Markowitz, «Portfolio Selection» (The Journal of Finance, 1952), pelo objetivo que esta página calcula e pela observação, feita logo à partida e quase sempre esquecida, de que as suas entradas são estimativas. Richard O. Michaud, «The Markowitz Optimization Enigma: Is Optimized Optimal?» (Financial Analysts Journal, 1989), pelo argumento de que o otimizador maximiza os erros das suas entradas juntamente com tudo o resto, que é a segunda tabela lida numa frase. Ravi Jagannathan e Tongshu Ma, «Risk Reduction in Large Portfolios: Why Imposing the Wrong Constraints Helps» (The Journal of Finance, 2003), pelo resultado de que proibir posições vendidas equivale a encolher a matriz de covariâncias, que é a razão pela qual aqui a resposta restringida e a encolhida aterram no mesmo sítio. Victor DeMiguel, Lorenzo Garlappi e Raman Uppal, «Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient Is the 1/N Portfolio Strategy?» (The Review of Financial Studies, 2009), pelas janelas de estimação de que uma carteira otimizada precisa antes de ganhar aos pesos iguais, que é a terceira coluna da segunda tabela feita como deve ser e em escala.

Apenas para fins educativos. Negociar envolve risco substancial de perda. Não é aconselhamento financeiro. Resultados passados não garantem resultados futuros.