Correlação

Duas séries cuja correlação sobre a série inteira é 0,45 leem-se entre -0,41 e 0,94 em janelas de dez barras tiradas das sessenta próprias deste módulo, e entre -0,03 e 0,89 em janelas de vinte, ou seja quase toda a amplitude que a medida pode tomar. A correlação é uma divisão: a covariância de duas séries de rendimentos dividida pelo produto dos seus desvios-padrão, e o que sai daí não é uma propriedade do par. Três resultados exatos sobrevivem a esse ruído, e são a razão para fazer a divisão. Correlação e sensibilidade são o mesmo facto visto duas vezes, porque um declive de regressão é a correlação multiplicada pelo quociente dos dois desvios-padrão — uma cobertura pode portanto ter o sinal certo e o tamanho errado. Uma cobertura tira à variância o quadrado da correlação e não a correlação em si, de modo que 0,7 deixa de pé 71 por cento do desvio-padrão original. E uma carteira de vinte posições com uma correlação média aos pares de 0,3 carrega o risco de três independentes; a 0,8 carrega o de 1,2. Nem um único tamanho de posição mudou.

Pré-requisitos: Aula 44, que calculou a grandeza de que a correlação é um quociente, a aula 38, cujo problema da janela volta aqui pela terceira vez, e a aula 20, cuja aritmética dimensiona uma posição de cada vez e precisa desta aula assim que há duas.

O que faz a uma carteira

Tudo o que precede prepara um só cálculo, e esse cálculo é a razão por que a correlação está no programa. Tem duas posições do mesmo tamanho em instrumentos da mesma volatilidade, e o desvio-padrão do par é a raiz quadrada de dois vezes um mais a correlação, em unidades de uma posição. A correlação zero isso dá 1,41 e não 2: duas apostas independentes do mesmo tamanho carregam menos do dobro do risco, e essa diferença é tudo o que a diversificação é. A 0,3 dá 1,61. A 0,8 dá 1,90. A 1,0 dá exatamente 2, ou seja uma posição com dois tickers em cima.

Estende isso a uma carteira equiponderada de qualquer tamanho e a aritmética continua exata. Uma carteira de instrumentos com a mesma volatilidade e uma correlação média aos pares carrega o risco de um número menor de posições independentes, e esse número é a contagem dividida por um mais a contagem menos um vezes a correlação média. Depende da correlação média aos pares e de mais nada da estrutura, o que vale a pena saber, porque quer dizer que uma carteira correlacionada não se arranja trocando que nomes tem lá dentro.

Correlação média aos pares	2 nomes	5 nomes	20 nomes	50 nomes
0,0	2,00	5,00	20,00	50,00
0,1	1,82	3,57	6,90	8,47
0,3	1,54	2,27	2,99	3,18
0,5	1,33	1,67	1,90	1,96
0,8	1,11	1,19	1,23	1,24

Cada número da tabela é o número de posições independentes que a carteira carrega de facto. Lê a linha 0,3 ao comprido: passar de cinco nomes para cinquenta, ou seja decuplicar o trabalho de gerir aquilo, leva a contagem de 2,27 apostas independentes para 3,18. Lê a coluna dos 20 nomes de cima para baixo e o desabamento é ainda mais rápido, de vinte a correlação zero para 6,90 a 0,1 e 2,99 a 0,3. O primeiro décimo de correlação custa mais de metade da diversificação da carteira. Isto não é um aviso sobre crises; 0,1 é um mercado tranquilo.

O piso merece ser nomeado porque é exato. À medida que o número de nomes cresce sem limite, o desvio-padrão da carteira aproxima-se da raiz quadrada da correlação média vezes o de um só nome. A 0,3 esse piso é 0,55, portanto nenhum número de posições levará uma carteira com essa correlação média aos pares abaixo de 55 por cento da volatilidade de uma delas. A 0,8 o piso é 0,89. Acrescentar nomes para lá do ponto em que a contagem deixa de subir é trabalho que não compra nada.

Agora mete a crise lá dentro. Uma carteira de vinte nomes a uma correlação média de 0,3 carrega 2,99 apostas independentes e um desvio-padrão de 0,58 do de um nome. Move a correlação para 0,75, que é o que a aritmética acima atribui a um choque comum triplicado, e a mesma carteira carrega 1,31 apostas independentes e um desvio-padrão de 0,87. O risco dela subiu 51 por cento e ninguém negociou. Para voltar ao risco que tinhas antes, cada posição tem de descer 34 por cento — e esse corte é a resposta à pergunta que a aula 44 deixou em aberto, porque é um corte que dimensionar pela volatilidade não faz por ti. A aritmética da aula 44 dimensiona cada posição contra a sua própria volatilidade, uma de cada vez, e é cega ao facto de terem começado a ser a mesma posição.

O que isto não resolve

Que a correlação que mediste seja a correlação. É uma estimativa, e ruidosa. À volta de uma observada de 0,50, o intervalo a 95 por cento a partir de 20 observações vai de 0,07 a 0,77, a partir de 60 observações de 0,28 a 0,67, e a partir de um ano inteiro de 252 observações de 0,40 a 0,59. Cada correlação móvel de cada plataforma é um número desta espécie. Antes de tomares uma mudança numa delas por uma mudança do mercado, verifica se os intervalos das duas leituras se sobrepõem, porque nos comprimentos de janela que as pessoas usam quase sempre se sobrepõem.

Que a correlação média aos pares seja tudo o que precisas de saber sobre uma carteira. É tudo o que precisas para a variância, exatamente, e é por isso que a contagem acima não depende de mais nada. Não é tudo o que precisas para o resto. Toma os mesmos vinte nomes e a mesma média de 0,3, mas arruma-os como dois blocos de dez correlacionados 0,75 dentro de cada bloco e -0,105 entre blocos, o que é uma matriz de correlação legítima e dá média 0,3 até ao dígito. A carteira continua a mostrar 2,99 apostas independentes e um desvio-padrão de 0,58, porque isso depende só da média. Mas dez dos seus vinte nomes são um bloco que carrega 1,29 apostas independentes entre todos, portanto metade da carteira é uma só posição, e nenhuma cifra da tabela acima consegue vê-lo. A frase mais acima, sobre não se poder arranjar uma carteira correlacionada reordenando os seus nomes, é verdadeira da variância e de nada mais largo. Corre a contagem sobre os teus blocos além de sobre o conjunto.

Que a correlação meça o quanto duas coisas estão relacionadas. Mede o quanto uma recta se ajusta, e mais nada. Duas séries podem determinar-se perfeitamente uma à outra e marcar zero, o que acontece sempre que a relação é simétrica em torno de um ponto de viragem — uma posição que perde com um movimento grande em qualquer das direções tem exatamente essa forma. Tudo o que está nesta página vale para instrumentos cuja relação seja aproximadamente linear no intervalo em que os tens, e as opções não estão entre eles.

Que os números destas duas séries sejam de qualquer um. A segunda foi construída a partir da primeira por uma regra impressa acima, precisamente para que a aritmética pudesse ser verificada, e as sessenta barras do módulo foram feitas desde o início para se lerem num gráfico pequeno. A forma da tabela das janelas transfere-se — janelas curtas dão mesmo correlações selvagens sobre dados reais, e pela mesma razão. Os números concretos não, e o 0,45 também não.

Que a aritmética da carteira cubra uma carteira real. A contagem efectiva supõe que cada posição tem o mesmo tamanho e cada instrumento a mesma volatilidade. Uma carteira com uma posição três vezes maior do que as outras está mais perto de ser essa posição do que qualquer contagem de tickers sugere, e o remédio é fazer a mesma conta com as posições ponderadas pelo que arriscam de facto. O resultado sobre a correlação média continua exato com pesos iguais e deixa de o ser no momento em que não o são.

Que uma correlação seja estável o bastante para cobrir com ela. O rácio de cobertura é uma correlação multiplicada por um quociente de duas volatilidades: três estimativas, cada uma com o seu erro, reunidas num número que depois decide um tamanho. E essa grandeza mexe-se mais precisamente nas condições em que se pede à cobertura que funcione. Uma cobertura dimensionada por uma correlação de mercado tranquilo está dimensionada para o mercado que não está a acontecer quando precisas dela.

Problemas

1. Conta as apostas independentes da tua carteira. Toma as posições que tens, calcula a correlação de cada par sobre as últimas 60 barras, faz a média dessas correlações e mete a média na contagem dividida por um mais a contagem menos um vezes a média. Escreve a resposta ao lado do número de tickers no teu ecrã. Se tens quinze coisas e a aritmética diz duas e meia, ficaste a saber quanto vale a tua diversificação, e esse número não estava disponível por nenhum outro caminho.
2. Julga cada cobertura pelos seus dois números e não pela sua história. Para tudo o que tens porque é suposto compensar outra coisa, calcula a correlação entre as duas, calcula o quociente dos seus desvios-padrão e multiplica. Esse produto é o tamanho que a cobertura devia ter, por unidade daquilo que é coberto. Compara-o com o tamanho que tens mesmo. Depois eleva a correlação ao quadrado e lê quanta variância a cobertura tira mesmo quando está dimensionada na perfeição. A 0,7 a resposta é menos de metade.
3. Corta a tua própria história ao meio e aplica a correção. Toma um par que te interesse, corta a sua história na metade mais tranquila e na mais volátil pela volatilidade do primeiro instrumento, e calcula a correlação em cada uma em separado. Toma depois o quociente das duas variâncias e aplica a correção acima ao número da metade volátil. O que da diferença sobreviver a esse ajuste é a parte que não é um artefacto de medir durante um troço violento, e costuma ser bastante menor do que a comparação em bruto sugeria.

Fontes. Francis Galton, «Co-relations and their Measurement, chiefly from Anthropometric Data» (Proceedings of the Royal Society of London, 1888), pelo coeficiente em si, introduzido para comparar comprimentos de membros e não mercados, e definido na altura exatamente como se calcula hoje. Ronald A. Fisher, «Frequency Distribution of the Values of the Correlation Coefficient in Samples from an Indefinitely Large Population» (Biometrika, 1915), pela distribuição amostral e pela transformação de onde saem os intervalos citados acima. Harry Markowitz, «Portfolio Selection» (The Journal of Finance, 1952), pela identidade da variância de carteira que transforma uma correlação aos pares numa afirmação sobre uma carteira, que é a única razão por que alguma coisa disto está num programa de trading. Kristin J. Forbes e Roberto Rigobon, «No Contagion, Only Interdependence: Measuring Stock Market Comovements» (The Journal of Finance, 2002), pelo enviesamento de condicionamento e pela correção aplicada acima. François Longin e Bruno Solnik, «Extreme Correlation of International Equity Markets» (The Journal of Finance, 2001), pelo outro lado desse argumento: a correlação sobe nos mercados em queda mais do que o ajuste pela volatilidade explica, e não sobe da mesma maneira nos que sobem.

A correlação subiu no terceiro mecanismo acima porque um só balanço tinha tudo, e isso aponta para uma grandeza sobre a qual este módulo não mediu nada. Cada número das aulas 38 a 45 foi calculado a partir de preços. Nenhum deles diz quem tem a posição do outro lado da tua, quanta há dela, nem quanta foi pedida emprestada. A aula 46 pega nos dados de posicionamento que são mesmo publicados: o que contêm os relatórios, o desfasamento entre a data que descrevem e a data em que saem, por que uma posição grande não é a mesma coisa que uma apinhada, e o que se pode e não se pode concluir de saber que outra pessoa está comprada.

Apenas para fins educativos. Negociar envolve risco substancial de perda. Não é aconselhamento financeiro. Resultados passados não garantem resultados futuros.