O drawdown que deves esperar

De que é feito um drawdown

Um drawdown tem dois pais. Um é a tua vantagem, ou a falta dela. O outro é a dispersão dos resultados das tuas operações, e essa existe haja vantagem ou não. Todo o trader metido num buraco a atribui ao primeiro. A aritmética abaixo diz que quase todo o trabalho é feito pelo segundo, e di-lo com uma sobreposição que podes medir em vez de com um argumento que tens de aceitar.

Aqui está a bancada de ensaio, por inteiro, porque tudo nesta página sai dela. O resultado de uma operação é tirado de uma distribuição normal cujo desvio padrão vale um R e cuja média vale d, a vantagem, nas mesmas unidades. O pior drawdown de uma série é a maior queda desde qualquer máximo corrente até qualquer ponto posterior do acumulado, com o máximo a começar em zero, de modo que uma série que nunca sobe acima de onde começou também tem drawdown. Cada número abaixo são 20.000 séries independentes de 156 operações a partir da semente 20260903.

Um R nesta página é um desvio padrão de uma operação, e esse não é o R da aula 18, onde uma perdedora vale exatamente um R e a dispersão dos resultados vale 1,49 deles. A conversão é uma só divisão e vale a pena fazê-la agora, porque põe nesta tabela uma aula que já leste. O sistema da aula 18 ganha 45 por cento das vezes a dois por um, portanto faz 0,35R por operação com um desvio padrão de 1,4925R. Divide: a sua vantagem nas unidades desta página vale 0,2345, o que cai entre a quarta e a quinta linhas abaixo.

A bancada de ensaio também se pode confrontar com algo que não é uma simulação. Sem vantagem nenhuma, o tempo contínuo dá um pior drawdown médio igual à raiz de πT/2, o que sobre 156 operações são 15,65R. A simulação devolve 14,53R, e a diferença não é um erro: um caminho que só olha uma vez por operação perde os extremos entre olhares. Afina-o para 256 olhares por operação e devolve 15,61R.

Vantagem verdadeira, R por operação	Décimo mais afortunado	Mediana	Décimo menos afortunado	Centésimo menos afortunado
0,00, nada ali	7,56	13,26	23,33	33,95
0,05	6,35	10,65	18,59	27,81
0,10	5,51	8,82	14,96	22,57
0,20	4,29	6,52	10,49	15,71
0,30	3,50	5,17	8,03	11,66

Lê-a pelas colunas e não pelas linhas, porque é nas colunas que está a aula. O décimo mais afortunado dos sistemas mortos chega a 7,56R. O vivo típico, a um décimo de R, chega a 8,82R. Esses dois números estão na ordem errada para a história que toda a gente conta sobre drawdowns, e por muito que fixes a tua própria curva de capital não os vais repor, porque as distribuições de onde vêm sobrepõem-se em quase todo o seu comprimento. Uma profundidade de oito R fica folgadamente dentro do intervalo corrente das duas.

Transforma então a profundidade na única pergunta que vale a pena fazer-lhe. Se estás D abaixo, quanto mais provável é isso sob um sistema morto do que sob um vivo? É uma contagem de superações sobre cada uma de duas simulações, dividida.

Seis R: alcançado por 97,0 por cento dos sistemas mortos e por 84,6 por cento dos vivos, uma razão de 1,15.

Oito R: 87,2 por cento contra 59,5 por cento, uma razão de 1,47.

Doze R: 58,5 por cento contra 22,6 por cento, uma razão de 2,59.

Vinte R: 18,2 por cento contra 2,3 por cento, uma razão de 7,78.

Uma razão de 1,47 significa que estar oito R abaixo multiplica por 1,47 as probabilidades que já davas a que o sistema esteja morto, e não mais do que isso. É prova, fraca. Nem de longe chega para agir, e é o mais forte que um leitor tem no momento em que costuma agir. A profundidade que decidiria mesmo alguma coisa são vinte R, onde a razão chega finalmente a 7,78 — e vinte R é uma profundidade que dois sistemas vivos em cada cem alcançam e dezoito mortos em cada cem, de modo que esperar por ela significa que a maioria dos teus sistemas realmente mortos também nunca a dispara.

Quase ninguém que alguma vez desligou um sistema calculou essa razão à profundidade a que o desligou. Duas simulações e duas contagens de superações, e uma noite chega para as duas.

A folha que este módulo vem construindo desde a aula 62 ganha aqui uma sexta coluna, e é a profundidade à qual vais parar, escrita antes de começares. Ao lado escreve a fração de sistemas vivos que essa profundidade descarta, tirada dos números de superação acima, porque uma regra de paragem sem essa fração ao lado é um número que alguém escolheu. A aula 70 é onde a folha inteira é gasta de uma vez.

O teste que responde mesmo à pergunta

A profundidade falha como prova porque a profundidade é limitada e a prova não é. Um drawdown só pode ficar fundo até o dinheiro acabar, mas o número de operações que já fizeste continua a subir, e cada uma carrega um pouco de informação sobre qual o sistema que tens na mão. Deixa portanto de medir o buraco e começa a acumular as operações.

O teste sequencial de Wald guarda um único número corrente: o logaritmo de quanto mais prováveis são as tuas operações sob um sistema vivo do que sob um morto. Depois de cada operação soma-lhe um termo. Para um resultado x, testando uma média de zero contra uma média de d:

L → L + d x − d²/2

Traçam-se duas linhas antes da primeira operação. Declara-o vivo quando L sobe até ao logaritmo de (1 − β) sobre α; declara-o morto quando L desce até ao logaritmo de β sobre (1 − α). Com 5 por cento de probabilidade para cada erro, esses valem +2,9444 e −2,9444, e a simetria decorre de se terem escolhido iguais as duas taxas de erro; não é um pressuposto.

Uma substituição, feita por inteiro. A uma vantagem de um décimo de R, cada operação soma 0,10x − 0,005 a L. As operações de um sistema vivo dão em média +0,10, portanto o seu passo médio é 0,10 vezes 0,10 menos 0,005, ou seja +0,005. As de um morto dão em média zero, portanto o seu passo médio é −0,005. Cada um caminha para a sua própria linha à mesma velocidade, e cada um tem 2,9444 para percorrer. Divide: 2,9444 por 0,005 dá 589 operações. A quarenta operações por mês, 14,7 meses.

Vantagem que estás a testar	Passo por operação, d²/2	Operações até ao veredicto	Meses a quarenta por mês
0,05	0,00125	2.356	58,9
0,10	0,00500	589	14,7
0,20	0,02000	148	3,7
0,30	0,04500	66	1,6

As contagens de operações arredondam para cima e os meses dividem por quarenta a esperança não arredondada, e é por isso que a última linha diz 66 e 1,6 em vez de 66 e 1,7.

Traça agora as duas linhas onde um trader as possa mesmo ver, ou seja sobre o acumulado em R. L é uma reta nesse acumulado: ao fim de n operações, L vale 0,10 vezes o acumulado, menos 0,005n. Põe L em cada uma das fronteiras e resolve, e as duas linhas são o acumulado igual a n vezes d a dividir por dois, menos e mais 2,9444 dividido por d.

Às 156 operações, o horizonte que a aula 65 fixou, isso põe a linha de morto em −21,6R e a de vivo em +37,2R, enquanto uma vantagem viva de um décimo de R espera ter feito +15,6R. Ambas merecem uma segunda leitura. O teste não declara um sistema morto enquanto não estiver 21,6R abaixo, o que é duas vezes e meia a mediana do drawdown que um sistema vivo produz e mais fundo do que o seu décimo menos afortunado. E não o declara vivo a +15,6R, que é exatamente o que um vivo devia entregar. No ponto em que uma vantagem verdadeira fez precisamente o que prometia, este teste continua sem ter nada a dizer.

Mais uma linha, e é uma identidade e não uma coincidência. Às 588,89 operações — a esperança não arredondada, a 14,7 meses de distância — a linha de morto cai exatamente em zero. A álgebra é n vezes d a dividir por dois contra 2,9444 a dividir por d, e com n igual a duas vezes 2,9444 dividido por d ao quadrado essas duas quantidades são o mesmo número, portanto anulam-se. Até ao mês quinze, um sistema que não te rendeu absolutamente nada ainda não chumbou.

Um drawdown mede a tua dispersão, não a tua vantagem.

As fronteiras de Wald são uma aproximação, e uma aproximação verifica-se em vez de se acreditar. Dá ao teste operações de uma vantagem verdadeira de um décimo de R, 20.000 séries, semente 20260903: devolve 19.092 vezes vivo e 908 vezes morto, uma taxa de falso morto de 4,5 por cento contra os 5 por cento para que foi construído. Dá-lhe operações de nada de nada: 19.035 vezes morto e 965 vezes vivo, 4,8 por cento de falso vivo. O veredicto mediano chega às 435 operações e o médio às 545, ambos abaixo dos 589 de Wald, porque a esperança é puxada para cima pela minoria de séries que vagueiam muito tempo.

Põe isso ao lado da fórmula de amostra fixa da aula 19, que pedia 7,85 dividido pelo quadrado da razão entre vantagem e ruído. A um décimo de R são 785 operações, e o que ela comprava era uma hipótese em quatro sobre cinco de notar uma vantagem real. As duas linhas de Wald compram dezanove em vinte nos dois sentidos e chegam a um veredicto com mediana de 435. Divide: o teste sequencial faz um trabalho estritamente melhor sobre 55 por cento da amostra, e a razão é que para assim que a resposta é clara em vez de esperar por uma data que alguém marcou de antemão.

Traça portanto esta noite as duas linhas na tua própria curva de capital, antes do drawdown, e deixa de ler a profundidade.

O que isto não resolve

Que as operações sejam independentes e normais. Nenhuma das duas coisas é verdade num histórico real, e as duas falhas apontam em sentidos opostos. A assimetria favorece a tabela: passa os resultados reais da aula 18, +2R e −1R a 45 por cento, e a mediana do pior drawdown sobre 200 operações vale 9,00R, enquanto a bancada normal, com a mesma média e o mesmo desvio padrão, dá 9,68R, uma sobrestimação de 7,6 por cento, porque uma distribuição com ganhadoras grandes e perdedoras pequenas sai dos buracos mais depressa do que uma simétrica. O agrupamento aponta ao contrário e pesa provavelmente mais: perdas que chegam juntas cavam mais fundo do que perdas que chegam dispersas, e esta página não modela nada disso.

Que a segunda casa decimal queira dizer alguma coisa. Duas coisas a põem em dúvida, e somam-se. Um R é o desvio padrão dos resultados das tuas próprias operações, estimado sobre o mesmo histórico curto que te preocupa, e sobre 156 observações o seu próprio erro padrão anda pelos 5,7 por cento; toda a profundidade da primeira tabela escala com ele, portanto o 8,82 é 8,82 mais ou menos meio R antes de se contar seja o que for. A simulação junta o seu próprio tremor: volta a correr essa mediana com outras quatro sementes e ela cai em 8,84, 8,83, 8,75 e 8,84. Há duas casas decimais porque uma tabela precisa de um formato para todas as células.

Que o teste esteja a pôr à prova a hipótese certa. A razão de Wald compara duas médias precisas, zero e um décimo de R, e um sistema real quase nunca é nenhuma das duas. Dá-lhe operações de uma vantagem verdadeira de 0,05 — metade daquilo que testa, e mesmo assim uma vantagem perfeitamente real — e ele parte-se quase exatamente ao meio, chamando vivos a 49,91 por cento e mortos a 50,09 por cento, sobre uma mediana de 672 operações. Ali o teste não está a funcionar mal. Nunca lhe perguntaram por esse caso, e quem o corre a um décimo de R aceitou em silêncio tratar uma vantagem reduzida a metade como uma moeda ao ar.

Que esperar seja possível, e esta é a concessão que mais custa. Tudo o que está acima diz que a resposta honesta pede 589 operações e 14,7 meses, e que a linha de morto no horizonte das 156 operações fica 21,6R abaixo. Um trader que está 21,6R abaixo a dois por cento por operação perdeu perto de um terço da conta, e a aritmética desta página diz-lhe para continuar. Não lhe pode dizer como, e não pode porque aguentares ou não é uma questão de tamanho de posição e de dinheiro, não de prova. A aula 20 é onde vive de facto a resposta ao problema que esta aula diagnostica, e tudo o que esta página pode fazer é dizer que o diagnóstico e o tratamento são disciplinas diferentes.

E a que mina a própria tabela: ela está indexada pela vantagem verdadeira, que é a única quantidade que nunca tens. Não podes procurar a tua própria linha. Lida para a frente, a tabela é inútil. Lida ao contrário diz apenas que nenhuma profundidade em que possas estar agora exclui linha nenhuma. Esse é um resultado mais magro do que cinco colunas de números fazem parecer, e é a versão honesta do que um drawdown te diz.

Resta o caso que esta página não parou de pôr de lado, porque não é nenhuma das duas hipóteses que o teste compara. A aula 68 pega numa vantagem que não morre mas decai. Dá ao teste um décimo de R que se apaga linearmente até zero ao longo exatamente das 589 operações de que precisa, e ele declara o sistema morto em 65,46 por cento das vezes e vivo em 34,53 por cento, sobre uma mediana de 627 operações — de modo que, quando o veredicto cai, caia como cair, aquilo que estava a testar já desapareceu.