De gewichten die je kunt aanhouden

Les 72 beprijsde een boek waarin elke positie even groot was en liet deze pagina de vraag hoeveel er in elke gaat. Hier is het antwoord dat de gebruikelijke machinerie geeft, op de vier regels van les 71 en dezelfde achtentwintig bewegingen: 0,987, min 0,438, min 0,705 en 1,156. Het snijdt de standaardafwijking van de dag met 10,65 procent, wat op vier posities van elk twee procent 0,78 procentpunt van de dag is. Het vraagt je ook twee van je eigen vier regels short te gaan en 3,29 dollar aan positie te dragen voor elke dollar op de rekening. Verbied het shorten en het antwoord wordt 0,630 en 0,370 met twee regels op nul, wat 59 procent van de snede behoudt, één dollar positie per dollar rekening aanhoudt, en, geschat op achtentwintig dagen in plaats van vooraf gekend, gemiddeld een betere dag levert dan het onbeperkte antwoord.

Vereisten: Les 72, voor het gelijkgewogen boek dat deze pagina herweegt, les 71, voor de vier regels en hun zes correlaties, en les 12, voor de kosten die meegroeien met wat je verhandelt.

Wat het doel werkelijk bevat

Minimale variantie is één regel. Neem de covariantiematrix van de dingen die je aanhoudt, keer hem om, vermenigvuldig met een kolom enen en deel door de som zodat de gewichten optellen tot één. Dat is de hele methode, ze heeft een gesloten vorm, en elk rekenblad doet haar op vier regels in een minuut.

w = Σ⁻¹1 / (1′Σ⁻¹1)

Lees wat erin zit en, belangrijker, wat er niet in zit. Er zijn geen verwachte rendementen, en dat is opzet: les 67 had 589 trades nodig om uit te maken of een tiende van een R echt was, dus een schatting van wat elke regel gaat verdienen is het minst betrouwbare getal in het gebouw, en een doel dat het nodig heeft erft dat. Er zijn geen kosten. Er is geen enkele beperking. De formule geeft zonder commentaar een negatief gewicht terug, en negatief betekent short.

De invoer bestaat uit de vier regels die les 71 koos, een gemiddelde over 2 bars tegen een over 5, een over 3 tegen een over 10, een over 5 tegen een over 20 en een over 8 tegen een over 30, over de achtentwintig bewegingen waarop elke regel van het rooster van les 63 gedefinieerd is. Hun zes correlaties zijn die van les 71, van 0,6282 tot 0,9742. Hun standaardafwijkingen liggen dicht bij elkaar: 0,6375, 0,7218, 0,7265 en 0,7032 in de eenheden die de regels teruggeven.

Vier wegingen zijn het waard om naast elkaar te zetten. Gelijke gewichten is wat les 72 aannam. Inverse variantie is wat de meeste mensen met risicopariteit bedoelen als ze haast hebben: weeg met één gedeeld door de variantie van elke regel en negeer de correlaties helemaal. Dan het antwoord met minimale variantie met het shorten verboden, en hetzelfde antwoord zonder enig verbod.

Weging	Gewichten	Positie per dollar	Standaardafwijking van de dag	Snede
Gelijk	0.25, 0.25, 0.25, 0.25	1,000	0,64074	—
Inverse variantie	0.297, 0.231, 0.228, 0.244	1,000	0,63502	0,89%
Minimale variantie, zonder shorten	0.630, 0, 0, 0.370	1,000	0,60021	6,32%
Minimale variantie	0,987, −0,438, −0,705, 1,156	3,287	0,57252	10,65%

Begin bij de omvang van het meningsverschil. De hele afstand van de bovenste rij naar de onderste is 0,06822, tegen een startpunt van 0,64074. Alles wat portefeuilleconstructie over dit boek te zeggen heeft, van de grofste regel tot het exacte optimum berekend met de antwoorden in de hand, is 10,65 procent van de standaardafwijking van de dag waard. Bij twee procent per positie en de gemiddelde correlatie van 0,7887 die les 71 voor deze vier geeft, maken gelijke gewichten de dag 7,339 procent en het optimum 6,557 procent. De hele prijs is acht tiende van een procentpunt per dag. Hij is het waard om op te pakken en hij is geen grote moeite waard, en van tevoren weten welke van die twee het is, is het meeste waar deze pagina voor dient.

Lees daarna de tweede rij, want dat is degene die mensen echt draaien. Inverse variantie haalt 0,89 procent op van de beschikbare 10,65, oftewel een twaalfde. Ze faalt omdat de vier standaardafwijkingen bijna gelijk zijn, zodat wegen naar hen nauwelijks iets beweegt, en omdat de hele prijs op dit boek in de correlaties zit. Een weging die correlaties negeert op een verzameling regels waarvan de correlaties van 0,63 tot 0,97 lopen, lost een probleem op dat dit boek niet heeft.

Dan de twee die ertoe doen. Het onbeperkte antwoord haalt er nog 4,33 procentpunt van de dag af en brengt de snede van 6,32 procent naar 10,65, en het koopt dat met twee shortbenen van samen 1,143 en een brutopositie van 3,287 dollar voor elke dollar rekening. De beperking kost twee vijfde van de prijs en haalt alle hefboom weg.

Vrijwel niemand heeft ze allebei uitgerekend. Het onbeperkte getal is wat elk leerboek en elke programmabibliotheek standaard teruggeeft, het beperkte staat vier regels verderop, en het verschil ertussen is het verschil tussen een portefeuille die je kunt beschrijven en een portefeuille die je kunt aanhouden.

De kaart van module 9 krijgt een derde kolom, en dat is het gewicht dat deze pagina elke regel geeft, twee keer opgeschreven: één keer zoals de optimalisator het teruggeeft en één keer met de shorts verboden. Les 75 is waar de hele kaart in één keer wordt ingelost.

Wat achtentwintig dagen kunnen betalen

De gewichten hierboven kwamen uit tien getallen, vier varianties en zes covarianties, geschat uit achtentwintig waarnemingen. Dat zijn niet duidelijk te weinig, en het zijn niet duidelijk genoeg, dus meet het in plaats van erover te bakkeleien.

Behandel de hierboven gemeten covariantie alsof ze de waarheid is. Trek er T waarnemingen uit, pas de optimalisator op de trekking aan alsof dat alles was wat je had, en beoordeel de resulterende gewichten daarna tegen de waarheid waarmee je begon. De afstand tussen de beoordeling en het echte optimum is de schattingsfout, en dat is het enige dat dit experiment bevat. Twintigduizend trekkingen bij elke T, vanaf zaad 20260905, zodat de derde kolom tot op een tiende punt stabiel is en de vierde tot op twee tiende.

Waarnemingen	Standaardafwijking die de aangepaste gewichten werkelijk leveren	Deel van de prijs dat aankomt	Verslaat het antwoord zonder shorten
28	0,60798	48,0%	50,4%
60	0,58781	77,6%	85,6%
125	0,57960	89,6%	99,1%
250	0,57594	95,0%	100,0%
1.000	0,57338	98,7%	100,0%

De eerste rij is het eerlijke oordeel over de gewichten waarmee deze pagina opende. Aangepast op achtentwintig waarnemingen levert de onbeperkte optimalisator 0,60798 in plaats van de 0,57252 die hij afdrukt, oftewel 48,0 procent van de prijs in plaats van de hele. Hij verslaat gelijke gewichten toch, en ruim: op dit boek is de optimalisator geen vergissing, en de gangbare bewering dat delen door N altijd wint is niet wat het rekenwerk zegt.

De vierde kolom is de bevinding, en ze moet tegen de tweede gelezen worden. Aangepast op achtentwintig waarnemingen verslaat het onbeperkte antwoord het beperkte in 50,4 procent van de trekkingen, oftewel kruis of munt, en levert het ondertussen gemiddeld 0,60798 tegen de 0,60021 die de beperking zonder enige schatting levert. De gewichten die je niet kunt aanhouden winnen de helft van de tijd, verliezen gemiddeld en dragen hoe dan ook drie dollar positie voor elke dollar. Er zijn zestig waarnemingen nodig voordat het onbeperkte antwoord vijf van de zes keer wint en 125 voordat het vrijwel altijd wint, en 125 dagwaarnemingen zijn zes maanden slotkoersen.

Kijk nu naar de gewichten zelf in plaats van naar wat ze leveren. Trek de achtentwintig dagen vierduizend keer met teruglegging opnieuw vanaf zaad 20260906, pas opnieuw aan, en lees de middelste negentig van elke honderd uitkomsten:

2-en-5, aangepast op 0,987: landt tussen 0,724 en 1,316.

3-en-10, aangepast op min 0,438: landt tussen min 0,881 en min 0,043.

5-en-20, aangepast op min 0,705: landt tussen min 1,381 en 0,081, en is in 6,6 procent van de trekkingen positief.

Brutopositie, aangepast op 3,287: mediaan 3,194, en boven de drie dollar per dollar rekening in 63,9 procent van de trekkingen.

De standaardafwijking die die gewichten leveren is stabiel. De gewichten zijn dat niet. Een gewicht van min 0,705 waarvan de eigen trekkingen van min 1,381 tot plus 0,081 lopen, is geen beslissing over een regel, het is het bezinksel van tien schattingen die over achtentwintig dagen ruziën, en het op drie cijfers afdrukken is het deel dat misleidt. En 153 van de vierduizend trekkingen leverden een covariantiematrix zonder enige inverse op, dus bij bijna één trekking op vijfentwintig van je eigen dagen geeft de methode geen fout antwoord, ze geeft er geen.

En daar verdient de beperking haar plaats, en ze doet meer dan je tegen hefboom beschermen. Negatieve gewichten verbieden komt rekenkundig dicht bij toegeven dat de covariantie slecht gemeten is en haar naar iets eenvoudigers toe trekken: krimp de covariantie van dit boek halverwege naar de ene gemiddelde correlatie die les 72 gebruikte en de optimalisator geeft een brutopositie van 1,205 en een standaardafwijking van 0,59512 terug, tegen de 1,000 en 0,60021 van de beperking. Twee verschillende bekentenissen van dezelfde onwetendheid, die één procent van elkaar landen op de dag en een vijfde dollar op de positie.

En het beperkte antwoord zet 5-en-20 op nul, precies de regel die les 71 je liet schrappen omdat ze de hoogste correlatie met de rest heeft. Twee verschillende doelen, het ene gemeten op correlaties en het andere op variantie, kiezen dezelfde regel om te verwijderen.

Draai de optimalisator dus met de shorts verboden, en neem de 6,32 procent die hij kan aanhouden boven de 10,65 die hij niet kan.

Wat dit niet oplost

Dat minimale variantie het doel is. Het is het doel dat het minste nodig heeft, niet het doel dat je wilt. Niets erin weet welke regel geld verdient, dus een regel die stil en waardeloos is krijgt gewicht omdat ze stil is. Elke drempel in deze cursus geldt voor elke regel voordat de gewichten van deze pagina voor de verzameling gelden: de lat van les 64, de test van les 67, de filtervoorwaarde van les 70. Een boek van vier dode regels op minimale variantie wegen levert een zeer stabiele manier op om geld te verliezen.

Dat de 10,65 procent gratis is. De brutopositie gaat van één dollar naar 3,287, en elke kostenpost die meegroeit met wat je verhandelt groeit daarmee mee: de spread van les 12 bij het in- en uitstappen, de impact van les 59 bij het instappen, de capaciteit van les 68 op de omvang die je überhaupt kunt aanhouden. Het doel bevat er geen van, dus het koopt graag acht tiende van een procentpunt dagelijkse standaardafwijking voor een verdrievoudiging van de rekening. Bij het fonds uit les 12 is die ruil duidelijk de moeite waard en bij de micro cap duidelijk niet, en de formule kan ze niet uit elkaar houden omdat haar de koersen nooit zijn getoond.

Dat de simulatie de hele fout meet. Dat doet ze niet, en ze vleit de optimalisator al door haar opzet. De waarheid waaruit ze trekt is dezelfde covariantie die de achtentwintig dagen opleverden, dus wat de tabel beprijst is schattingsfout en verder niets. Ze zegt niets over de mogelijkheid dat de covariantie om te beginnen verkeerd is, en dat is het grotere probleem en dat van de volgende pagina.

Dat vier regels het moeilijke geval is. Het is het makkelijke. Tien parameters uit achtentwintig waarnemingen is ongemakkelijk; twintig regels zijn 210 parameters uit dezelfde achtentwintig dagen, en bij achtentwintig regels houdt de gemeten matrix helemaal op een inverse te hebben, zodat de optimalisator geen slecht antwoord teruggeeft maar helemaal geen. Het aantal parameters groeit met het kwadraat van het aantal regels en de gegevens groeien niet mee, en daarom gaat elke professionele behandeling van dit probleem over krimpen, beperken of factoriseren van de matrix in plaats van over het omkeren van wat je gemeten hebt.

Dat de gewichten een beslissing over de regels zijn. Ze zijn een beslissing over dit boek op deze dagen. Voeg een vijfde regel toe en alle vier de gewichten bewegen, omdat het doel geen begrip heeft van de eigen verdienste van een regel, alleen van haar bijdrage aan een bepaalde verzameling. De derde kolom van de kaart is daarom het minst overdraagbare wat erop staat, en daarom staat ze er twee keer en is de tweede keer degene waarnaar je handelt.

En de toegeving die het meest kost: deze pagina behandelde de covariantie als één object gemeten op één venster, en het is geen object. Snijd dezelfde achtentwintig bewegingen doormidden en de gemiddelde correlatie tussen de vier regels is 0,5673 in de eerste veertien en 0,9247 in de laatste veertien, en de op de eerste helft aangepaste gewichten zijn 0,308, 0,225, min 0,731 en 1,197 in plaats van 0,987, min 0,438, min 0,705 en 1,156. In de laatste veertien is het erger dan onstabiel: drie van de vier regels houden op elk van die dagen dezelfde positie aan, hun correlaties zijn precies één, en de covariantiematrix heeft helemaal geen inverse. Les 74 begint daar, bij de helft van je eigen gegevens waarop de machinerie van deze pagina niet draait.

Opgaven

1. Weeg je eigen boek op twee manieren. Neem de dagrendementen van de regels die je draait, bouw de covariantiematrix in een rekenblad, en bereken de gewichten met minimale variantie met en zonder ondergrens van nul. Een half uur, en je eindigt met twee sets gewichten en één getal, het verschil in de standaardafwijking van de dag ertussen, en dat is wat het shortbeen betaald krijgt.
2. Beprijs de prijs voordat je hem najaagt. Bereken de standaardafwijking van je boek bij gelijke gewichten en bij het onbeperkte optimum, en neem de verhouding. Tien minuten, en je eindigt met één getal, het meeste dat herwegen ooit voor je kan doen, dat je vergelijkt met de 10,65 procent op deze pagina en met hoeveel je kosten zouden stijgen bij de brutopositie van het optimum.
3. Trek je eigen gewichten opnieuw. Trek je eigen dagen met teruglegging, pas de gewichten opnieuw aan, en doe dat tweehonderd keer. Een avond, en je eindigt met één getal per regel, het deel van de trekkingen waarin haar gewicht negatief is, en elke regel waarvan dat deel bij de helft in de buurt komt heeft van je gegevens geen gewicht gekregen.

Bronnen. Harry Markowitz, „Portfolio Selection” (The Journal of Finance, 1952), voor het doel dat deze pagina berekent en voor de opmerking, meteen aan het begin gemaakt en meestal vergeten, dat de invoer schattingen zijn. Richard O. Michaud, „The Markowitz Optimization Enigma: Is Optimized Optimal?” (Financial Analysts Journal, 1989), voor het argument dat de optimalisator de fouten in zijn invoer samen met al het andere maximaliseert, en dat is de tweede tabel in één zin gelezen. Ravi Jagannathan en Tongshu Ma, „Risk Reduction in Large Portfolios: Why Imposing the Wrong Constraints Helps” (The Journal of Finance, 2003), voor het resultaat dat shortposities verbieden gelijkstaat aan het krimpen van de covariantiematrix, en daarom landen het beperkte antwoord en het gekrompen antwoord hier op dezelfde plek. Victor DeMiguel, Lorenzo Garlappi en Raman Uppal, „Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient Is the 1/N Portfolio Strategy?” (The Review of Financial Studies, 2009), voor de schattingsvensters die een geoptimaliseerde portefeuille nodig heeft voordat ze gelijke gewichten verslaat, en dat is de derde kolom van de tweede tabel goed en op schaal gedaan.

Elk daarvan is in de woordenlijst gedefinieerd tegenover de rekensom op deze pagina.

Minimum Variance

Uitsluitend educatief. Handelen brengt een aanzienlijk risico op verlies met zich mee. Dit is geen financieel advies. Resultaten uit het verleden bieden geen garantie voor de toekomst.