Correlatie
Twee reeksen waarvan de correlatie over de hele reeks 0,45 is, lezen tussen -0,41 en 0,94 op vensters van tien bars uit de eigen zestig bars van deze module, en tussen -0,03 en 0,89 op vensters van twintig, en dat is bijna het hele bereik dat de maat kan aannemen. Correlatie is één deling: de covariantie van twee rendementsreeksen gedeeld door het product van hun standaarddeviaties, en wat eruit komt is geen eigenschap van het paar. Drie exacte resultaten overleven die ruis, en zij zijn de reden om de deling te doen. Correlatie en gevoeligheid zijn hetzelfde feit, tweemaal gezien, want een regressiehelling is de correlatie vermenigvuldigd met de verhouding van de twee standaarddeviaties — een afdekking kan dus het juiste teken en de verkeerde omvang hebben. Een afdekking neemt de variantie het kwadraat van de correlatie af en niet de correlatie zelf, zodat 0,7 nog 71 procent van de oorspronkelijke standaarddeviatie laat staan. En een boek van twintig posities met een gemiddelde paarsgewijze correlatie van 0,3 draagt het risico van drie onafhankelijke; bij 0,8 draagt het dat van 1,2. Geen enkele positiegrootte is veranderd.
Vereisten: Les 44, die de grootheid berekende waarvan de correlatie een verhouding is, les 38, waarvan het vensterprobleem hier voor de derde keer opduikt, en les 20, waarvan de rekenkunde één positie tegelijk afmeet en deze les nodig heeft zodra er twee zijn.
Eén deling, en wat zij deelt
Correlatie neemt de eerste twee stappen van les 44 en voegt er één aan toe. Zet beide koersreeksen om in rendementen. Neem de covariantie, dat wil zeggen het gemiddelde product van de afwijkingen van beide reeksen ten opzichte van hun eigen gemiddelden. Deel door het product van de twee standaarddeviaties. Die laatste deling is waar het om draait: covariantie wordt gemeten in rendement in het kwadraat en laat zich tussen paren niet vergelijken, terwijl de verhouding dimensieloos is en tussen min één en één ligt, zodat een getal berekend op twee valuta’s naast een getal berekend op twee aandelen kan staan.
Alles hieronder draait op twee reeksen, en de tweede moet worden verantwoord voordat ze wordt gebruikt. De eerste zijn de zestig slotkoersen waarmee deze module sinds les 38 werkt. De tweede is daaruit gebouwd volgens een gepubliceerde regel, zodat elk getal op deze pagina te reproduceren is: elk van haar rendementen is de helft van het rendement van de eerste reeks op die bar, plus 0,866 van het rendement van de eerste reeks 29 bars later, waarbij aan het eind weer vooraan wordt begonnen. Die gewichten zijn gekozen om de tweede reeks ongeveer de volatiliteit van de eerste te geven en een correlatie met haar van een half. Wat er werkelijk uit komt is 0,45, omdat de verschoven reeks niet helemaal ongecorreleerd is met de oorspronkelijke — ze leest -0,07 —, en die misser is het eerste wat opvalt. Een paar dat op zestig bars een doel moet raken, mist het met vijf punten.
Correlatie en gevoeligheid zijn hetzelfde feit
Vragen hoe ver het tweede instrument beweegt als het eerste één procent beweegt, is vragen om een regressiehelling, niet om een correlatie. De twee zijn geen alternatieven. De helling is de correlatie vermenigvuldigd met de verhouding van de standaarddeviaties, de tweede gedeeld door de eerste, en die identiteit is exact en niet bij benadering. Op deze twee reeksen geeft de covariantie gedeeld door de variantie van de eerste 0,4374, en de correlatie van 0,4518 vermenigvuldigd met de volatiliteitsverhouding van 0,9682 geeft eveneens 0,4374. Hetzelfde getal langs twee wegen.
De identiteit is de moeite waard omdat de twee helften onafhankelijk van elkaar falen. Een correlatie dicht bij één vertelt je dat twee dingen samen bewegen; ze vertelt je niets over hoe ver. Is het tweede instrument een derde zo volatiel als het eerste, dan betekent een correlatie van 0,95 nog steeds dat één eenheid ervan slechts een derde van een eenheid van het eerste compenseert, en wie ze één op één houdt laat twee derde van de blootstelling onbedekt. Zo eindigt een afdekking met het juiste teken en de verkeerde omvang, en daarom luidt de verstandige instructie: bereken beide getallen en vermenigvuldig ze, in plaats van een correlatie af te lezen en je gerustgesteld te voelen.
De tweede helft van de rekenkunde is minder comfortabel. Dek één instrument af met een ander in de best mogelijke verhouding en de variantie die overblijft is één min het kwadraat van de correlatie. Kwadrateren is genadeloos bij de niveaus waarmee mensen werkelijk werken. Een correlatie van 0,3 neemt 9 procent van de variantie weg en laat 95 procent van de standaarddeviatie staan. Bij 0,5 neemt ze 25 procent weg en laat 87 staan. Bij 0,7, wat vrijwel iedereen een sterk verband zou noemen, neemt ze 49 procent weg en laat nog altijd 71 procent van de oorspronkelijke breedte staan. Pas bij 0,9 zakt de rest onder de helft, en pas bij 0,95 onder een derde. Op de twee reeksen van de module, met een correlatie van 0,4518, neemt de best beschikbare afdekking 20 procent van de variantie weg. Al het overige in die positie staat er nog.
Het venster, voor de derde keer
Les 38 legde vast dat een meting bij haar venster hoort, en les 44 vond het effect twee keer in de volatiliteit. Bij correlatie is het erger, want zij is een verhouding van drie schattingen in plaats van één, en de fouten heffen elkaar niet op. Hieronder de correlatie tussen de twee reeksen van de module, berekend over elk venster van elke lengte die de reeks toelaat.
| Bars in het venster | Beschikbare vensters | Het laagst | Mediaan | Het hoogst | Hoogste min laagste |
|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 50 | -0,41 | 0,41 | 0,94 | 1,35 |
| 20 | 40 | -0,03 | 0,38 | 0,89 | 0,92 |
| 30 | 30 | 0,05 | 0,52 | 0,83 | 0,78 |
| 59 | 1 | 0,45 | 0,45 | 0,45 | 0,00 |
Kijk eerst naar de laatste kolom. De correlatiecoëfficiënt kan alleen waarden aannemen die twee eenheden uit elkaar liggen, van min één tot één, en een tienbarsschatting van dit paar beslaat 1,35 van die twee eenheden. Het is niet zo dat de schatting onnauwkeurig is; het is dat een venster van tien bars over hetzelfde paar, in dezelfde reeks, een paar bars uit elkaar, een sterk negatief en een sterk positief verband kan melden. Aan de constructie is niets veranderd. Dezelfde regel heeft elk rendement in de reeks voortgebracht.
De steekproefrekenkunde zegt precies hoeveel daarvan ruis is. Rond een waargenomen correlatie van 0,50 loopt het 95-procentsinterval uit 20 waarnemingen van 0,07 tot 0,77. Uit 60 waarnemingen loopt het van 0,28 tot 0,67. Uit een heel jaar van 252 loopt het nog altijd van 0,40 tot 0,59, een interval van een vijfde eenheid breed na een jaar dagelijkse data. Hoge correlaties worden preciezer gemeten — een waargenomen 0,90 uit 60 waarnemingen ligt tussen 0,84 en 0,94 —, wat een schrale troost is, want voor een boek tellen juist de hoge waarden.
Het teken is geen eigenschap van het paar
Het meest gezegde over twee instrumenten is dat ze omgekeerd gecorreleerd zijn, alsof het teken een feit over hen is. Dat is het niet. Neem het meest geciteerde paar van allemaal, aandelen en staatsobligaties, en geef de markt twee onafhankelijke dingen om bang voor te zijn: groei en rente. Goed groeinieuws tilt aandelen op en schaadt obligaties, omdat het de later verwachte rente verhoogt. Een rentestijging schaadt beide, omdat ze elke toekomstige kasstroom zwaarder verdisconteert. Schrijf aandelen als groei min rente en obligaties als min groei min rente, en de covariantie tussen beide is de variantie van de renteschok min de variantie van de groeischok, terwijl elk een variantie heeft gelijk aan hun som.
De correlatie is dus het verschil van de twee varianties gedeeld door hun som, en niets anders. Geef de groeischok drie keer de variantie van de renteschok en ze is -0,50; geef de renteschok drie keer de variantie van de groeischok en ze is 0,50. Negen keer in beide richtingen geeft -0,80 en 0,80. Zijn ze even belangrijk, dan is ze precies nul. Over dat hele bereik veranderde niemand van gedrag en brak geen enkel verband; wat veranderde was de mengverhouding van waar de markt zich zorgen over maakte, en de correlatie is de uitlezing van die mengverhouding.
Daaruit volgen twee dingen die makkelijk verkeerd worden begrepen. Ten eerste betekent een correlatie van nul tussen aandelen en obligaties niet dat ze niets met elkaar te maken hebben: volgens deze rekensom betekent ze dat twee sterke verbanden met tegengesteld teken elkaar in evenwicht houden, wat een volstrekt andere situatie is dan twee instrumenten die werkelijk niets met elkaar van doen hebben, en ze zal niet op nul blijven. Ten tweede is een tekenwissel geen bewijs dat er iets kapot is. Het is bewijs dat de dominante schok is gewisseld, iets wat markten routinematig doen en wat je vaak op de kalender ziet aankomen.
Waarom ze in een crisis stijgt, en hoeveel van die stijging echt is
De waarneming dat correlaties naar één gaan wanneer alles daalt, is waar genoeg om serieus te nemen, en wordt gewoonlijk verklaard met angst, wat niets verklaart. Er zijn drie mechanismen en geen ervan is angst.
Het eerste is pure rekenkunde. Stel dat het rendement van elk instrument een gemeenschappelijke factor is plus iets van zichzelf. De correlatie tussen twee willekeurige daarvan is de variantie van de gemeenschappelijke factor gedeeld door de som van die en de idiosyncratische variantie. Laat de gemeenschappelijke schok nu groter worden zonder dat er iets anders verandert: geen enkele gevoeligheid verandert, geen deelnemer gedraagt zich anders, aan geen enkel instrument wordt iets veranderd. Was de variantie van de gemeenschappelijke schok 1 tegen een idiosyncratische van 3, dan was de correlatie 0,25. Verdrievoudig de standaarddeviatie van de gemeenschappelijke schok, wat haar variantie op 9 brengt, en de correlatie is 0,75. Dat is de hele beweging, en ze volgt eruit dat correlatie een verhouding is waarvan een crisis de teller opblaast.
Het tweede mechanisme is echt en gaat helemaal niet over de factorstructuur. Een houder met hefboom die een margeverzoek krijgt, verkoopt wat hij heeft en niet wat daalt, zodat instrumenten zonder iets gemeenschappelijks samen gaan bewegen omdat één balans ze allemaal bevat. Dat is een nieuwe gemeenschappelijke factor, geschapen door de liquidatie en precies zo lang durend als zij. Het is de reden dat een crisiscorrelatie alles kan overtreffen wat de gewone factorstructuur zou opleveren, en de reden dat ze binnen dagen kan verdwijnen.
Het derde is dat de meting zelf vertekend is, en dit verdient rekenkunde omdat het groot is. Een correlatie die alleen over het volatiele stuk wordt berekend, valt hoger uit dan de correlatie van hetzelfde paar over alles gemeten, zelfs als er helemaal niets is veranderd, omdat conditioneren op grote bewegingen in één reeks juist die waarnemingen selecteert waarin de gedeelde component domineerde. De correctie deelt het waargenomen getal door de wortel uit één plus de evenredige stijging van de variantie maal één min het kwadraat van de waargenomen correlatie. Neem een stuk waarvan de variantie verviervoudigde, wat neerkomt op een verdubbeling van de volatiliteit: een waargenomen correlatie van 0,80 komt dan overeen met een onvoorwaardelijke van 0,55. Een waargenomen 0,60 komt overeen met 0,35. Een waargenomen 0,90 komt overeen met 0,72.
Die correctie is omstreden, en de onenigheid is de eerlijke stand van de vraag en geen voetnoot. Corrigeren voor volatiliteit haalt veel van de schijnbare stijging weg, maar werk over de uiteinden van de verdeling vindt dat de correlatie in dalende markten toch sterker stijgt dan de volatiliteit alleen verklaart, en dat ze in stijgende markten niet op dezelfde manier stijgt. Een deel van de toename is dus een artefact van het meten tijdens een gewelddadige periode en een deel is een echte eigenschap van dalende markten. Wat de rekenkunde uitmaakt, is dat het artefact groot genoeg is om te tellen: wie een crisiscorrelatie noemt zonder te zeggen wat de variantie deed, noemt een getal dat met een onbekend en aanzienlijk bedrag is opgeblazen.
Wat ze met een boek doet
Alles hierboven is voorbereiding op één berekening, en die berekening is de reden dat correlatie op het programma staat. Houd twee posities van dezelfde omvang in instrumenten met dezelfde volatiliteit, en de standaarddeviatie van het paar is de wortel uit twee maal één plus de correlatie, in eenheden van één positie. Bij een correlatie van nul is dat 1,41 en niet 2: twee onafhankelijke weddenschappen van dezelfde omvang dragen minder dan het dubbele risico, en dat verschil is alles wat diversificatie is. Bij 0,3 is het 1,61. Bij 0,8 is het 1,90. Bij 1,0 is het precies 2, oftewel één positie met twee tickers erop.
Breid dat uit naar een gelijkgewogen boek van willekeurige omvang en de rekenkunde blijft exact. Een boek van instrumenten met dezelfde volatiliteit en een gemiddelde paarsgewijze correlatie draagt het risico van een kleiner aantal onafhankelijke posities, en dat aantal is het aantal gedeeld door één plus het aantal min één maal de gemiddelde correlatie. Het hangt af van de gemiddelde paarsgewijze correlatie en van niets anders aan de structuur, wat de moeite waard is om te weten, want het betekent dat je een gecorreleerd boek niet repareert door te wisselen welke namen erin zitten.
| Gemiddelde paarsgewijze correlatie | 2 namen | 5 namen | 20 namen | 50 namen |
|---|---|---|---|---|
| 0,0 | 2,00 | 5,00 | 20,00 | 50,00 |
| 0,1 | 1,82 | 3,57 | 6,90 | 8,47 |
| 0,3 | 1,54 | 2,27 | 2,99 | 3,18 |
| 0,5 | 1,33 | 1,67 | 1,90 | 1,96 |
| 0,8 | 1,11 | 1,19 | 1,23 | 1,24 |
Elk getal in de tabel is het aantal onafhankelijke posities dat het boek werkelijk draagt. Lees de rij 0,3 in de breedte: van vijf namen naar vijftig gaan, een vertienvoudiging van het werk om het ding te beheren, brengt de telling van 2,27 onafhankelijke weddenschappen naar 3,18. Lees de kolom van 20 namen naar beneden en de instorting gaat nog sneller, van twintig bij correlatie nul naar 6,90 bij 0,1 en 2,99 bij 0,3. Het eerste tiende deel correlatie kost meer dan de helft van de diversificatie in het boek. Dat is geen waarschuwing over crises; 0,1 is een rustige markt.
De bodem verdient een naam omdat hij exact is. Naarmate het aantal namen zonder grens groeit, nadert de standaarddeviatie van het boek de wortel uit de gemiddelde correlatie maal die van één naam. Bij 0,3 is die bodem 0,55, dus geen enkel aantal posities zal een boek met die gemiddelde paarsgewijze correlatie onder 55 procent van de volatiliteit van één ervan brengen. Bij 0,8 is de bodem 0,89. Namen toevoegen voorbij het punt waar de telling ophoudt te stijgen, is werk dat niets oplevert.
Zet er nu de crisis in. Een boek van twintig namen bij een gemiddelde correlatie van 0,3 draagt 2,99 onafhankelijke weddenschappen en een standaarddeviatie van 0,58 van die van één naam. Breng de correlatie naar 0,75, wat de rekenkunde hierboven toeschrijft aan een verdrievoudigde gemeenschappelijke schok, en hetzelfde boek draagt 1,31 onafhankelijke weddenschappen en een standaarddeviatie van 0,87. Het risico steeg met 51 procent en niemand handelde. Om terug te komen op het risico dat je eerder had, moet elke positie met 34 procent omlaag — en die snee is het antwoord op de vraag die les 44 openliet, want het is een snee die afmeten op volatiliteit niet voor je maakt. De rekenkunde van les 44 meet elke positie af tegen haar eigen volatiliteit, één voor één, en is blind voor het feit dat ze dezelfde positie zijn geworden.
Wat dit niet oplost
Dat de correlatie die je hebt gemeten de correlatie is. Ze is een schatting, en een luidruchtige. Rond een waargenomen 0,50 loopt het 95-procentsinterval uit 20 waarnemingen van 0,07 tot 0,77, uit 60 waarnemingen van 0,28 tot 0,67 en uit een heel jaar van 252 waarnemingen van 0,40 tot 0,59. Elke voortschrijdende correlatie op elk platform is een getal van deze soort. Voordat je een verandering daarin voor een verandering van de markt aanziet, kijk of de intervallen van de twee aflezingen elkaar overlappen, want bij de vensterlengtes die mensen gebruiken doen ze dat vrijwel altijd.
Dat de gemiddelde paarsgewijze correlatie alles is wat je over een boek hoeft te weten. Voor de variantie is ze dat, exact, en daarom hangt de telling hierboven van niets anders af. Voor al het overige is ze dat niet. Neem dezelfde twintig namen en hetzelfde gemiddelde van 0,3, maar rangschik ze als twee blokken van tien, binnen elk blok gecorreleerd 0,75 en tussen de blokken -0,105, wat een geldige correlatiematrix is en tot op het cijfer 0,3 gemiddeld geeft. Het boek toont nog steeds 2,99 onafhankelijke weddenschappen en een standaarddeviatie van 0,58, want die hangen alleen van het gemiddelde af. Maar tien van zijn twintig namen zijn een blok dat samen 1,29 onafhankelijke weddenschappen draagt, dus het halve boek is één positie, en geen enkel getal in de tabel hierboven kan dat zien. De zin hierboven, dat je een gecorreleerd boek niet repareert door zijn namen te herschikken, geldt voor de variantie en voor niets ruimers. Draai de telling ook op je blokken en niet alleen op het geheel.
Dat correlatie meet hoezeer twee dingen samenhangen. Ze meet hoe goed een rechte lijn past, en niets anders. Twee reeksen kunnen elkaar volmaakt bepalen en toch nul aangeven, wat gebeurt zodra het verband symmetrisch is rond een keerpunt — een positie die verliest bij een grote beweging in beide richtingen heeft precies die vorm. Alles op deze pagina geldt voor instrumenten waarvan het verband ongeveer lineair is over het bereik waarin je ze houdt, en opties horen daar niet bij.
Dat de cijfers van deze twee reeksen van wie dan ook zijn. De tweede is uit de eerste gebouwd volgens een regel die hierboven staat afgedrukt, juist zodat de rekenkunde controleerbaar zou zijn, en de zestig bars van de module zijn van meet af aan gemaakt om op een kleine grafiek leesbaar te zijn. De vorm van de venstertabel draagt over — korte vensters geven op echte data werkelijk wilde correlaties, en om dezelfde reden. De concrete cijfers niet, en de 0,45 evenmin.
Dat de boekrekenkunde een echt boek dekt. De effectieve telling veronderstelt dat elke positie even groot is en elk instrument even volatiel. Een boek met één positie die drie keer zo groot is als de rest, ligt dichter bij die ene positie dan welke telling van tickers ook suggereert, en de remedie is dezelfde som te maken met de posities gewogen naar wat ze werkelijk riskeren. Het resultaat over de gemiddelde correlatie blijft exact bij gelijke gewichten en houdt op exact te zijn op het moment dat ze dat niet meer zijn.
Dat een correlatie stabiel genoeg is om op af te dekken. De afdekkingsverhouding is een correlatie vermenigvuldigd met een verhouding van twee volatiliteiten: drie schattingen, elk met haar eigen fout, samengevoegd tot één getal dat vervolgens over een omvang beslist. En die grootheid beweegt het meest juist in de omstandigheden waarin de afdekking geacht wordt te werken. Een afdekking afgemeten op een correlatie uit een rustige markt is afgemeten op de markt die er niet is wanneer je haar nodig hebt.
Opgaven
- Tel de onafhankelijke weddenschappen in je eigen boek. Neem de posities die je houdt, bereken de correlatie van elk paar over de laatste 60 bars, middel die correlaties en zet het gemiddelde in het aantal gedeeld door één plus het aantal min één maal het gemiddelde. Schrijf het antwoord naast het aantal tickers op je scherm. Houd je vijftien dingen en zegt de rekenkunde tweeënhalf, dan weet je nu wat je diversificatie waard is, en dat getal was langs geen enkele andere weg te krijgen.
- Beoordeel elke afdekking op haar twee getallen en niet op haar verhaal. Bereken voor alles wat je houdt omdat het iets anders moet compenseren, de correlatie tussen beide, bereken de verhouding van hun standaarddeviaties en vermenigvuldig. Dat product is de omvang die de afdekking zou moeten hebben, per eenheid van het afgedekte. Vergelijk die met de omvang die je werkelijk houdt. Kwadrateer dan de correlatie en lees af hoeveel van de variantie de afdekking wegneemt zelfs wanneer ze perfect is afgemeten. Bij 0,7 luidt het antwoord: minder dan de helft.
- Snijd je eigen historie doormidden en pas de correctie toe. Neem een paar dat je aangaat, snijd zijn historie in de rustigere en de volatielere helft op grond van de volatiliteit van het eerste instrument, en bereken de correlatie in elk apart. Neem daarna de verhouding van de twee varianties en pas de correctie hierboven toe op het cijfer van de volatiele helft. Wat er van het verschil na die aanpassing overblijft, is het deel dat geen artefact is van het meten tijdens een gewelddadig stuk, en het is meestal een stuk kleiner dan de ruwe vergelijking deed vermoeden.
Bronnen. Francis Galton, „Co-relations and their Measurement, chiefly from Anthropometric Data” (Proceedings of the Royal Society of London, 1888), voor de coëfficiënt zelf, ingevoerd om ledematenlengtes te vergelijken en niet markten, en toen precies zo gedefinieerd als hij nu wordt berekend. Ronald A. Fisher, „Frequency Distribution of the Values of the Correlation Coefficient in Samples from an Indefinitely Large Population” (Biometrika, 1915), voor de steekproefverdeling en de transformatie waaruit de hierboven genoemde intervallen komen. Harry Markowitz, „Portfolio Selection” (The Journal of Finance, 1952), voor de identiteit van de portefeuillevariantie die een paarsgewijze correlatie in een uitspraak over een boek verandert, wat de enige reden is dat hier iets van op een handelsprogramma staat. Kristin J. Forbes en Roberto Rigobon, „No Contagion, Only Interdependence: Measuring Stock Market Comovements” (The Journal of Finance, 2002), voor de conditioneringsvertekening en voor de hierboven toegepaste correctie. François Longin en Bruno Solnik, „Extreme Correlation of International Equity Markets” (The Journal of Finance, 2001), voor de andere kant van dat argument: de correlatie stijgt in dalende markten sterker dan de correctie voor volatiliteit verklaart, en stijgt niet op dezelfde manier in stijgende markten.
De correlatie steeg in het derde mechanisme hierboven omdat één balans alles bevatte, en dat wijst op een grootheid waarover deze module niets heeft gemeten. Elk getal in de lessen 38 tot en met 45 is uit prijzen berekend. Geen ervan zegt wie de positie aan de andere kant van de jouwe houdt, hoeveel ervan er is, of hoeveel ervan geleend was. Les 46 pakt de positiegegevens op die werkelijk gepubliceerd worden: wat de rapporten bevatten, de vertraging tussen de datum die ze beschrijven en de datum waarop ze verschijnen, waarom een grote positie niet hetzelfde is als een overvolle, en wat er wel en niet te concluderen valt uit de wetenschap dat iemand anders long zit.
Volatiliteit als grootheid
De grootheid waarvan de correlatie een verhouding is, en de afmeting die deze les corrigeert.
Les lezen →Wat een timeframe is
Het vensterprobleem in zijn algemene vorm, voordat correlatie het erger maakte.
Les lezen →Positiegrootte
De rekenkunde die één positie tegelijk afmeet en de tweede niet kan zien.
Les lezen →Uitsluitend educatief. Handelen brengt een aanzienlijk risico op verlies met zich mee. Dit is geen financieel advies. Resultaten uit het verleden bieden geen garantie voor de toekomst.
💬 Discussie (0 reacties)
Reacties laden…
Klaar om met Signal Pilot te handelen?
Breng je opleiding in de praktijk met professionele indicatoren en hulpmiddelen voor marktanalyse in realtime.
Terug naar Signal Pilot →