De drawdown waarop je moet rekenen

Waar een drawdown uit bestaat

Een drawdown heeft twee ouders. De ene is je voordeel, of het ontbreken daarvan. De andere is de spreiding van je trade-uitkomsten, en die bestaat of het voordeel er nu is of niet. Elke trader in een gat schrijft hem aan de eerste toe. De rekensom hieronder zegt dat de tweede bijna al het werk doet, en ze zegt het met een overlap die je kunt narekenen in plaats van met een argument dat je moet aannemen.

Hier is de proefbank, volledig, want alles op deze pagina komt eruit. De uitkomst van een trade wordt getrokken uit een normale verdeling met een standaardafwijking van één R en een gemiddelde van d, het voordeel, in dezelfde eenheden. De ergste drawdown van een reeks is de grootste val van een lopende top naar een later punt van de lopende stand, waarbij die top bij nul begint, zodat een reeks die nooit boven zijn beginpunt komt toch een drawdown heeft. Elk getal hieronder is 20.000 onafhankelijke reeksen van 156 trades vanaf kiemgetal 20260903.

Eén R is op deze pagina één standaardafwijking van een trade, en dat is niet de R van les 18, waar een verliezer precies één R is en de spreiding van de uitkomsten er 1,49 van bedraagt. De omrekening is één deling en het loont die nu te doen, omdat ze een les die je al gelezen hebt in deze tabel zet. Het systeem van les 18 wint 45 procent van de keren op twee tegen één, dus het maakt 0,35R per trade bij een standaardafwijking van 1,4925R. Deel: zijn voordeel in de eenheden van deze pagina is 0,2345, en dat valt tussen de vierde en de vijfde regel hieronder.

De proefbank is bovendien te toetsen aan iets wat geen simulatie is. Zonder enig voordeel geeft continue tijd een gemiddelde ergste drawdown gelijk aan de wortel uit πT/2, wat over 156 trades 15,65R is. De simulatie geeft 14,53R terug, en het verschil is geen fout: een pad dat maar één keer per trade kijkt, mist de uitersten tussen twee blikken. Verfijn het naar 256 blikken per trade en het geeft 15,61R terug.

Werkelijk voordeel, R per trade	Gelukkigste tiende	Mediaan	Ongelukkigste tiende	Ongelukkigste honderdste
0,00, niets daar	7,56	13,26	23,33	33,95
0,05	6,35	10,65	18,59	27,81
0,10	5,51	8,82	14,96	22,57
0,20	4,29	6,52	10,49	15,71
0,30	3,50	5,17	8,03	11,66

Lees hem langs de kolommen en niet langs de rijen, want in de kolommen zit de les. Het gelukkigste tiende deel van de dode systemen komt tot 7,56R. Het gewone levende, op een tiende R, komt tot 8,82R. Die twee getallen staan in de verkeerde volgorde voor het verhaal dat iedereen over drawdowns vertelt, en hoe lang je ook naar je eigen kapitaalcurve staart, je zet ze niet terug, omdat de verdelingen waar ze uit komen over bijna hun hele lengte overlappen. Een diepte van acht R ligt ruim binnen het gewone bereik van allebei.

Maak van de diepte dus de enige vraag die het waard is haar te stellen. Als je D in het rood staat, hoeveel waarschijnlijker is dat onder een dood systeem dan onder een levend? Het is één overschrijdingstelling op elk van twee simulaties, gedeeld.

Zes R: bereikt door 97,0 procent van de dode systemen en door 84,6 procent van de levende, een verhouding van 1,15.

Acht R: 87,2 procent tegen 59,5 procent, een verhouding van 1,47.

Twaalf R: 58,5 procent tegen 22,6 procent, een verhouding van 2,59.

Twintig R: 18,2 procent tegen 2,3 procent, een verhouding van 7,78.

Een verhouding van 1,47 betekent dat acht R in het rood staan de kansen die je toch al op een dood systeem legde met 1,47 vermenigvuldigt, en met niet meer. Het is bewijs, zwak. Het is bij lange na niet genoeg om naar te handelen, en het is het sterkste wat een lezer heeft op het moment waarop hij gewoonlijk handelt. De diepte die werkelijk iets zou beslechten is twintig R, waar de verhouding eindelijk 7,78 haalt — en twintig R is een diepte die twee levende systemen op honderd halen en achttien dode op honderd, zodat erop wachten betekent dat de meeste van je werkelijk dode systemen hem ook nooit raken.

Bijna niemand die ooit een systeem heeft uitgezet, heeft die verhouding berekend op de diepte waarop hij het uitzette. Twee simulaties en twee overschrijdingstellingen, en één avond is genoeg voor allebei.

Het blad dat deze module sinds les 62 opbouwt, krijgt hier een zesde kolom, en dat is de diepte waarop je gaat stoppen, opgeschreven voordat je begint. Zet ernaast het aandeel levende systemen dat die diepte weggooit, uit de overschrijdingscijfers hierboven, want een stopregel zonder dat aandeel ernaast is een getal dat iemand heeft gekozen. Les 70 is waar het hele blad in één keer wordt ingelost.

De toets die de vraag wél beantwoordt

Diepte faalt als bewijs omdat diepte begrensd is en bewijs niet. Een drawdown kan maar zo diep worden voordat het geld op is, maar het aantal trades dat je hebt genomen blijft oplopen, en elk ervan draagt een beetje informatie over welk systeem je vasthoudt. Stop dus met het gat opmeten en begin de trades op te tellen.

Walds sequentiële toets houdt één lopend getal bij: de logaritme van hoeveel waarschijnlijker je trades zijn onder een levend systeem dan onder een dood. Na elke trade telt hij er een term bij op. Voor een uitkomst x, bij het toetsen van een gemiddelde van nul tegen een gemiddelde van d:

L → L + d x − d²/2

Er worden twee lijnen getrokken vóór de eerste trade. Verklaar het levend zodra L stijgt tot de logaritme van (1 − β) over α; verklaar het dood zodra L daalt tot de logaritme van β over (1 − α). Bij 5 procent kans op elk van beide fouten zijn dat +2,9444 en −2,9444, en de symmetrie volgt uit het gelijk kiezen van de twee foutkansen; een aanname is het niet.

Eén invulling, helemaal uitgeschreven. Bij een voordeel van een tiende R telt elke trade 0,10x − 0,005 bij L op. De trades van een levend systeem zijn gemiddeld +0,10, dus zijn gemiddelde stap is 0,10 maal 0,10 min 0,005, en dat is +0,005. Die van een dood zijn gemiddeld nul, dus zijn gemiddelde stap is −0,005. Elk loopt met dezelfde snelheid naar zijn eigen lijn, en elk heeft 2,9444 af te leggen. Deel: 2,9444 door 0,005 is 589 trades. Bij veertig trades per maand 14,7 maanden.

Voordeel waarop je toetst	Stap per trade, d²/2	Trades tot een uitspraak	Maanden bij veertig per maand
0,05	0,00125	2.356	58,9
0,10	0,00500	589	14,7
0,20	0,02000	148	3,7
0,30	0,04500	66	1,6

De aantallen trades zijn naar boven afgerond en de maanden delen de onafgeronde verwachting door veertig, en daarom leest de laatste regel 66 en 1,6 in plaats van 66 en 1,7.

Trek de twee lijnen nu daar waar een trader ze werkelijk kan zien, namelijk op de lopende stand in R. L is een rechte in die stand: na n trades is L gelijk aan 0,10 maal de stand, min 0,005n. Zet L op elk van de twee grenzen en los op, en de twee lijnen zijn de stand gelijk aan n maal d door twee, min en plus 2,9444 gedeeld door d.

Bij 156 trades, de horizon die les 65 vastlegde, komt de doodlijn daarmee op −21,6R en de levendlijn op +37,2R, terwijl een levend voordeel van een tiende R verwacht +15,6R te hebben gemaakt. Allebei zijn een tweede lezing waard. De toets verklaart een systeem pas dood als het 21,6R in het rood staat, wat tweeënhalf keer de mediane drawdown is die een levend systeem voortbrengt en dieper dan bij zijn ongelukkigste tiende. En hij verklaart het niet levend op +15,6R, wat precies is wat een levend systeem hoorde te leveren. Op het punt waar een echt voordeel exact heeft gedaan wat het beloofde, heeft deze toets er nog altijd niets over te zeggen.

Nog één lijn, en het is een identiteit en geen toeval. Bij 588,89 trades — de onafgeronde verwachting, 14,7 maanden ver — ligt de doodlijn precies op nul. De algebra is n maal d door twee tegenover 2,9444 door d, en bij n gelijk aan tweemaal 2,9444 gedeeld door d in het kwadraat zijn die twee grootheden hetzelfde getal, dus vallen ze tegen elkaar weg. Tot maand vijftien is een systeem dat je helemaal niets heeft opgeleverd nog niet gezakt.

Een drawdown meet je spreiding, niet je voordeel.

Walds grenzen zijn een benadering, en een benadering kun je narekenen in plaats van geloven. Geef de toets trades uit een werkelijk voordeel van een tiende R, 20.000 reeksen, kiemgetal 20260903: hij geeft 19.092 keer levend en 908 keer dood, een percentage vals-dood van 4,5 procent tegen de 5 procent waarvoor hij gebouwd is. Geef hem trades uit helemaal niets: 19.035 keer dood en 965 keer levend, 4,8 procent vals-levend. De mediane uitspraak komt bij 435 trades en de gemiddelde bij 545, allebei onder Walds 589, omdat de verwachting omhoog wordt getrokken door de minderheid van de reeksen die lang blijven dwalen.

Zet dat naast de formule voor een vaste steekproef uit les 19, die 7,85 gedeeld door het kwadraat van de verhouding tussen voordeel en ruis vroeg. Op een tiende R is dat 785 trades, en wat ze daarvoor kocht was vier kansen op vijf om een echt voordeel op te merken. Walds twee lijnen kopen negentien op twintig in beide richtingen en komen tot een uitspraak in mediaan 435. Deel: de sequentiële toets doet strikt beter werk op 55 procent van de steekproef, en de reden is dat hij stopt zodra het antwoord duidelijk is in plaats van te wachten op een datum die iemand vooraf heeft geprikt.

Trek dus vanavond allebei de lijnen op je eigen kapitaalcurve, vóór de drawdown, en stop met het lezen van de diepte.

Wat dit niet oplost

Dat trades onafhankelijk en normaal verdeeld zijn. Geen van beide klopt voor een echt logboek, en de twee fouten wijzen tegengesteld. De scheefheid vleit de tabel: laat de werkelijke uitkomsten van les 18 lopen, +2R en −1R bij 45 procent, en de mediane ergste drawdown over 200 trades is 9,00R, terwijl de normale proefbank bij hetzelfde gemiddelde en dezelfde standaardafwijking 9,68R geeft, een overschatting van 7,6 procent, omdat een verdeling met grote winnaars en kleine verliezers sneller uit gaten klimt dan een symmetrische. Het klonteren wijst de andere kant op en weegt vermoedelijk zwaarder: verliezen die samen aankomen graven dieper dan verliezen die verspreid aankomen, en daarvan modelleert deze pagina helemaal niets.

Dat de tweede decimaal iets betekent. Twee dingen zetten hem op losse schroeven, en ze stapelen op. Eén R is de standaardafwijking van je eigen trade-uitkomsten, geschat uit hetzelfde korte logboek waar je je zorgen over maakt, en op 156 waarnemingen is de standaardfout daarvan zo’n 5,7 procent; elke diepte in de eerste tabel schaalt ermee mee, dus de 8,82 is 8,82 plus of min een halve R nog voordat er iets anders is meegeteld. De simulatie legt er haar eigen wiebel bovenop: draai die mediaan onder vier andere kiemgetallen en hij komt uit op 8,84, 8,83, 8,75 en 8,84. Er staan twee decimalen omdat een tabel één opmaak voor elke cel nodig heeft.

Dat de toets de juiste hypothese toetst. Walds verhouding vergelijkt twee bepaalde gemiddelden, nul en een tiende R, en een echt systeem is meestal geen van beide. Geef hem trades uit een werkelijk voordeel van 0,05 — de helft van waarop hij toetst, en nog altijd een volstrekt echt voordeel — en hij splitst bijna precies in het midden: 49,91 procent noemt hij levend en 50,09 procent dood, bij een mediaan van 672 trades. Daar werkt de toets niet verkeerd. Die zaak is hem nooit voorgelegd, en wie hem op een tiende R laat draaien, heeft stilzwijgend ingestemd een gehalveerd voordeel als kop of munt te behandelen.

Dat wachten mogelijk is, en dit is de toegeving die het meest kost. Alles hierboven zegt dat het eerlijke antwoord 589 trades en 14,7 maanden vraagt, en dat de doodlijn op de horizon van 156 trades 21,6R in het rood ligt. Wie bij twee procent per trade 21,6R in het rood staat, is ongeveer een derde van de rekening kwijt, en de rekensom op deze pagina zegt hem door te gaan. Hoe, kan ze hem niet zeggen, en dat kan ze niet omdat of je het volhoudt een kwestie van positiegrootte en van geld is, niet van bewijs. In les 20 woont het echte antwoord op het probleem dat deze les vaststelt, en het enige wat deze pagina kan doen is zeggen dat diagnose en behandeling verschillende vakken zijn.

En die de tabel zelf ondergraaft: hij is geordend naar het werkelijke voordeel, en dat is de enige grootheid die je nooit hebt. Je eigen rij kun je niet opzoeken. Vooruit gelezen is de tabel onbruikbaar. Achteruit gelezen zegt hij alleen dat geen enkele diepte waarin je nu zou kunnen zitten ook maar één rij uitsluit. Dat is een magerder uitkomst dan vijf kolommen cijfers doen vermoeden, en het is de eerlijke versie van wat een drawdown je vertelt.

Blijft het geval dat deze pagina steeds opzij heeft geschoven, omdat het geen van beide hypothesen is die de toets vergelijkt. Les 68 neemt een voordeel dat niet sterft maar wegzakt. Geef de toets een tiende R die lineair naar nul dooft over precies de 589 trades die hij nodig heeft, en hij verklaart het systeem in 65,46 procent van de gevallen dood en in 34,53 procent levend, bij een mediaan van 627 trades — zodat tegen de tijd dat de uitspraak valt, hoe ze ook valt, datgene wat werd getoetst allang weg is.