指標とは何か

指標とは、すでに手元にある数値の関数である。その一文だけから四つの帰結が出てくる。まず情報を足せない。線から読み取れることは価格から読み取れたことだ。線はその価格から計算されたのだから。次に捨てる。しかも捨てた量は数えられる。下のシリーズの十バーのウィンドウを二つ取ると、平均の差は0.09ポイント、標準偏差の差は0.076しかない。だからその二つの数から作られるバンドもチャネルも、両方のウィンドウで同じ位置に来る。それでいて一方のウィンドウはどこへも行かず、もう一方はトレンドしている。効率比は0.053と0.536だ。三つめに、遅れる量は当て推量ではなく計算できる。遅れとは重みベクトルの一次モーメントだからだ。十期間の単純平均で4.50バー、十期間の指数平均でも4.50バーであり、しかも除去するノイズの量もぴったり同じである。四つめは次のレッスンの主題だ。描いているバーより後のバーを使う指標は、すでに描いたものを描き直す。下のシリーズでは、中心化した五バー平均が、条件を満たす56本すべてについて、そのバーが引けた時点でまだ動いている。動く幅は最大0.99ポイント、バーからバーへの典型的な値動き1.20に対してである。

前提条件: レッスン36。これは、この講座で最初の統計量をテープから直接計算したものであり、しかも自分のウィンドウの中でバーの順序に気づく数少ない統計量の一つでもある。次にレッスン38。これは、バーがすでにテープに適用された規則であることを確かめた。したがって指標とは、規則に適用された規則である。そしてレッスン45。その実効カウントが、一つのシリーズ上の三つの指標が実際には何読み分なのかに決着をつける。

平均を速くする代価

重みベクトルから出る二つの数は、フィルター設計を、それが実際にそうである制約付き問題へと変える。ウィンドウを十バーに固定する。重みの合計が一になることを要求し、フィルターが水準を膨らませも縮めもしないようにする。そのうえで残る唯一の問いを立てる。平均の遅れを与えたとき、フィルターが残せるノイズの最小はいくつか。

この二つの制約のもとで重みの二乗和を最小化するのは、きれいな答えの出る短い代数だ。最適な重みは遅延に対して線形に変わる——各重みは、ある定数に、それが何バー前にあるかの定数倍を足したものになる。つまり、どの遅れにおいても効率的なフィルターは直線状のものである。

人が実際に使う遅れで評価してみよう。4.50バーでは達成可能な二乗和の最小が0.100であり、これはごく普通の十バー平均がまさに出す値だ。単純平均は、より優れた設計が改良していく粗い第一案などではない。自分自身の遅れに対する最適な線形フィルターであり、それより遅くならずに勝てるものはない。3.00バーでは最小が0.127で、これは線形加重平均がまさに出す値である。最もよく使われる二つの平滑器は、境界の近くではなく境界の上に載っている。

では、その境界に沿って進みながら速さの値段を見よう。4.50バーから下げていくと、二乗和の最小は4.00で0.103、3.50で0.112、3.00で0.127となる。最初の半バーの速さは3%多いノイズの代価がかかる。三つめの半バーは13%多くかかる。速く行くほど交換レートは悪くなる。これはあらゆる制約付き最適化の形であり、この分野のどこでも速さが無料でない理由でもある。

そして壁が来る。境界をさらに下へたどっていくと、最も古いバーの重みは縮んでいき、遅れ2.667バーでゼロに達する。それより下では、効率的なフィルターはどれかのバーに負の重みを与えなければならない。低遅延あるいはゼロ遅延をうたう平滑器がやっているのはこれであり、名前が何であろうと変わらない。前へ傾くために、和から古いバーを引いているのだ。その帰結は隠れてもいないし、好みの問題でもない。負の重みを持つフィルターは、ある周波数帯で抑えるどころか増幅する。チャート上ではそれが、速い値動きのあとに見える行きすぎであり、線が価格より遠くまで行ってしまう現象である。

だから、どんな平滑器に対しても問うべきは、速いかどうかではない。この境界に対してどこに位置するのか、そしてその速さを負の重みで買ったのか、である。どちらも重みの一覧だけから答えが出る。表計算でできる算術であり、どちらも過去のバーを一本も必要としない。

これで手元に残るもの

ここまではずっと引き算だった。だから何が残るのかを書き留めておく価値がある。それは無ではないし、具体的でもあるからだ。

指標とは要約であり、要約が場所を得るのは、乏しい資源がデータではなく注意力であるときだ。六十個の数を一つに減らすのは本物の役務である。ただし、どの六十でどの一つなのかを言えるならば。

重みの一覧が、平滑器の仕様のすべてである。遅れと生き残るノイズはそこから厳密に出るし、死角も出る。つまり、自分のウィンドウのどんな並べ替えをその代物が見られないか、である。三つの数、backtestなし、議論なし。

そして正直な使い方は、予測ではなく比較だ。指標は市場が次に何をするかを教えられない。市場がすでに公表していないものは何も含んでいないからだ。教えられるのは、同じ規則のもとで、あなた自身のシリーズにおいて、この区間が他の区間とどう比べられるかである。それは本物の言明であり、指標に許された唯一の種類でもある。

これで片づかないこと

指標は何も足していない、ということ。すでに手元にある価格から計算されているという厳密な意味で、指標は情報を足さない。だが他に三つのものは足している。圧縮を足す。乏しい資源が注意力であるとき、それには支払う価値がある。共有の語彙を足す。だから誰もが見ている水準は意味を持ちうる。そして入力になかった見かけの構造を足す。これは機能ではなく故障の形だ。自己相関がまったくないシリーズの移動平均が、一バーで0.9の自己相関を持って出てくる。スルツキーは1937年に、無作為な原因を足し合わせれば説得力のある循環が生じることを示した。この三つを分けて考えれば、最初の主張は厳密なままである。

遅れの数値が個々の反転を言い当てている、ということ。それらは重みベクトルの一次モーメントであり、あらゆる入力の形にわたる平均だ。特定の転換点は一つの形にすぎない。このモジュールのシリーズでは、単純平均と指数平均は一次モーメントが同一なのに、安値の8本後と7本後に上へ転じる。平均が一致するところでも重みの形が違うからだ。どちらの言明も正しく、どちらも他方の代わりにはならない。

0.100が、この系列のノイズのうち十本平均が取り除く割合だということ。重みの二乗和がノイズ利得になるのは、入力の誤差が互いに独立なときだけだ。このレッスンはそれを一度述べたきりで、あとはずっと寄りかかっていた。レッスン44はこの系列のラグ1の自己相関をマイナス0.66と測っている。この系列自身の自己相関で二次形式をきちんと計算すると、単純平均は0.100ではなく0.0395、線形加重は0.127ではなく0.0512になる。順序は生き残り、交換レートも生き残る。速いほうのフィルターが背負う余分なノイズは27パーセントではなく29パーセントだ。水準は生き残らない。この系列では二倍半ずれており、しかもフィルターに都合のよい向きにずれている。これほど強く反転するテープでは、平滑化は重みの一覧が予告するよりはるかに多くを取り除き、トレンドのあるテープでははるかに少ししか取り除かない。重みベクトルが厳密に定めるのは、二つのフィルターの比較である。そのどちらかが実際にどれだけノイズを取り除くかは、入力についての事実だ。

この境界がどのフィルターを使うかを決めてくれる、ということ。境界が決めるのは、ウィンドウを固定し重みを線形にしたときの、遅れとノイズの交換レートだけだ。どの遅れが欲しいかについては何も言わない。それはその数を何に使うつもりか、どれだけ遅れることを許せるかに完全に依存する。そして加重和でない指標については何一つ言わない——最大値、比率、条件、リセットが入っているものはこの算術の外にある。ただし上の順序検査は、それらすべてに依然として通用する。

検査した三つの指標が一族のすべてだ、ということ。それは一つのシリーズ上の一つのウィンドウ長における三つの式にすぎず、だからこそ実効カウント1.12は定数ではなく例示なのだ。構造的なのはその背後にある理由のほうである。同じ十個の数の関数どうしが互いに独立でありえない以上、残されていた唯一の問いは、たまたまその式がどれだけ冗長性を残したかだけだった。ウィンドウを変えるか、そのうち一つに他が見ていないものを与えれば、カウントは動く。

この六十個の数が誰かの価格シリーズだ、ということ。これはモジュール自身の六十本の終値であり、上のどの数字も信じるのではなく計算し直せるようにここへ運んできたものだ。このシリーズには、時間を測れるほどきれいな転換点が一つある。だから反転までの時間は平均としてではなく、それぞれ一つの観測として報告してある。算術は移せるが、数値は移せない。

練習問題

1. いちばんよく使う指標の死角を見つける。その式を書き出し、任意の十バーを取って、同じ十バーを別の順序で指標に与える——まず逆順、次に並べ替えたものだ。変わらない出力はどれも、指標に見えていない順序の一部であり、その順序はあなたが指標を当てる前から価格の中にあった。どちらでも何も変わらないなら、見ているのはウィンドウの対称関数であり、方向については何一つ知らない代物だ。
2. 重みを取り出し、それから二つの数を計算する。どの平滑器にも、一本のバーを除いてどこでもゼロのシリーズを与えてみる。出てくるものが重みの一覧であり、その順序である。文書に何と書いてあろうと関係ない。次に、重みにそれぞれの遅延を掛けた和を計算する。これが遅れだ。そして重みの二乗和を計算する。これが生き残る入力ノイズの割合だ。両方を、同じ遅れの単純平均と比べる。二つめの数で平滑器のほうが劣るなら、あなたは何かの代価を払っている。
3. チャート上のすべての線に書き換え検査をかける。各指標が最後に引けたバーで何を示しているかを控えておく。三本待って、その同じバーをもう一度見る。値が動いていたものはどれも、起きなかった履歴を描いている。そしてそれに対して回したbacktestはどれも、当時は入手できなかったシグナルのbacktestだ。指標一つにつき一分で済むし、このレッスンで算術をまったく必要としない唯一の検査でもある。

出典。 Thomas M. Cover と Joy A. Thomas, Elements of Information Theory （Wiley、1991年）は、データ処理不等式について。これは、データに関数を適用してもそのデータが担う情報を増やせない、という主張の厳密な形である。 Eugen Slutzky「The Summation of Random Causes as the Source of Cyclic Processes」（Econometrica、1937年）は、独立なノイズを平滑化すると、循環と取り違えるほど説得力のある波が製造されることの実証について。 Richard W. Hamming, Digital Filters （Prentice-Hall、1977年）は、どんな平滑器も重みベクトルとして見る見方について、そして遅れとノイズ利得を、メニューに載った名前ではなくそのベクトルの性質として扱うことについて。 Abraham Savitzky と Marcel J. E. Golay「Smoothing and Differentiation of Data by Simplified Least Squares Procedures」（Analytical Chemistry、1964年）は、最小二乗による平滑化フィルターについて、そして負の重みがどこから来るのかについて。 Frederick R. Macaulay, The Smoothing of Time Series （National Bureau of Economic Research、1931年）は、移動平均が経済シリーズに何をするかについての最初の体系的な記述について。誰もそれを売り物にしていなかった時代に書かれたものである。

指標とは、すでに手元にある数値に対する算術である。この一文だけで、指標に何ができるのか、何を捨てなければならないのか、どれだけ遅れるのかが決まる。そしてその三つはどれも、backtestを一度も回さずに式から計算できる。四つめの問いは、このレッスンが探究ではなく検査だけをした問いだ。線を担っているバーが引けたあとも、線はまだ動いているのか。レッスン49はそれを丸ごと主題にする。自分の履歴を書き換える指標は、実時間であなたを惑わせるよりも悪いことをするからだ。決して入手できなかったシグナルの記録を作り出すのであり、その記録の上で測るものはどれも——勝率も、期待値も、drawdownも——誰にも売買できなかった戦略の測定にすぎない。

教育目的のみ。 トレードには重大な損失リスクが伴います。金融助言ではありません。過去の実績は将来の結果を保証するものではありません。