相関

全体を通した相関が0.45である二本の系列が、このモジュール自身の六十本のバーの十本ウィンドウでは-0.41から0.94まで、二十本ウィンドウでは-0.03から0.89までのどこにでも読める。これはこの尺度が取りうる幅のほとんどだ。相関とは一つの割り算であり、二本のリターン系列の共分散をそれぞれの標準偏差の積で割ったもので、出てくる数字はその組の性質ではない。三つの厳密な結果がその雑音を生き延び、その三つこそ、そもそもこの割り算をする理由である。相関と感応度は同じ事実を二度見たものだ。回帰の傾きは相関に二つの標準偏差の比を掛けたものだからで — だからヘッジは符号が正しくて大きさが間違っていることがありうる。ヘッジが分散から取り去るのは相関そのものではなく相関の二乗であり、だから0.7は元の標準偏差の71パーセントを残したままにする。そして平均のペア相関が0.3である二十のポジションからなる帳簿は、独立な三つ分のリスクを負う。0.8なら1.2つ分だ。ポジションの大きさは一つも変わっていない。

前提条件: レッスン44。これは相関がその比になっている量を計算した。次にレッスン38。そのウィンドウの問題がここで三度目に顔を出す。そしてレッスン20。その算術はポジションを一つずつ測るので、二つになった途端このレッスンを必要とする。

それが帳簿に何をするか

ここまではすべて一つの計算の準備であり、その計算こそ相関が教程に載っている理由だ。同じボラティリティの銘柄に同じ大きさのポジションを二つ持てば、その組の標準偏差は二掛ける一足す相関の平方根になる。単位は一ポジションだ。相関がゼロならそれは2ではなく1.41である。同じ大きさの独立な賭けを二つ持ってもリスクは二倍に満たず、その差こそが分散投資のすべてだ。0.3なら1.61。0.8なら1.90。1.0ならちょうど2で、それはティッカーが二つ付いた一つのポジションである。

これを任意の大きさの等ウェイトの帳簿に広げても、算術は厳密なままだ。同じボラティリティの銘柄からなり平均のペア相関を持つ帳簿は、それより少ない数の独立なポジション分のリスクを負う。その数は、銘柄数を、一足す銘柄数引く一に平均相関を掛けたもので割ったものだ。それは平均のペア相関だけに依存し、構造の他のいかなる点にも依存しない。これは知っておく価値がある。相関した帳簿は、どの銘柄を入れるかを入れ替えても直らないという意味だからだ。

平均のペア相関	2銘柄	5銘柄	20銘柄	50銘柄
0.0	2.00	5.00	20.00	50.00
0.1	1.82	3.57	6.90	8.47
0.3	1.54	2.27	2.99	3.18
0.5	1.33	1.67	1.90	1.96
0.8	1.11	1.19	1.23	1.24

表の数字はどれも、帳簿が実際に負っている独立なポジションの数だ。0.3の行を横に読んでほしい。五銘柄から五十銘柄へ行くこと、つまり運用の手間を十倍にすることが、独立な賭けの数を2.27から3.18にする。20銘柄の列を上から下へ読めば、崩れ方はもっと速い。相関ゼロでの二十から、0.1で6.90、0.3で2.99だ。最初の十分の一の相関が、帳簿の分散投資の半分以上を奪う。これは危機についての警告ではない。0.1は静かな市場だ。

この床は厳密なので名を与える価値がある。銘柄数が限りなく増えるにつれ、帳簿の標準偏差は平均相関の平方根に一銘柄の標準偏差を掛けたものに近づく。0.3ならその床は0.55であり、その平均ペア相関を持つ帳簿を、そのうち一銘柄のボラティリティの55パーセントより下へ連れていける銘柄数は存在しない。0.8なら床は0.89だ。数が上がらなくなった点より先で銘柄を足すのは、何も買わない労働である。

ここに危機を入れてみよう。平均相関0.3の二十銘柄の帳簿は、2.99の独立な賭けと、一銘柄の0.58の標準偏差を負っている。相関を0.75へ動かせば — 上の算術が共通ショックの三倍化に帰する動きだ — 同じ帳簿は1.31の独立な賭けと0.87の標準偏差を負う。リスクは51パーセント上がり、誰も売買していない。前と同じリスクに戻すには、どのポジションも34パーセント下げなければならない。そしてこの削減こそ、レッスン44が開いたまま残した問いへの答えだ。ボラティリティによる大きさ決めが代わりにやってはくれない削減だからである。レッスン44の算術は各ポジションをそれ自身のボラティリティに対して一つずつ測り、それらが同じポジションになり始めたことに対しては盲目だ。

これで片づかないこと

測った相関が相関だということ。それは推定であり、しかも雑音の多い推定だ。観測された0.50のまわりでは、95パーセント区間は20の観測からなら0.07から0.77まで、60の観測からなら0.28から0.67まで、252の観測からなる丸一年分なら0.40から0.59までである。どのプラットフォームのどのローリング相関も、この種の数字だ。その変化を市場の変化と受け取る前に、二つの読みの区間が重なっていないかを確かめてほしい。人が使うウィンドウの長さでは、ほとんどいつも重なっているからだ。

平均のペア相関が帳簿について知るべきすべてだということ。分散についてはそのとおりで、しかも厳密にそうだからこそ、上の数え方は他の何にも依存しない。それ以外については、そうではない。同じ二十銘柄と同じ平均0.3をとりながら、十銘柄ずつ二つのブロックに並べ、ブロック内は0.75、ブロック間は-0.105としてみる。これは正当な相関行列であり、平均は桁までぴたりと0.3になる。帳簿はなお2.99の独立な賭けと0.58の標準偏差を示す。どちらも平均だけに依るからだ。だが二十銘柄のうち十は、互いのあいだに1.29の独立な賭けしか持たない一つのブロックであり、つまり帳簿の半分は一つのポジションである。上の表のどの数字もそれを見ることはできない。相関の高い帳簿は銘柄を並べ替えても直らない、という上の一文は、分散については真で、それより広い何についても真ではない。数え方は全体だけでなく、自分のブロックにも当てはめよ。

相関が二つのものの関係の強さを測っているということ。それが測るのは直線がどれだけよく当てはまるかであって、それ以外の何ものでもない。二本の系列が互いを完全に決めていながらゼロを示すことがあり、それは関係が転換点のまわりで対称なときにいつでも起きる — どちらの向きの大きな動きでも損をするポジションが、ちょうどその形をしている。このページのすべては、あなたが持っている範囲で関係がおおむね直線的な銘柄に当てはまる。オプションはその中に入らない。

この二本の系列の数字が誰にでも当てはまるということ。二本目は、算術を検算できるようにするためにこそ、上に印刷した規則で一本目から作られた。そしてモジュールの六十本のバーは、そもそも小さなチャートの上で読めるように作られている。ウィンドウの表の形は移る — 短いウィンドウは本物のデータでも本当に荒々しい相関を出すし、理由も同じだ。具体的な数字は移らないし、0.45も移らない。

帳簿の算術が本物の帳簿を覆っているということ。この実効的な数は、どのポジションも同じ大きさで、どの銘柄も同じボラティリティだと想定している。一つのポジションが他より三倍大きい帳簿は、ティッカーをいくつ数えたところで示されるより、その一つのポジションであることに近い。手当ては、実際に危険にさらしている額で重み付けしたポジションで同じ計算をやり直すことだ。平均相関についての結果は、重みが等しいあいだは厳密であり、等しくなくなった瞬間に厳密でなくなる。

相関がヘッジの拠り所にできるほど安定しているということ。ヘッジ比率は、相関に二つのボラティリティの比を掛けたものだ。三つの推定がそれぞれの誤差を抱えたまま一つの数字にまとめられ、その数字が大きさを決める。しかもその量は、ヘッジに働けと求めるまさにその条件で最も大きく動く。静かな市場の相関で測ったヘッジは、それが必要になったときには起きていない市場に合わせて測られている。

練習問題

1. 自分の帳簿の独立な賭けを数えよ。持っているポジションを取り、各ペアの相関を直近の60本のバーで計算し、それらを平均し、その平均を、銘柄数を一足す銘柄数引く一に平均を掛けたもので割った式に入れる。答えを画面のティッカーの数の横に書く。十五のものを持っていて算術が二つ半と言うなら、あなたはいま自分の分散投資の値打ちを知ったのであり、その数字は他のどんな方法でも手に入らなかった。
2. どのヘッジも物語ではなく二つの数字で判断せよ。何か別のものを打ち消すはずだからという理由で持っているものすべてについて、二つのあいだの相関を計算し、標準偏差の比を計算し、掛け合わせる。その積が、ヘッジされる側の一単位あたり、ヘッジが持つべき大きさだ。実際に持っている大きさと比べる。それから相関を二乗し、完璧に大きさを合わせたヘッジですら分散をどれだけしか取り去らないかを読む。0.7なら答えは半分未満である。
3. 自分の履歴を二つに割って補正を当てはめよ。気にしている組を取り、一本目の銘柄のボラティリティによってその履歴を静かなほうの半分と荒いほうの半分に割り、それぞれで別々に相関を計算する。それから二つの分散の比を取り、上の補正を荒いほうの半分の数字に当てはめる。その調整を生き延びた差こそ、荒れた区間で測ったことの産物ではない部分であり、たいていは生の比較が示していたよりかなり小さい。

出典。 Francis Galton「Co-relations and their Measurement, chiefly from Anthropometric Data」(Proceedings of the Royal Society of London、1888)。係数そのものについて。市場ではなく手足の長さを比べるために導入され、当時から今日と寸分たがわぬやり方で定義されていた。 Ronald A. Fisher「Frequency Distribution of the Values of the Correlation Coefficient in Samples from an Indefinitely Large Population」(Biometrika、1915)。標本分布と、上で引いた区間を生む変換について。 Harry Markowitz「Portfolio Selection」(The Journal of Finance、1952)。ペアの相関を帳簿についての言明に変えるポートフォリオ分散の恒等式について。これのどれかが売買の教程に載っている理由はそれしかない。 Kristin J. Forbes と Roberto Rigobon「No Contagion, Only Interdependence: Measuring Stock Market Comovements」(The Journal of Finance、2002)。条件づけによる偏りと、上で当てはめた補正について。 François Longin と Bruno Solnik「Extreme Correlation of International Equity Markets」(The Journal of Finance、2001)。その議論のもう一方の側について。相関は下げ相場ではボラティリティ調整が説明する以上に上がり、上げ相場では同じようには上がらない。

上の第三の仕組みで相関が上がったのは、一つのバランスシートがすべてを抱えていたからだ。それは、このモジュールが何一つ測ってこなかった量を指している。レッスン38から45までのどの数字も価格から計算された。どれ一つとして、あなたの反対側のポジションを誰が持っているのか、それがどれだけあるのか、そのうちどれだけが借りたものなのかを言っていない。レッスン46は、実際に公表されているポジションのデータを取り上げる。報告に何が入っているか、報告が記述している日付と、それが世に出る日付とのあいだの遅れ、なぜ大きなポジションが混み合ったポジションと同じではないのか、そして誰かが買い持ちだと知ることから何が結論でき何が結論できないのか。

教育目的のみ。 トレードには重大な損失リスクが伴います。金融助言ではありません。過去の実績は将来の結果を保証するものではありません。