量としてのボラティリティ

同じ六十本のバーが、一バーあたりの標準偏差として0.32パーセントと3.43パーセントの両方を抱えている。この二つの読みのあいだにあるものは市場の変化ではない。何本のバーで測ったかの変化だ。 ボラティリティは感じ取る気分ではなく、計算して出す数字であり、その計算は四つの手順でできている。終値をリターンに変え、標準偏差をとり、その期間が一年に何回入るかを数え、その数の平方根を掛ける。252の平方根は15.87であり、この一行こそが、VIXの値を十六で割るという規則の起源のすべてだ。しかし一つの言葉が三つの異なる数字を覆い隠している。全体ではこの数字は1.50パーセントであり、二十本ウィンドウの中央値のほぼ二倍だ。一本を二十本へ二十の平方根で引き伸ばすと、この系列の実際の二十本の振れ幅を半分以上も過大に見積もることになる。バーどうしが互いにもたれ合っているからだ。そしてオプションチェーンが提示する数字は測定ではなく価格である。レッスン43が値付けした6.00のストラドルが提示している標準偏差は7.52パーセントであって6ではない。ストラドルの値段は期待される絶対的な変動幅であり、それは標準偏差の0.798にあたるからだ。三つの厄介ごとをすべて無傷で生き延びる算術が一つだけあり、それこそ持っておく価値のあるものだ。株数はボラティリティに正確に反比例する。

前提条件: レッスン38。これは、測定はそれを行ったウィンドウに属することを、同じ系列に15のスイングを数え、より広く読んで1を数えることで定めた。次にレッスン43。このレッスンはその6.00のストラドルをもう一枚深くまで分解する。そしてレッスン20。そのポジションサイズの算術こそ、ボラティリティの数字が最後に養うものだ。

ボラティリティの数字が買ってくれるもの

100,000ドルの口座が一取引あたり0.5パーセント、つまり500ドルをリスクにさらす。株は100ドル。ストップは日次の標準偏差二つ分だけ離して置き、その標準偏差は上の換算で指数の値から導く。株数はリスク予算をストップまでの距離で割ったものであり、計算はそれで全部だ。

VIXの値	含意される日次変動	ストップまでの距離	株数	ポジション評価額	最上段に対する割合
12	0.76%	1.51ドル	331	33,100ドル	100%
16	1.01%	2.02ドル	248	24,800ドル	75%
20	1.26%	2.52ドル	198	19,800ドル	60%
25	1.57%	3.15ドル	159	15,900ドル	48%
30	1.89%	3.78ドル	132	13,200ドル	40%
40	2.52%	5.04ドル	99	9,900ドル	30%

最後の列は推定でも目安でもない。ちょうど12を値で割ったものだ。株数は500ドルを隣のストップ幅で割ったものであり、それは同じ比を、印字された331ではなく丸めない330.72の上で運んだものになる。差が顔を出すのは一度だけだ。値が20のとき、算術は198株を与えるが、印字された最上段を比で伸ばせば199になる。株数がボラティリティに反比例するのは、ストップがボラティリティに比例し、ドル建てのリスクが固定されているからで、この連鎖のどこにも判断は入っていない。リスクにさらされる額はどの行でも500ドルだ。変わるのはその500ドルがどれだけの株を買えるかであり、誰が何を決めるでもなく、表を下るあいだに3.3倍も変わる。

この数字を使う前に二つの但し書きがある。指数は一つの特定の市場についての気配値だから、それを使って別のものでのポジションの大きさを決めることは、その二つが一緒に動くと想定することであり、それは数字の付いた想定であってレッスン45がそれを測る。そしてレッスン40は、ストップは書かれたところで約定しないと定めた — あのレッスン自身のギャップの系列では、約束された損失の一・五倍のところで中央値として約定した。この表の500ドルは書かれたリスクであって支払われたリスクではなく、両者の差はまさにこのレッスンが計算している量とともに広がる。

買ってくれないもの

帯ごとにポジションサイズの乗数を渡してくるボラティリティの表 — ここではフルサイズ、そこでは半分、その上では四分の一 — は、別々の二つの仕事をしていながら一つしか認めていない。一つめの仕事は上の算術であり、表はもうそれをやってしまった。通常の状態の値17.5と、高まった状態の値22.5をとってみよう。ストップから大きさを決めるだけで、誰も判断を下さないまま株数は通常の77.8パーセントになる。強い恐怖の値27.5では63.6パーセントまで下がる。これらの削減は無料だ。ストップから含意されており、それについて正しくても何の費用もかからないという意味で。

同じ値のところで50パーセントと25パーセントを求める帯の表は、その上にもう一つ別のことを求めている。ボラティリティがすでにやったことを超えて、さらに36パーセント、次いで61パーセントの削減だ。この上積みはサイズ決めではない。市場が怯えているときには優位そのものが崩れるという主張、つまりあなたのセットアップが単により広い場所を必要とするのではなく、より悪く働くのだという主張である。

この主張は十分に真でありうるし、多くのトレーダーにとっては真だ。しかしそれは別の種類の主張であり、確立するのに別の量がかかる。1.0パーセントのボラティリティのレジームを1.5パーセントのそれと見分けるには、レッスン41が使ったのと同じ信頼度と検出力のもとでそれぞれの条件で50本のバーがかかる。勝率の五ポイントの差を見分けるには、それぞれの条件で1,560回の取引がかかる。優位についての主張は、ボラティリティについての主張のおよそ31倍の証拠を必要とし、帯の表を引き合いに出す人でそれを集めた者はほとんどいない。だから順序が大事だ。常にボラティリティから大きさを決めよ。それは算術であり、確かめるのはほとんど無料だからだ。優位の劣化を理由にさらに削るのは、自分自身の取引を数え終えたあとにせよ。その勘定にどれだけかかるかはレッスン41が教えてくれる。

これで片づかないこと

これらの数字のどれかが系列を描いているということ。限られた本数の観測から計算した標準偏差は、それ自体が広がりを持つ推定だ。しかもその広がりは広い。20本のバーからなら、95パーセント区間はあなたが計算した数字の0.76倍から1.46倍まで及ぶ。60本からなら0.85倍から1.22倍、252からなる丸一年分でも0.92倍から1.10倍だ。どのレジームの表のどの境界も — 20、25、30 — 一か月分のデータの雑音の中にゆうゆうと収まってしまう。しかもこれは、このレッスンが表を一つ費やした別の問題、すなわち測っているあいだにその量自体が動いていたという問題より前の話だ。

分散比が二十本のところで何かを決着させたということ。六十本の終値からは、一本のリターンが五十九個、重なり合う二十本のリターンが四十個できるが、そのうち独立なものは三個に満たない。下に挙げたローとマッキンレーの論文にある標本理論は、その代価を正直に見積もっている。二十本の比の標準誤差は0.65であり、上に印字された0.40は法則が予測する1から0.9標準誤差しか離れていない。これは距離のうちに入らない。二本では標準誤差は0.13で、同じ0.34は五標準誤差の外にある。したがってこの系列の反転性は二本では立証されており、二十本では示唆されているにすぎない。つまり1.58という過大評価は、このページの数字のうち読者がもっとも受け取る資格のないものだ。短い期間での検定は、手元にあるどんな履歴でも走らせてよい。長い期間での検定は、はるかに多くの履歴があるときにだけ走らせること。

分布が正規だということ。0.798も0.674も32パーセントも、正規分布の性質であって他の何ものの性質でもない。リターンは正規ではない。式が想定するより太い裾を持つので、中心から遠い出来事はこれらの数字が示すよりも頻繁に起きる。中心の近くでは近似はよく、上の結論は安全だ。裾の向こう — ストップがギャップで飛び越えられる場所であり、売ったストラドルの勝敗が決まる場所だ — では近似は楽観的であり、しかも金を失う向きに楽観的である。

この系列の数字が誰にでも当てはまるということ。一バーあたり1.50パーセントの標準偏差を六十本のバーからなる一セッションへ、さらに一年へ引き伸ばすと、年率で184パーセントになる — 指数がこれまでに到達した最も極端な値のおよそ二倍だ。モジュールの六十本のバーは教材用の系列であり、小さなチャートの上で振れが見えるように作られていて、あなたが売買するどんなものよりもはるかに荒い。このページのどの比も、どの仕組みも移せる。水準はどれ一つとして移せない。

終値が手元にある最良のデータだということ。このレッスンが終値を使ったのは、終値なら誰でも持っているからだ。そして終値どうしの標準偏差は、バーの内側で起きたことをすべて捨ててしまう。各バーの高値と安値から組み立てた推定量は、同じデータから何倍もの情報を引き出す。つまり履歴のごく一部から使える数字が得られるということだ。モジュールは六十本すべてのバーに高値と安値を持っているのに、このレッスンはそれを使わなかった。例示としてではなく本気でボラティリティを推定するなら、そこが最初に加えるべき改良だ。

それを測ることがそれを予測することだということ。ボラティリティは市場の量のなかでは珍しく、実際に持続する — 静かな区間のあとには静かな区間が続き、先週から計算した数字は、方向についてのどんな測定も届かないやり方で来週について本当に何かを語る。そもそもこの練習に取り組む値打ちがあるのはそのためだ。しかし日をまたぐ持続は月をまたぐ持続ではないし、レジームの切り替わりこそ、上の表がこの系列に六十本のバーのあいだに三度やらせているのを捉えたものであり、チェーンはテープが届けると約束していない未来についての数字を提示している。測られたボラティリティが教えてくれるのは、直近の過去がどれだけ広かったかだ。明日についてはよい既定値であり、四半期についてはよくない既定値である。

練習問題

1. 自分の銘柄で三通りに計算せよ。60本の終値をとる。対数リターンの一バーあたりの標準偏差を、直近の20本、直近の40本、そして60本すべてについて計算し、三つの数字を並べて書き出す。上で挙げた20本の雑音区間が許すよりも大きく食い違うなら、あなたの銘柄は最初から最後まで一つのことをしていたのではなく、どんな単独の数字も教えてくれなかったことを一つ学んだことになる。表計算の四つの列であり、一度きり10分で済む。
2. それを株数に変え、実際に売買している量と比べよ。一バーあたりの数字を日次の標準偏差に換算し、その二つ分のところにストップを置き、いつものドル建てリスクをそのストップまでの距離で割って株数を読み取る。それを、これまで売買してきた大きさと比べてみる。両者が二倍を超えて食い違うなら、どちらかが間違っており、どちらなのかは答えの出る問いだ。入った根拠となる考えが正しいか間違っているかを示す機会を得るより前に、ストップが何回届いてしまうかを数えればよい。一標準偏差の内側にあるストップには、雑音がおよそ三分の一の割合で届く。
3. 頼る前に平方根を検定せよ。自分の系列で、2本、5本、20本の期間について分散比を計算する。ただし二十本のものには六十本の終値をはるかに超える履歴を持ち込むこと。その期間では、六十本の終値に独立な観測は三個も入っていないからだ。1を下回るなら、一本の数字を引き伸ばすことは長い期間のリスクを過大に見積もっており、ストップは必要より広く、あなたは可能なより小さく売買していることになる。1を上回るならそれは過小評価であり、そちらが危険な向きで、トレンドのある銘柄が生むほうの向きだ。これはほとんど誰もやらない検算であり、平方根の法則を使うことと、それを想定することとの違いそのものである。

出典。 Louis Bachelier「Théorie de la spéculation」(Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure、1900)。時間の平方根の法則そのものの起源であり、同じ数学が水中の花粉粒について発表される五年前に、価格のために導かれていた。 Michael Parkinson「The Extreme Value Method for Estimating the Variance of the Rate of Return」（The Journal of Business、1980)。値幅にもとづく推定量であり、ここで使った終値どうしの方法よりも同じバーから何倍も多くを引き出す。 Andrew W. Lo と A. Craig MacKinlay「Stock Market Prices Do Not Follow Random Walks: Evidence from a Simple Specification Test」(The Review of Financial Studies、1988)。分散比であり、上で行った検定の出どころであり、その標本としての振る舞いが練り上げられている場所だ。 Peter Carr と Liuren Wu「Variance Risk Premiums」(The Review of Financial Studies、2009)。チェーンが提示するものとテープが届けるものとのあいだの、測定された差について。そしてそれが値付けの誤りではなくリスクの価格だという議論について。

このページのどの数字も一つの銘柄に属している。ポジションが二つ開いた瞬間から、帳簿に実際どれだけのリスクがあるかを決めるのは二つめの量であり、それは二つのボラティリティの和ではない。レッスン45は相関を取り上げる。どう計算するか。なぜウィンドウが動くとその数字も動くのか — まさにこのレッスンの数字が動いたのと同じように。なぜよりによって、そうならないでほしい条件のもとで一へ向かって上がっていくのか。そして、それぞれ単独では非の打ちどころなく大きさを決めたポジションからなる帳簿に、それが何をするのか。

教育目的のみ。 トレードには重大な損失リスクが伴います。金融助言ではありません。過去の実績は将来の結果を保証するものではありません。