I pesi che puoi tenere

La lezione 72 ha prezzato un libro in cui ogni posizione era della stessa dimensione e ha lasciato a questa pagina la domanda di quanto vada in ciascuna. Ecco la risposta che dà la macchina standard, sulle quattro regole della lezione 71 e sugli stessi ventinove movimenti: 0,746, 0,078, meno 0,672 e 0,848. Taglia la deviazione standard del giorno del 9,72 per cento, che su quattro posizioni del due per cento ciascuna fa 0,71 punti percentuali del giorno. Ti chiede anche di vendere allo scoperto due terzi di una delle tue stesse regole e di portare 2,35 dollari di posizione per ogni dollaro sul conto. Vieta lo scoperto e la risposta diventa 0,711 e 0,289 con due regole a zero, il che conserva l’80 per cento del taglio, tiene un dollaro di posizione per dollaro di conto e batte la risposta senza vincoli sui tuoi stessi dati finché non ne hai sessanta giorni.

Prerequisiti: Lezione 72, per il libro a pesi uguali che questa pagina ripondera, lezione 71, per le quattro regole e le loro sei correlazioni, e la lezione 12, per il costo che cresce con quello che operi.

Che cosa contiene davvero l’obiettivo

La varianza minima è una riga. Prendi la matrice di covarianza delle cose che stai tenendo, invertila, moltiplicala per una colonna di uni e dividi per la somma perché i pesi facciano uno. È tutto il metodo, ha una forma chiusa, e qualunque foglio di calcolo la risolve su quattro regole in un minuto.

w = Σ⁻¹1 / (1′Σ⁻¹1)

Leggi che cosa c’è dentro e, più importante, che cosa non c’è. Non ci sono rendimenti attesi, ed è voluto: la lezione 67 aveva bisogno di 589 operazioni per stabilire se un decimo di un R fosse reale, quindi una stima di quanto guadagnerà ciascuna regola è il numero meno affidabile dell’edificio, e un obiettivo che ne ha bisogno se lo eredita. Non ci sono costi. Non c’è alcun vincolo. La formula restituirà un peso negativo senza commenti, e negativo vuol dire scoperto.

Gli ingressi sono le quattro regole scelte dalla lezione 71, una media a 2 barre contro una a 5, una a 3 contro una a 10, una a 5 contro una a 20 e una a 8 contro una a 30, sui ventinove movimenti su cui ogni regola della griglia della lezione 63 è definita. Le loro sei correlazioni sono quelle della lezione 71, da 0,6254 a 0,9648. Le loro deviazioni standard sono vicine fra loro: 0,6015, 0,7104, 0,7278 e 0,7082 nelle unità che le regole restituiscono.

Vale la pena mettere quattro ponderazioni una accanto all’altra. I pesi uguali sono quello che la lezione 72 ha assunto. La varianza inversa è quello che la maggior parte intende per parità di rischio quando ha fretta: pondera per uno diviso la varianza di ciascuna regola e ignora del tutto le correlazioni. Poi la risposta a varianza minima con lo scoperto vietato, e la stessa risposta senza nulla di vietato.

Ponderazione	Pesi	Posizione per dollaro	Deviazione standard del giorno	Taglio
Uguali	0.25, 0.25, 0.25, 0.25	1,000	0,62719	—
Varianza inversa	0.320, 0.230, 0.219, 0.231	1,000	0,61520	1,91 %
Varianza minima, senza scoperto	0.711, 0, 0, 0.289	1,000	0,57813	7,82 %
Varianza minima	0,746, 0,078, −0,672, 0,848	2,345	0,56624	9,72 %

Comincia dalla dimensione della discussione. L’intera distanza dalla prima riga all’ultima è 0,06095, contro un punto di partenza di 0,62719. Tutto quello che la costruzione di portafoglio ha da dire su questo libro, dalla regola più grossolana all’ottimo esatto calcolato con le risposte in mano, vale il 9,72 per cento della deviazione standard del giorno. Al due per cento per posizione e alla correlazione media di 0,7695 che la lezione 71 dà per queste quattro, i pesi uguali fanno il giorno al 7,276 per cento e l’ottimo lo fa al 6,568 per cento. L’intero premio è sette decimi di un punto percentuale al giorno. Vale la pena prenderlo e non vale un gran daffare, e sapere quale delle due cose sia prima di cominciare è gran parte di ciò a cui serve questa pagina.

Leggi poi la seconda riga, perché è quella che la gente fa girare davvero. La varianza inversa raccoglie l’1,91 per cento del 9,72 disponibile, cioè un quinto. Fallisce perché le quattro deviazioni standard sono quasi uguali, quindi ponderare per esse non muove quasi nulla, e perché l’intero premio su questo libro vive nelle correlazioni. Una ponderazione che ignora le correlazioni su un insieme di regole le cui correlazioni vanno da 0,63 a 0,96 sta risolvendo un problema che questo libro non ha.

E poi le due che contano. La risposta senza vincoli toglie al giorno altri 1,90 punti percentuali, portando il taglio dal 7,82 per cento al 9,72, e compra questo con una gamba corta di 0,672 e una posizione lorda di 2,345 dollari per ogni dollaro di conto. Il vincolo costa un quinto del premio e toglie tutta la leva.

Quasi nessuno le ha calcolate entrambe. Il numero senza vincoli è quello che ogni manuale e ogni libreria di codice restituisce per impostazione predefinita, quello vincolato sta quattro righe più in là, e la differenza fra loro è la differenza fra un portafoglio che puoi descrivere e un portafoglio che puoi tenere.

La scheda del modulo 9 guadagna una terza colonna, ed è il peso che questa pagina dà a ciascuna regola, scritto due volte: una come lo restituisce l’ottimizzatore e una con lo scoperto vietato. La lezione 75 è dove l’intera scheda viene spesa in una volta.

Quello che ventinove giorni possono pagare

I pesi qui sopra sono usciti da dieci numeri — quattro varianze e sei covarianze — stimati su ventinove osservazioni. Non sono ovviamente troppo poche e non sono ovviamente abbastanza, quindi misuralo invece di discuterne.

Tratta la covarianza misurata sopra come se fosse la verità. Estrai T osservazioni da essa, adatta l’ottimizzatore all’estrazione come se fosse tutto quello che hai, e poi valuta i pesi che ne escono contro la verità da cui sei partito. La distanza fra il punteggio e il vero ottimo è l’errore di stima, ed è l’unica cosa che questo esperimento contiene.

Osservazioni	Deviazione standard che i pesi adattati consegnano davvero	Quota del premio che arriva	Batte la risposta senza scoperto
29	0,59971	45,1 %	21,7 %
60	0,58154	74,9 %	50,1 %
125	0,57312	88,7 %	82,9 %
250	0,56969	94,3 %	—
1.000	0,56708	98,6 %	—

La prima riga è il verdetto onesto sui pesi con cui questa pagina ha aperto. Adattato su ventinove osservazioni, l’ottimizzatore senza vincoli consegna 0,59971 anziché lo 0,56624 che stampa, cioè il 45,1 per cento del premio anziché tutto. Batte comunque i pesi uguali, e comodamente: su questo libro l’ottimizzatore non è un errore, e la credenza diffusa che dividere per N vinca sempre non è quello che dice l’aritmetica.

La quarta colonna è il risultato. Adattata su ventinove osservazioni, la risposta senza vincoli batte quella vincolata il 21,7 per cento delle volte. Quattro volte su cinque i pesi che non puoi tenere sono anche i pesi che perdono. Servono sessanta osservazioni perché diventi un testa o croce e 125 prima che la risposta senza vincoli vinca cinque volte su sei, e 125 osservazioni giornaliere sono sei mesi di chiusure.

Adesso guarda i pesi in sé anziché quello che consegnano. Riestrai i ventinove giorni con reimmissione quattromila volte, riadatta, e leggi i novanta risultati centrali su cento:

2-e-5, adattato a 0,746: cade fra 0,377 e 1,081.

3-e-10, adattato a 0,078: cade fra meno 0,916 e 0,635, ed è negativo il 44,7 per cento delle volte.

5-e-20, adattato a meno 0,672: cade fra meno 1,504 e meno 0,011.

Posizione lorda, adattata a 2,345: mediana 2,795, e sopra i tre dollari per dollaro di conto nel 31,9 per cento delle riestrazioni.

La deviazione standard che quei pesi consegnano è stabile. I pesi no. Un numero che sui tuoi dati è 0,078 ed è negativo in quasi metà delle sue stesse riestrazioni non è una decisione su una regola, è il residuo di dieci stime che si contendono ventinove giorni, e stamparlo a tre cifre è la parte che inganna.

Ed è lì che il vincolo si guadagna il posto, e fa più che proteggerti dalla leva. Vietare i pesi negativi equivale aritmeticamente ad ammettere che la covarianza è misurata male e a tirarla verso qualcosa di più semplice: restringi la covarianza di questo libro a metà strada verso l’unica correlazione media che ha usato la lezione 72 e l’ottimizzatore restituisce una posizione lorda di 1,076 e una deviazione standard di 0,57831, contro l’1,000 e lo 0,57813 del vincolo. Due ammissioni diverse della stessa ignoranza, che arrivano a due decimillesimi l’una dall’altra.

E la risposta vincolata mette 5-e-20 a zero, che è proprio la regola che la lezione 71 ti diceva di togliere perché ha la correlazione più alta con il resto. Due obiettivi diversi, uno misurato su correlazioni e uno su varianza, scelgono la stessa regola da rimuovere.

Quindi fai girare l’ottimizzatore con lo scoperto vietato, e prenditi il 7,82 per cento che può tenere anziché il 9,72 che non può.

Ciò che questo non risolve

Che la varianza minima sia l’obiettivo. È l’obiettivo che chiede meno, non quello che vuoi. Niente al suo interno sa quale regola faccia soldi, quindi una regola tranquilla e senza valore raccoglie peso perché è tranquilla. Ogni soglia di questo corso si applica a ciascuna regola prima che i pesi di questa pagina si applichino all’insieme: l’asticella della lezione 64, il test della lezione 67, la condizione di filtro della lezione 70. Ponderare a varianza minima un libro di quattro regole morte produce un modo molto stabile di perdere soldi.

Che il 9,72 per cento sia gratis. La posizione lorda passa da un dollaro a 2,345, e ogni costo che cresce con quello che operi cresce con essa: lo spread della lezione 12 all’entrata e all’uscita, l’impatto della lezione 59 all’entrata, la capienza della lezione 68 sulla dimensione che puoi tenere del tutto. L’obiettivo non ne contiene nessuno, quindi comprerà volentieri sette decimi di un punto percentuale di deviazione standard giornaliera al prezzo di un conto raddoppiato. Sul fondo della lezione 12 quell’affare conviene chiaramente e sulla micro cap chiaramente no, e la formula non sa distinguerli perché non le sono mai state mostrate le quotazioni.

Che la simulazione misuri l’errore intero. Non lo fa, e lusinga l’ottimizzatore per costruzione. La verità da cui estrae è la stessa covarianza che i ventinove giorni hanno prodotto, quindi quello che la tabella prezza è errore di stima e nient’altro. Non dice nulla sul fatto che la covarianza possa essere sbagliata in partenza, che è il problema più grande e quello della pagina successiva.

Che quattro regole siano il caso difficile. È quello facile. Dieci parametri da ventinove osservazioni è scomodo; venti regole sono 210 parametri dagli stessi ventinove giorni, e a ventinove regole la matrice misurata smette del tutto di avere un’inversa, così l’ottimizzatore non restituisce una risposta sbagliata, non ne restituisce nessuna. Il numero di parametri cresce come il quadrato del numero di regole e i dati non crescono con esso, ed è per questo che ogni trattazione professionale di questo problema riguarda il restringere, vincolare o fattorizzare la matrice anziché invertire quello che hai misurato.

Che i pesi siano una decisione sulle regole. Sono una decisione su questo libro in questi giorni. Aggiungi una quinta regola e tutti e quattro i pesi si muovono, perché l’obiettivo non ha alcuna nozione del merito proprio di una regola, solo del suo contributo a un insieme preciso. La terza colonna della scheda è perciò la cosa meno trasportabile che ci sia sopra, ed è per questo che è scritta due volte e per questo la seconda scrittura è quella su cui si agisce.

E la concessione che costa di più: questa pagina ha trattato la covarianza come un oggetto misurato su una finestra, e non è un oggetto. Taglia in due gli stessi ventinove movimenti e la correlazione media fra le quattro regole è 0,5966 nei primi quindici e 0,8800 negli ultimi quattordici, e i pesi adattati sulla prima metà sono 0,448, 0,273, meno 0,498 e 0,777 anziché 0,746, 0,078, meno 0,672 e 0,848. Negli ultimi quattordici è peggio che instabile: tre delle quattro regole tengono la stessa posizione in ognuno di quei giorni, le loro correlazioni sono esattamente uno, e la matrice di covarianza non ha alcuna inversa. La lezione 74 comincia lì, sulla metà dei tuoi stessi dati su cui la macchina di questa pagina non gira.

Esercizi

1. Pondera il tuo libro in due modi. Prendi i rendimenti giornalieri delle regole che fai girare, costruisci la matrice di covarianza in un foglio di calcolo, e calcola i pesi a varianza minima con e senza un pavimento a zero. Mezz’ora, e finisci con due insiemi di pesi e un numero, la differenza nella deviazione standard del giorno fra loro, che è quello che la gamba corta si fa pagare.
2. Prezza il premio prima di rincorrerlo. Calcola la deviazione standard del tuo libro a pesi uguali e all’ottimo senza vincoli, e prendi il rapporto. Dieci minuti, e finisci con un numero, il massimo che riponderare potrà mai fare per te, che confronti con il 9,72 per cento di questa pagina e con quanto salirebbero i tuoi costi alla posizione lorda dell’ottimo.
3. Riestrai i tuoi pesi. Estrai i tuoi giorni con reimmissione, riadatta i pesi, e fallo duecento volte. Una serata, e finisci con un numero per regola, la quota di riestrazioni in cui il suo peso è negativo, e qualunque regola la cui quota sia vicina alla metà non ha ricevuto un peso dai tuoi dati.

Fonti. Harry Markowitz, «Portfolio Selection» (The Journal of Finance, 1952), per l’obiettivo che questa pagina calcola e per l’osservazione, fatta fin dall’inizio e quasi sempre dimenticata, che i suoi ingressi sono stime. Richard O. Michaud, «The Markowitz Optimization Enigma: Is Optimized Optimal?» (Financial Analysts Journal, 1989), per l’argomento che l’ottimizzatore massimizza gli errori dei suoi ingressi insieme a tutto il resto, che è la seconda tabella letta in una frase. Ravi Jagannathan e Tongshu Ma, «Risk Reduction in Large Portfolios: Why Imposing the Wrong Constraints Helps» (The Journal of Finance, 2003), per il risultato che vietare le posizioni allo scoperto equivale a restringere la matrice di covarianza, ed è per questo che qui la risposta vincolata e quella ristretta arrivano nello stesso posto. Victor DeMiguel, Lorenzo Garlappi e Raman Uppal, «Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient Is the 1/N Portfolio Strategy?» (The Review of Financial Studies, 2009), per le finestre di stima di cui un portafoglio ottimizzato ha bisogno prima di battere i pesi uguali, che è la terza colonna della seconda tabella fatta come si deve e su larga scala.

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