Correlazione

Due serie la cui correlazione sull’intera corsa vale 0,45 si leggono fra -0,41 e 0,94 su finestre di dieci barre prese dalle sessanta proprie di questo modulo, e fra -0,03 e 0,89 su finestre di venti, cioè quasi tutto l’intervallo che la misura può assumere. La correlazione è una divisione: la covarianza di due serie di rendimenti divisa per il prodotto delle loro deviazioni standard, e quello che ne esce non è una proprietà della coppia. Tre risultati esatti sopravvivono a quel rumore, e sono il motivo per cui la divisione vale la pena. Correlazione e sensibilità sono lo stesso fatto visto due volte, perché una pendenza di regressione è la correlazione moltiplicata per il rapporto fra le due deviazioni standard — una copertura può quindi avere il segno giusto e la dimensione sbagliata. Una copertura toglie alla varianza il quadrato della correlazione e non la correlazione stessa, così 0,7 lascia in piedi il 71 per cento della deviazione standard originale. E un libro di venti posizioni con una correlazione media a coppie di 0,3 porta il rischio di tre indipendenti; a 0,8 porta quello di 1,2. Nessuna dimensione di posizione è cambiata.

Prerequisiti: Lezione 44, che ha calcolato la grandezza di cui la correlazione è un rapporto, la lezione 38, il cui problema della finestra torna qui per la terza volta, e la lezione 20, la cui aritmetica dimensiona una posizione alla volta e ha bisogno di questa lezione appena ce ne sono due.

Che cosa fa a un libro

Tutto quanto precede prepara un solo calcolo, e quel calcolo è il motivo per cui la correlazione sta nel programma. Tieni due posizioni della stessa dimensione in strumenti della stessa volatilità, e la deviazione standard della coppia è la radice quadrata di due per uno più la correlazione, in unità di una posizione. A correlazione zero fa 1,41 e non 2: due scommesse indipendenti della stessa dimensione portano meno del doppio del rischio, e quella differenza è tutto ciò che la diversificazione è. A 0,3 fa 1,61. A 0,8 fa 1,90. A 1,0 fa esattamente 2, cioè una posizione con due ticker sopra.

Estendi questo a un libro equipesato di qualunque dimensione e l’aritmetica resta esatta. Un libro di strumenti della stessa volatilità con una correlazione media a coppie porta il rischio di un numero minore di posizioni indipendenti, e quel numero è il conteggio diviso per uno più il conteggio meno uno per la correlazione media. Dipende dalla correlazione media a coppie e da nient’altro della struttura, cosa che vale la pena sapere, perché significa che un libro correlato non si aggiusta cambiando quali nomi contiene.

Correlazione media a coppie	2 nomi	5 nomi	20 nomi	50 nomi
0,0	2,00	5,00	20,00	50,00
0,1	1,82	3,57	6,90	8,47
0,3	1,54	2,27	2,99	3,18
0,5	1,33	1,67	1,90	1,96
0,8	1,11	1,19	1,23	1,24

Ogni cifra della tabella è il numero di posizioni indipendenti che il libro porta davvero. Leggi la riga 0,3 per traverso: passare da cinque nomi a cinquanta, cioè decuplicare il lavoro di gestirlo, porta il conteggio da 2,27 scommesse indipendenti a 3,18. Leggi la colonna dei 20 nomi dall’alto in basso e il crollo è ancora più rapido, da venti a correlazione zero a 6,90 a 0,1 e 2,99 a 0,3. Il primo decimo di correlazione costa più della metà della diversificazione del libro. Non è un avvertimento sulle crisi; 0,1 è un mercato tranquillo.

Il pavimento merita di essere nominato perché è esatto. Man mano che il numero di nomi cresce senza limite, la deviazione standard del libro si avvicina alla radice quadrata della correlazione media per quella di un singolo nome. A 0,3 quel pavimento è 0,55, quindi nessun numero di posizioni porterà un libro con quella correlazione media a coppie sotto il 55 per cento della volatilità di una di esse. A 0,8 il pavimento è 0,89. Aggiungere nomi oltre il punto in cui il conteggio smette di salire è lavoro che non compra nulla.

Ora metti dentro la crisi. Un libro di venti nomi a una correlazione media di 0,3 porta 2,99 scommesse indipendenti e una deviazione standard di 0,58 di quella di un nome. Sposta la correlazione a 0,75, che è ciò che l’aritmetica qui sopra attribuisce a uno shock comune triplicato, e lo stesso libro porta 1,31 scommesse indipendenti e una deviazione standard di 0,87. Il suo rischio è salito del 51 per cento e nessuno ha operato. Per tornare al rischio che avevi prima, ogni posizione deve scendere del 34 per cento — e quel taglio è la risposta alla domanda che la lezione 44 ha lasciato aperta, perché è un taglio che il dimensionamento sulla volatilità non farà per te. L’aritmetica della lezione 44 dimensiona ogni posizione contro la propria volatilità, una alla volta, ed è cieca al fatto che hanno cominciato a essere la stessa posizione.

Ciò che questo non risolve

Che la correlazione che hai misurato sia la correlazione. È una stima, e rumorosa. Attorno a una osservata di 0,50, l’intervallo al 95 per cento da 20 osservazioni va da 0,07 a 0,77, da 60 osservazioni da 0,28 a 0,67, e da un anno intero di 252 osservazioni da 0,40 a 0,59. Ogni correlazione mobile di ogni piattaforma è un numero di questo tipo. Prima di prendere un cambiamento in una di esse per un cambiamento del mercato, controlla se gli intervalli delle due letture si sovrappongono, perché alle lunghezze di finestra che la gente usa quasi sempre lo fanno.

Che la correlazione media a coppie sia tutto quello che devi sapere di un libro. Lo è per la varianza, esattamente, ed è per questo che il conteggio qui sopra non dipende da nient’altro. Non lo è per nient’altro. Prendi gli stessi venti nomi e la stessa media di 0,3, ma disponili come due blocchi di dieci correlati 0,75 dentro ciascun blocco e -0,105 fra i blocchi, che è una matrice di correlazione legittima e fa media 0,3 alla cifra. Il libro mostra ancora 2,99 scommesse indipendenti e una deviazione standard di 0,58, perché quelle dipendono dalla sola media. Ma dieci dei suoi venti nomi sono un blocco che porta 1,29 scommesse indipendenti fra tutti loro, quindi metà libro è una sola posizione, e nessuna cifra della tabella qui sopra riesce a vederlo. La frase più sopra, secondo cui un libro correlato non si aggiusta riordinandone i nomi, è vera della varianza e di niente di più ampio. Fai girare il conteggio sui tuoi blocchi oltre che sull’insieme.

Che la correlazione misuri quanto due cose siano legate. Misura quanto bene si adatta una retta, e nient’altro. Due serie possono determinarsi perfettamente a vicenda e segnare zero, cosa che accade ogni volta che la relazione è simmetrica attorno a un punto di inversione — una posizione che perde su un movimento grande in entrambe le direzioni ha esattamente quella forma. Tutto quel che sta in questa pagina vale per strumenti la cui relazione è più o meno lineare nell’intervallo in cui li tieni, e le opzioni non sono fra questi.

Che le cifre di queste due serie siano di chiunque. La seconda è stata costruita dalla prima con una regola stampata sopra, proprio perché l’aritmetica fosse verificabile, e le sessanta barre del modulo sono state fatte fin dall’inizio per leggersi su un grafico piccolo. La forma della tabella delle finestre si trasferisce — le finestre corte danno davvero correlazioni selvagge su dati veri, e per la stessa ragione. Le cifre precise no, e nemmeno lo 0,45.

Che l’aritmetica del libro copra un libro vero. Il conteggio efficace suppone che ogni posizione abbia la stessa dimensione e ogni strumento la stessa volatilità. Un libro con una posizione tre volte più grande delle altre è più vicino a essere quella posizione di quanto qualunque conteggio di ticker suggerisca, e il rimedio è rifare lo stesso calcolo con le posizioni pesate per quello che rischiano davvero. Il risultato sulla correlazione media resta esatto a pesi uguali e smette di esserlo nel momento in cui non lo sono.

Che una correlazione sia abbastanza stabile da coprirci sopra. Il rapporto di copertura è una correlazione moltiplicata per un rapporto di due volatilità: tre stime, ciascuna con il proprio errore, riunite in un numero che poi decide una dimensione. E quella grandezza si muove di più proprio nelle condizioni in cui alla copertura si chiede di funzionare. Una copertura dimensionata su una correlazione di mercato tranquillo è dimensionata per il mercato che non sta accadendo quando ti serve.

Esercizi

1. Conta le scommesse indipendenti nel tuo libro. Prendi le posizioni che tieni, calcola la correlazione di ogni coppia sulle ultime 60 barre, fai la media di quelle correlazioni e metti la media nel conteggio diviso per uno più il conteggio meno uno per la media. Scrivi la risposta accanto al numero di ticker sul tuo schermo. Se tieni quindici cose e l’aritmetica dice due e mezzo, adesso sai quanto vale la tua diversificazione, e quel numero non era ottenibile in nessun altro modo.
2. Giudica ogni copertura dai suoi due numeri e non dalla sua storia. Per qualunque cosa tu tenga perché dovrebbe compensare qualcos’altro, calcola la correlazione fra le due, calcola il rapporto delle loro deviazioni standard e moltiplica. Quel prodotto è la dimensione che la copertura dovrebbe avere, per unità della cosa coperta. Confrontalo con la dimensione che tieni davvero. Poi eleva la correlazione al quadrato e leggi quanta varianza la copertura toglie perfino quando è dimensionata alla perfezione. A 0,7 la risposta è meno della metà.
3. Taglia in due la tua storia e applica la correzione. Prendi una coppia che ti interessa, taglia la sua storia nella metà più tranquilla e in quella più volatile secondo la volatilità del primo strumento, e calcola la correlazione in ciascuna separatamente. Prendi poi il rapporto fra le due varianze e applica la correzione qui sopra alla cifra della metà volatile. Quel che della differenza sopravvive a quell’aggiustamento è la parte che non è un artefatto del misurare durante un tratto violento, ed è di solito parecchio più piccola di quanto il confronto grezzo lasciasse credere.

Fonti. Francis Galton, «Co-relations and their Measurement, chiefly from Anthropometric Data» (Proceedings of the Royal Society of London, 1888), per il coefficiente stesso, introdotto per confrontare lunghezze di arti e non mercati, e definito allora esattamente come si calcola oggi. Ronald A. Fisher, «Frequency Distribution of the Values of the Correlation Coefficient in Samples from an Indefinitely Large Population» (Biometrika, 1915), per la distribuzione campionaria e per la trasformazione da cui escono gli intervalli citati sopra. Harry Markowitz, «Portfolio Selection» (The Journal of Finance, 1952), per l’identità della varianza di portafoglio che trasforma una correlazione a coppie in un’affermazione su un libro, che è l’unico motivo per cui qualcosa di tutto questo sta in un programma di trading. Kristin J. Forbes e Roberto Rigobon, «No Contagion, Only Interdependence: Measuring Stock Market Comovements» (The Journal of Finance, 2002), per la distorsione da condizionamento e per la correzione applicata sopra. François Longin e Bruno Solnik, «Extreme Correlation of International Equity Markets» (The Journal of Finance, 2001), per l’altro lato di quell’argomento: la correlazione sale nei mercati in discesa più di quanto la correzione per la volatilità spieghi, e non sale allo stesso modo in quelli in salita.

La correlazione è salita nel terzo meccanismo qui sopra perché un solo bilancio teneva tutto, e questo punta a una grandezza di cui questo modulo non ha misurato niente. Ogni numero delle lezioni dalla 38 alla 45 è stato calcolato dai prezzi. Nessuno di essi dice chi tiene la posizione dall’altra parte della tua, quanta ce n’è, o quanta ne è stata presa a prestito. La lezione 46 prende in mano i dati di posizionamento che vengono davvero pubblicati: che cosa contengono i rapporti, il ritardo fra la data che descrivono e quella in cui escono, perché una posizione grande non è la stessa cosa di una affollata, e che cosa si può e non si può concludere dal sapere che qualcun altro è lungo.

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