Il drawdown che devi aspettarti

Di che cosa è fatto un drawdown

Un drawdown ha due genitori. Uno è il tuo vantaggio, o la sua assenza. L’altro è la dispersione degli esiti delle tue operazioni, e quella c’è che il vantaggio ci sia o no. Ogni trader dentro un buco lo attribuisce al primo. L’aritmetica qui sotto dice che quasi tutto il lavoro lo fa il secondo, e lo dice con una sovrapposizione che puoi misurare invece che con un argomento che devi accettare.

Ecco il banco di prova, per intero, perché tutto in questa pagina esce da lì. L’esito di un’operazione è estratto da una distribuzione normale la cui deviazione standard vale un R e la cui media vale d, il vantaggio, nelle stesse unità. Il peggior drawdown di una serie è la caduta più grande da un massimo corrente a un punto successivo del cumulato, con il massimo che parte da zero, così che una serie che non risale mai sopra il suo inizio ha comunque un drawdown. Ogni cifra qui sotto viene da 20.000 serie indipendenti di 156 operazioni dal seme 20260903.

Un R in questa pagina è una deviazione standard di un’operazione, e non è l’R della lezione 18, dove una perdente vale esattamente un R e la dispersione degli esiti ne vale 1,49. La conversione è una sola divisione e vale la pena farla adesso, perché mette in questa tabella una lezione che hai già letto. Il sistema della lezione 18 vince il 45 per cento delle volte a due contro uno, quindi fa 0,35R per operazione con una deviazione standard di 1,4925R. Dividi: il suo vantaggio nelle unità di questa pagina vale 0,2345, che cade fra la quarta e la quinta riga qui sotto.

Il banco di prova si può inoltre controllare contro qualcosa che non è una simulazione. Senza alcun vantaggio, il tempo continuo dà un peggior drawdown medio pari alla radice di πT/2, che su 156 operazioni fa 15,65R. La simulazione restituisce 14,53R, e lo scarto non è un errore: un cammino che guarda una sola volta per operazione si perde gli estremi fra uno sguardo e l’altro. Affinalo a 256 sguardi per operazione e restituisce 15,61R.

Vantaggio vero, R per operazione	Decimo più fortunato	Mediana	Decimo meno fortunato	Centesimo meno fortunato
0,00, niente lì	7,56	13,26	23,33	33,95
0,05	6,35	10,65	18,59	27,81
0,10	5,51	8,82	14,96	22,57
0,20	4,29	6,52	10,49	15,71
0,30	3,50	5,17	8,03	11,66

Leggila per colonne e non per righe, perché la lezione sta nelle colonne. Il decimo più fortunato dei sistemi morti arriva a 7,56R. Quello vivo tipico, a un decimo di R, arriva a 8,82R. Quei due numeri stanno nell’ordine sbagliato per la storia che tutti raccontano sui drawdown, e per quanto tu fissi la tua curva di capitale non li rimetterai a posto, perché le distribuzioni da cui vengono si sovrappongono quasi per tutta la loro lunghezza. Una profondità di otto R sta comodamente dentro l’intervallo ordinario di entrambe.

Trasforma dunque la profondità nell’unica domanda che valga la pena porle. Se sei D sotto, quanto è più probabile ciò sotto un sistema morto che sotto uno vivo? È un conteggio di superamenti su ciascuna di due simulazioni, diviso.

Sei R: raggiunto dal 97,0 per cento dei sistemi morti e dall’84,6 per cento di quelli vivi, un rapporto di 1,15.

Otto R: 87,2 per cento contro 59,5 per cento, un rapporto di 1,47.

Dodici R: 58,5 per cento contro 22,6 per cento, un rapporto di 2,59.

Venti R: 18,2 per cento contro 2,3 per cento, un rapporto di 7,78.

Un rapporto di 1,47 significa che essere otto R sotto moltiplica per 1,47 le probabilità che già attribuivi a un sistema morto, e non di più. È una prova, debole. Non basta neanche lontanamente per agire, ed è la cosa più forte che un lettore abbia nel momento in cui di solito agisce. La profondità che deciderebbe davvero qualcosa sono venti R, dove il rapporto arriva finalmente a 7,78 — e venti R è una profondità che raggiungono due sistemi vivi su cento e diciotto morti su cento, quindi aspettarla vuol dire che la maggior parte dei tuoi sistemi davvero morti non la fa scattare mai nemmeno lei.

Quasi nessuno che abbia mai spento un sistema ha calcolato quel rapporto alla profondità a cui lo ha spento. Due simulazioni e due conteggi di superamenti, e una serata basta per entrambi.

Il foglio che questo modulo costruisce dalla lezione 62 guadagna qui una sesta colonna, ed è la profondità alla quale ti fermerai, scritta prima di cominciare. Accanto scrivi la frazione di sistemi vivi che quella profondità scarta, presa dalle cifre di superamento qui sopra, perché una regola di arresto senza quella frazione accanto è un numero che qualcuno ha scelto. La lezione 70 è dove l’intero foglio viene speso in una volta.

La prova che alla domanda risponde davvero

La profondità fallisce come prova perché la profondità è limitata e la prova non lo è. Un drawdown può scendere solo fino a quando il denaro finisce, ma il numero di operazioni che hai preso continua a salire, e ognuna porta un po’ di informazione su quale sistema stai tenendo. Smetti dunque di misurare il buco e comincia ad accumulare le operazioni.

La prova sequenziale di Wald tiene un solo numero corrente: il logaritmo di quanto le tue operazioni siano più probabili sotto un sistema vivo che sotto uno morto. Dopo ogni operazione gli somma un termine. Per un esito x, mettendo alla prova una media di zero contro una media di d:

L → L + d x − d²/2

Si tracciano due linee prima della prima operazione. Dichiaralo vivo quando L sale al logaritmo di (1 − β) su α; dichiaralo morto quando L scende al logaritmo di β su (1 − α). Con un 5 per cento di probabilità per ciascun errore quelli valgono +2,9444 e −2,9444, e la simmetria discende dall’aver scelto uguali i due tassi di errore, non è un’ipotesi.

Una sostituzione, fatta per intero. A un vantaggio di un decimo di R, ogni operazione somma 0,10x − 0,005 a L. Le operazioni di un sistema vivo fanno in media +0,10, quindi il suo passo medio è 0,10 per 0,10 meno 0,005, cioè +0,005. Quelle di uno morto fanno in media zero, quindi il suo passo medio è −0,005. Ciascuno cammina verso la propria linea alla stessa velocità, e ciascuno ha 2,9444 da percorrere. Dividi: 2,9444 diviso 0,005 fa 589 operazioni. A quaranta operazioni al mese, 14,7 mesi.

Vantaggio che stai mettendo alla prova	Passo per operazione, d²/2	Operazioni fino al verdetto	Mesi a quaranta al mese
0,05	0,00125	2.356	58,9
0,10	0,00500	589	14,7
0,20	0,02000	148	3,7
0,30	0,04500	66	1,6

I conteggi delle operazioni sono arrotondati per eccesso e i mesi dividono per quaranta l’attesa non arrotondata, ed è per questo che l’ultima riga legge 66 e 1,6 anziché 66 e 1,7.

Traccia ora le due linee dove un trader possa davvero vederle, cioè sul cumulato in R. L è una retta in quel cumulato: dopo n operazioni L vale 0,10 per il cumulato, meno 0,005n. Poni L a ciascuna delle due soglie e risolvi, e le due linee sono il cumulato pari a n per d diviso due, meno e più 2,9444 diviso d.

A 156 operazioni, l’orizzonte fissato dalla lezione 65, questo mette la linea del morto a −21,6R e quella del vivo a +37,2R, mentre un vantaggio vivo di un decimo di R si aspetta di aver fatto +15,6R. Entrambe meritano una seconda lettura. La prova non dichiara morto un sistema finché non è 21,6R sotto, che è due volte e mezzo la mediana del drawdown che un sistema vivo produce e più profondo del suo decimo meno fortunato. E non lo dichiara vivo a +15,6R, che è esattamente ciò che un vivo doveva consegnare. Nel punto in cui un vantaggio vero ha fatto precisamente ciò che aveva promesso, questa prova non ha ancora nulla da dire.

Un’altra riga, ed è un’identità, non una coincidenza. A 588,89 operazioni — l’attesa non arrotondata, a 14,7 mesi — la linea del morto cade esattamente su zero. L’algebra è n per d diviso due contro 2,9444 diviso d, e a n uguale a due volte 2,9444 diviso d al quadrato quelle due quantità sono lo stesso numero, quindi si annullano. Fino al quindicesimo mese, un sistema che non ti ha reso proprio nulla non è ancora stato bocciato.

Un drawdown misura la tua dispersione, non il tuo vantaggio.

Le soglie di Wald sono un’approssimazione, e un’approssimazione si verifica invece di crederla. Dai alla prova operazioni da un vantaggio vero di un decimo di R, 20.000 serie, seme 20260903: restituisce 19.092 volte vivo e 908 volte morto, un tasso di falso morto del 4,5 per cento contro il 5 per cento per cui è stata costruita. Dai alla prova operazioni da niente del tutto: 19.035 volte morto e 965 volte vivo, 4,8 per cento di falso vivo. Il verdetto mediano arriva a 435 operazioni e quello medio a 545, entrambi sotto i 589 di Wald, perché l’attesa è tirata su dalla minoranza di serie che vagano a lungo.

Mettilo accanto alla formula a campione fisso della lezione 19, che chiedeva 7,85 diviso per il quadrato del rapporto fra vantaggio e rumore. A un decimo di R fa 785 operazioni, e ciò che comprava erano quattro possibilità su cinque di accorgersi di un vantaggio reale. Le due linee di Wald comprano diciannove su venti in entrambe le direzioni e arrivano a un verdetto in 435 di mediana. Dividi: la prova sequenziale fa un lavoro rigorosamente migliore sul 55 per cento del campione, e la ragione è che si ferma appena la risposta è chiara invece di aspettare una data che qualcuno ha fissato prima.

Traccia dunque stasera entrambe le linee sulla tua curva di capitale, prima del drawdown, e smetti di leggere la profondità.

Ciò che questo non risolve

Che le operazioni siano indipendenti e normali. Nessuna delle due cose è vera di uno storico reale, e i due difetti puntano in direzioni opposte. L’asimmetria lusinga la tabella: passa gli esiti veri della lezione 18, +2R e −1R al 45 per cento, e la mediana del peggior drawdown su 200 operazioni vale 9,00R, mentre il banco di prova normale, a parità di media e di deviazione standard, dà 9,68R, una sopravvalutazione del 7,6 per cento, perché una distribuzione con vincenti grandi e perdenti piccole risale dai buchi più in fretta di una simmetrica. Il raggruppamento punta dall’altra parte e pesa probabilmente di più: le perdite che arrivano insieme scavano più a fondo di quelle che arrivano sparse, e questa pagina non ne modella nulla.

Che il secondo decimale voglia dire qualcosa. Due cose lo mettono in dubbio, e si sommano. Un R è la deviazione standard degli esiti delle tue operazioni, stimata sullo stesso storico corto che ti preoccupa, e su 156 osservazioni il suo errore standard si aggira sul 5,7 per cento; ogni profondità della prima tabella scala con esso, quindi l’8,82 è 8,82 più o meno mezzo R prima che si conti qualunque altra cosa. La simulazione aggiunge il proprio tremolio: rilancia quella mediana con altri quattro semi e cade su 8,84, 8,83, 8,75 e 8,84. I decimali sono due perché una tabella ha bisogno di un solo formato per ogni cella.

Che la prova metta alla prova l’ipotesi giusta. Il rapporto di Wald confronta due medie precise, zero e un decimo di R, e un sistema reale di solito non è né l’una né l’altra. Dai alla prova operazioni da un vantaggio vero di 0,05 — metà di quello che sta provando, e comunque un vantaggio del tutto reale — e si spacca quasi esattamente a metà, chiamandone vivi il 49,91 per cento e morti il 50,09 per cento, su una mediana di 672 operazioni. Lì la prova non sta funzionando male. Non le è mai stato chiesto quel caso, e chi la fa girare a un decimo di R ha accettato in silenzio di trattare un vantaggio dimezzato come un testa o croce.

Che aspettare sia possibile, e questa è la concessione che costa di più. Tutto quanto sopra dice che la risposta onesta richiede 589 operazioni e 14,7 mesi, e che la linea del morto all’orizzonte delle 156 operazioni sta 21,6R sotto. Un trader che è 21,6R sotto al due per cento per operazione ha perso circa un terzo del conto, e l’aritmetica di questa pagina gli dice di andare avanti. Non può dirgli come, e non può perché se reggerai o no è una questione di dimensione della posizione e di denaro, non di prove. La lezione 20 è dove vive davvero la risposta al problema che questa lezione diagnostica, e tutto ciò che questa pagina può fare è dire che diagnosi e cura sono materie diverse.

E quella che mina la tabella stessa: è indicizzata sul vantaggio vero, che è l’unica quantità che non hai mai. La tua riga non la puoi cercare. Letta in avanti, la tabella è inservibile. Letta all’indietro dice soltanto che nessuna profondità in cui potresti trovarti ora esclude qualche riga. È un risultato più magro di quanto cinque colonne di cifre lascino credere, ed è la versione onesta di ciò che un drawdown ti dice.

Resta il caso che questa pagina ha continuato a mettere da parte, perché non è nessuna delle due ipotesi che la prova confronta. La lezione 68 prende un vantaggio che non muore ma decade. Dai alla prova un decimo di R che si spegne linearmente fino a zero lungo esattamente le 589 operazioni che le servono, e dichiara il sistema morto nel 65,46 per cento dei casi e vivo nel 34,53 per cento, su una mediana di 627 operazioni — sicché quando il verdetto arriva, comunque arrivi, la cosa che stava provando se n’è già andata.