A súlyok, amelyeket elbírsz

A 72. lecke olyan könyvet árazott, amelyben minden pozíció ugyanakkora volt, és erre az oldalra hagyta a kérdést, mennyi menjen mindegyikbe. Íme a válasz, amelyet a szokásos gépezet ad, a 71. lecke négy szabályán és ugyanazon a huszonnyolc mozduláson: 0,987, mínusz 0,438, mínusz 0,705 és 1,156. A nap szórását 10,65 százalékkal vágja le, ami négy, egyenként két százalékos pozíción a nap 0,78 százalékpontja. Egyúttal azt kéri, hogy a négy saját szabályod közül kettőt shortolj, és a számlán lévő minden dollárra 3,29 dollár pozíciót vigyél. Tiltsd meg a shortokat, és a válasz 0,630 és 0,370 lesz, két szabály nullán; ez megtartja a vágás 59 százalékát, számladolláronként egy dollár pozíciót visz, és huszonnyolc napra illesztve, nem pedig előre tudva, átlagosan jobb napot ad, mint a korlátozás nélküli válasz.

Előfeltételek: 72. lecke, az egyenlő súlyú könyvért, amelyet ez az oldal újrasúlyoz, 71. lecke, a négy szabályért és a hat korrelációjukért, és a 12. lecke, a költségért, amely azzal nő, amennyit kereskedsz.

Mit tartalmaz valójában a célfüggvény

A minimális variancia egyetlen sor. Vedd annak a kovarianciamátrixát, amit tartasz, invertáld, szorozd meg egy egyesekből álló oszloppal, és oszd el az összeggel, hogy a súlyok egyre adódjanak. Ez az egész módszer, zárt alakja van, és négy szabályon bármelyik táblázatkezelő egy perc alatt elvégzi.

w = Σ⁻¹1 / (1′Σ⁻¹1)

Olvasd el, mi van benne, és ami fontosabb, mi nincs. Nincsenek várható hozamok, és ez szándékos: a 67. leckének 589 ügyletre volt szüksége, hogy eldöntse, valódi-e egy R tizede, tehát az, hogy melyik szabály mennyit fog keresni, a ház legmegbízhatatlanabb száma, és az a célfüggvény, amelynek szüksége van rá, ezt örökli. Nincsenek költségek. Nincs semmilyen korlátozás. A képlet megjegyzés nélkül ad vissza negatív súlyt, a negatív pedig shortot jelent.

A bemenetek a 71. lecke által kiválasztott négy szabály: egy 2 gyertyás átlag egy 5-össel szemben, egy 3-as egy 10-essel, egy 5-ös egy 20-assal és egy 8-as egy 30-assal, azon a huszonnyolc mozduláson, amelyen a 63. lecke rácsának minden szabálya értelmezett. A hat korrelációjuk a 71. leckéé, 0,6282-től 0,9742-ig. A szórásuk közel esik egymáshoz: 0,6375, 0,7218, 0,7265 és 0,7032 abban az egységben, amelyet a szabályok visszaadnak.

Négy súlyozást érdemes egymás mellé tenni. Az egyenlő súlyok az, amit a 72. lecke feltételezett. A fordított variancia az, amit a legtöbben kockázati paritáson értenek, ha sietnek: súlyozz minden szabály varianciájának reciprokával, és hagyd teljesen figyelmen kívül a korrelációkat. Aztán a minimális varianciájú válasz megtiltott shorttal, és ugyanaz a válasz mindenféle tiltás nélkül.

Súlyozás	Súlyok	Pozíció dolláronként	A nap szórása	Vágás
Egyenlő	0.25, 0.25, 0.25, 0.25	1,000	0,64074	—
Fordított variancia	0.297, 0.231, 0.228, 0.244	1,000	0,63502	0,89%
Minimális variancia, short nélkül	0.630, 0, 0, 0.370	1,000	0,60021	6,32%
Minimális variancia	0,987, −0,438, −0,705, 1,156	3,287	0,57252	10,65%

Kezdd a vita méretével. A felső sortól az alsóig tartó teljes távolság 0,06822, egy 0,64074-es kiindulóponthoz képest. Mindaz, amit a portfólióépítés erről a könyvről mondani tud, a legdurvább szabálytól a válaszok birtokában kiszámolt pontos optimumig, a nap szórásának 10,65 százalékát éri. Pozíciónként két százalék mellett és a 71. lecke által e négyre adott 0,7887-es átlagos korreláció mellett az egyenlő súlyok a napot 7,339 százalékossá teszik, az optimum pedig 6,557 százalékossá. A teljes nyeremény napi nyolc tized százalékpont. Megéri elvinni, és nem éri meg nagy fáradságot, és tudni, hogy a kettő közül melyik igaz, mielőtt belekezdenél, jórészt ezért van ez az oldal.

Utána olvasd a második sort, mert az az, amit az emberek valóban futtatnak. A fordított variancia az elérhető 10,65-ből 0,89 százalékot szed össze, vagyis a tizenketted részét. Azért bukik el, mert a négy szórás szinte azonos, így a szerintük való súlyozás alig mozdít bármin, és mert ezen a könyvön a teljes nyeremény a korrelációkban lakik. Egy olyan súlyozás, amely figyelmen kívül hagyja a korrelációkat egy olyan szabályhalmazon, amelynek korrelációi 0,63-tól 0,97-ig futnak, olyan problémát old meg, amilyen ennek a könyvnek nincs.

Aztán az a kettő, amelyik számít. A korlátozás nélküli válasz további 4,33 százalékpontot vesz le a napból, a vágást 6,32 százalékról 10,65-re tolva, és ezt két short lábbal, amelyek együtt 1,143-at tesznek ki és a számla minden dollárjára jutó 3,287 dollár bruttó pozícióval veszi meg. A korlátozás a nyeremény két ötödébe kerül, és minden tőkeáttételt eltávolít.

Szinte senki nem számolta ki mindkettőt. A korlátozás nélküli szám az, amit minden tankönyv és minden programkönyvtár alapértelmezésben visszaad, a korlátozott négy sorral odébb van, és a kettő közötti különbség a különbség egy portfólió között, amelyet le tudsz írni, és egy portfólió között, amelyet el tudsz bírni.

A 9. modul kártyája harmadik oszlopot kap, és ez az a súly, amelyet ez az oldal ad minden szabálynak, kétszer leírva: egyszer úgy, ahogy az optimalizáló visszaadja, egyszer pedig megtiltott shortokkal. A teljes kártyát a 75. lecke költi el egyszerre.

Amit huszonnyolc nap ki tud fizetni

A fenti súlyok tíz számból jöttek ki, négy varianciából és hat kovarianciából, , amelyeket huszonnyolc megfigyelésből becsültünk. Ez nem nyilvánvalóan túl kevés, és nem nyilvánvalóan elég, tehát mérd meg ahelyett, hogy vitatkoznál rajta.

Kezeld a fent mért kovarianciát úgy, mintha ő volna az igazság. Húzz belőle T megfigyelést, illeszd az optimalizálót a húzásra, mintha csak az volna a kezedben, majd pontozd a kapott súlyokat ahhoz az igazsághoz mérve, amelyből indultál. A pontszám és a valódi optimum közötti rés a becslési hiba, és ez az egyetlen dolog, amit ez a kísérlet tartalmaz. Minden T-nél húszezer húzás, a 20260905-ös magból, így a harmadik oszlop tized pontig, a negyedik két tizedig stabil.

Megfigyelés	Szórás, amelyet az illesztett súlyok ténylegesen hoznak	A nyereményből megérkező hányad	Veri a short nélküli választ
28	0,60798	48,0%	50,4%
60	0,58781	77,6%	85,6%
125	0,57960	89,6%	99,1%
250	0,57594	95,0%	100,0%
1000	0,57338	98,7%	100,0%

Az első sor az őszinte ítélet azokról a súlyokról, amelyekkel ez az oldal nyitott. Huszonnyolc megfigyelésre illesztve a korlátozás nélküli optimalizáló 0,60798-et hoz a kinyomtatott 0,57252 helyett, vagyis a nyeremény 48,0 százalékát az egésze helyett. Az egyenlő súlyokat így is veri, méghozzá kényelmesen: ezen a könyvön az optimalizáló nem hiba, és az a közkeletű állítás, hogy N-nel osztani mindig nyer, nem az, amit a számtan mond.

A negyedik oszlop a lelet, és a másodikkal együtt kell olvasni. Huszonnyolc megfigyelésre illesztve a korlátozás nélküli válasz a húzások 50,4 százalékában veri a korlátozottat, ami fej vagy írás, közben pedig átlagosan 0,60798-at hoz a 0,60021-gyel szemben, amelyet a korlátozás mindenféle becslés nélkül hoz. Azok a súlyok, amelyeket nem bírsz el, az esetek felében nyernek, átlagban veszítenek, és így is, úgy is dolláronként három dollár pozíciót visznek. Hatvan megfigyelés kell ahhoz, hogy a korlátozás nélküli válasz hatból ötször nyerjen, és 125 ahhoz, hogy szinte mindig nyerjen, és 125 napi megfigyelés hat hónapnyi záróár.

Most nézd magukat a súlyokat, ne azt, amit hoznak. Húzd újra a huszonnyolc napot visszatevéssel négyezerszer a 20260906-os magból, illeszd újra, és olvasd le a százból középső kilencven eredményt:

2-és-5, illesztve 0,987-ra: 0,724 és 1,316 közé esik.

3-és-10, illesztve mínusz 0,438-ra: mínusz 0,881 és mínusz 0,043 közé esik.

5-és-20, illesztve mínusz 0,705-re: mínusz 1,381 és 0,081 közé esik, és az újrahúzások 6,6 százalékában pozitív.

Bruttó pozíció, illesztve 3,287-re: medián 3,194, és az újrahúzások 63,9 százalékában számladolláronként három dollár fölött.

A szórás, amelyet azok a súlyok hoznak, stabil. A súlyok nem azok. Egy mínusz 0,705-ös súly, amelynek saját újrahúzásai mínusz 1,381 és plusz 0,081 között futnak, nem döntés egy szabályról, hanem tíz becslés üledéke, amelyek huszonnyolc napon osztoznak, és három jegyre kinyomtatni éppen az a rész, amely félrevezet. A négyezer újrahúzásból ráadásul 153 olyan kovarianciamátrixot adott, amelynek egyáltalán nincs inverze, tehát a saját napjaidból vett huszonöt húzásból közel egyben a módszer nem rossz választ ad, hanem semmilyet.

És itt szolgálja meg a korlátozás a helyét, méghozzá többet tesz annál, mint hogy megvéd a tőkeáttételtől. A negatív súlyok tiltása számtanilag közel áll ahhoz, hogy beismerjük: a kovarianciát rosszul mérték, és valami egyszerűbb felé húzzuk. Zsugorítsd ennek a könyvnek a kovarianciáját félútig afelé az egyetlen átlagos korreláció felé, amelyet a 72. lecke használt, és az optimalizáló 1,205-os bruttó pozíciót és 0,59512-es szórást ad vissza, a korlátozás 1,000-jével és 0,60021-ével szemben. Ugyanannak a tudatlanságnak két különböző beismerése, amelyek a napon egy százalékra, a pozíción egy ötöd dollárra landolnak egymástól.

A korlátozott válasz pedig nullára állítja az 5-és-20-at, vagyis pontosan azt a szabályt, amelyet a 71. lecke azért mondott kivenni, mert a legmagasabb a korrelációja a többivel. Két különböző cél, az egyik korrelációkon, a másik varianciákon mérve, ugyanazt a szabályt választja eltávolításra.

Futtasd hát az optimalizálót megtiltott shortokkal, és vidd el azt a 6,32 százalékot, amelyet elbír, a 10,65 helyett, amelyet nem.

Amit ez nem old meg

Hogy a minimális variancia a cél. Ez az a cél, amelynek a legkevesebb kell, nem az, amelyiket akarod. Semmi benne nem tudja, melyik szabály keres pénzt, tehát egy csendes és értéktelen szabály azért kap súlyt, mert csendes. E kurzus minden küszöbe minden egyes szabályra alkalmazandó, mielőtt ennek az oldalnak a súlyai a halmazra alkalmazódnának: a 64. lecke léce, a 67. lecke tesztje, a 70. lecke szűrőfeltétele. Négy halott szabályból álló könyvet minimális varianciára súlyozni a pénzvesztés nagyon stabil módját állítja elő.

Hogy a 10,65 százalék ingyen van. A bruttó pozíció egy dollárról 3,287-re megy, és minden költség, amely azzal nő, amennyit kereskedsz, vele együtt nő: a 12. lecke szpredje befelé és kifelé, az 59. lecke ártorzítása befelé, a 68. lecke kapacitása arra a méretre, amelyet egyáltalán elbírsz. A célfüggvény egyiket sem tartalmazza, tehát boldogan megveszi a napi szórás nyolc tized százalékpontját a számla megháromszorozása árán. A 12. lecke alapjában ez az ügylet nyilvánvalóan megéri, a mikrokapitalizációban nyilvánvalóan nem, és a képlet nem tudja megkülönböztetni őket, mert soha nem mutatták meg neki az árjegyzéseket.

Hogy a szimuláció a teljes hibát méri. Nem méri, és már a felépítésénél fogva hízeleg az optimalizálónak. Az igazság, amelyből húz, ugyanaz a kovariancia, amelyet a huszonnyolc nap adott, tehát a táblázat becslési hibát áraz és semmi mást. Semmit nem mond arról, hogy a kovariancia eleve téves lehet, márpedig ez a nagyobb probléma és a következő oldalé.

Hogy négy szabály a nehéz eset. Ez a könnyű. Tíz paraméter huszonnyolc megfigyelésből kényelmetlen; húsz szabály 210 paraméter ugyanabból a huszonnyolc napból, huszonnyolc szabálynál pedig a mért mátrixnak egyáltalán nincs többé inverze, tehát az optimalizáló nem rossz választ ad, hanem semmilyet. A paraméterek száma a szabályok számának négyzetével nő, az adat pedig nem nő vele, és ezért szól e probléma minden szakszerű tárgyalása a mátrix zsugorításáról, korlátozásáról vagy faktorálásáról ahelyett, hogy invertálná, amit mértél.

Hogy a súlyok a szabályokról szóló döntést jelentenek. Erről a könyvről szóló döntést jelentenek, ezeken a napokon. Adj hozzá egy ötödik szabályt, és mind a négy súly elmozdul, mert a célfüggvénynek nincs fogalma egy szabály saját érdeméről, csak egy adott halmazhoz való hozzájárulásáról. A kártya harmadik oszlopa ezért a legkevésbé hordozható dolog rajta, és ezért van kétszer leírva, és ezért a második leírás az, amelyre cselekszel.

És a legdrágább engedmény: ez az oldal a kovarianciát egyetlen ablakon mért egyetlen tárgyként kezelte, márpedig nem egyetlen tárgy. Vágd ketté ugyanazt a huszonnyolc mozdulást, és a négy szabály közötti átlagos korreláció az első tizennégyben 0,5673, az utolsó tizennégyben 0,9247, az első félre illesztett súlyok pedig 0,308, 0,225, mínusz 0,731 és 1,197, nem pedig 0,987, mínusz 0,438, mínusz 0,705 és 1,156. Az utolsó tizennégyben rosszabb a helyzet az instabilnál: a négy szabályból három azoknak a napoknak mindegyikén ugyanazt a pozíciót tartja, a korrelációjuk pontosan egy, és a kovarianciamátrixnak egyáltalán nincs inverze. A 74. lecke ott kezdődik, a saját adataid azon felénél, amelyen ennek az oldalnak a gépezete nem fut.

Feladatok

1. Súlyozd a saját könyvedet kétféleképpen. Vedd a futtatott szabályaid napi hozamait, építsd fel a kovarianciamátrixot egy táblázatkezelőben, és számold ki a minimális varianciájú súlyokat nulla alsó korláttal és anélkül. Fél óra, és a végén két súlykészlet és egy szám lesz a kezedben: a nap szórásának különbsége a kettő között, és ez az, amit a short láb kap fizetségül.
2. Árazd be a nyereményt, mielőtt üldözőbe vennéd. Számold ki a könyved szórását egyenlő súlyokkal és a korlátozás nélküli optimumban, és vedd a hányadost. Tíz perc, és a végén egyetlen szám lesz a kezedben: a legtöbb, amit az újrasúlyozás valaha tehet érted, amelyet összevetsz ennek az oldalnak a 10,65 százalékával és azzal, mennyivel nőnének a költségeid az optimum bruttó pozíciójánál.
3. Húzd újra a saját súlyaidat. Húzd a saját napjaidat visszatevéssel, illeszd újra a súlyokat, és tedd meg ezt kétszázszor. Egy este, és a végén szabályonként egy szám lesz a kezedben: az újrahúzások hányada, amelyben a súlya negatív, és minden olyan szabály, amelynél ez a hányad a fél közelében van, nem kapott súlyt az adataidtól.

Források. Harry Markowitz, „Portfolio Selection” (The Journal of Finance, 1952), a célfüggvényért, amelyet ez az oldal kiszámol, és azért a mindjárt az elején tett és rendszerint elfelejtett megjegyzésért, hogy a bemenetei becslések. Richard O. Michaud, „The Markowitz Optimization Enigma: Is Optimized Optimal?” (Financial Analysts Journal, 1989), azért az érvért, hogy az optimalizáló a bemeneteiben lévő hibákat is maximalizálja minden mással együtt, és ez a második táblázat egyetlen mondatban elolvasva. Ravi Jagannathan és Tongshu Ma, „Risk Reduction in Large Portfolios: Why Imposing the Wrong Constraints Helps” (The Journal of Finance, 2003), azért az eredményért, hogy a short pozíciók tiltása egyenértékű a kovarianciamátrix zsugorításával, és ezért landol itt a korlátozott válasz és a zsugorított ugyanazon a helyen. Victor DeMiguel, Lorenzo Garlappi és Raman Uppal, „Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient Is the 1/N Portfolio Strategy?” (The Review of Financial Studies, 2009), azokért a becslési ablakokért, amelyekre egy optimalizált portfóliónak szüksége van, mielőtt megverné az egyenlő súlyokat, és ez a második táblázat harmadik oszlopa rendesen és nagy léptékben elvégezve.

Mindegyiket a szójegyzék határozza meg, az ezen az oldalon álló számítással szemben.

Minimum Variance

Kizárólag oktatási célra. A kereskedés jelentős veszteségkockázattal jár. Ez nem pénzügyi tanácsadás. A múltbeli teljesítmény nem garantálja a jövőbeli eredményeket.