Corrélation
Deux séries dont la corrélation sur l’ensemble vaut 0,45 se lisent entre -0,41 et 0,94 sur des fenêtres de dix barres prises dans les soixante propres à ce module, et entre -0,03 et 0,89 sur des fenêtres de vingt, soit presque toute l’étendue que la mesure peut prendre. La corrélation est une division : la covariance de deux séries de rendements divisée par le produit de leurs écarts-types, et ce qui en sort n’est pas une propriété de la paire. Trois résultats exacts survivent à ce bruit, et ce sont eux qui justifient la division. Corrélation et sensibilité sont le même fait vu deux fois, parce qu’une pente de régression est la corrélation multipliée par le rapport des deux écarts-types — une couverture peut donc avoir le bon signe et la mauvaise taille. Une couverture retire à la variance le carré de la corrélation et non la corrélation elle-même, si bien que 0,7 laisse debout 71 pour cent de l’écart-type d’origine. Et un livre de vingt positions dont la corrélation moyenne deux à deux vaut 0,3 porte le risque de trois positions indépendantes ; à 0,8 il porte celui de 1,2. Pas une seule taille de position n’a changé.
Prérequis : Leçon 44, qui a calculé la grandeur dont la corrélation est un rapport, la leçon 38, dont le problème de la fenêtre revient ici pour la troisième fois, et la leçon 20, dont l’arithmétique dimensionne une position à la fois et a besoin de cette leçon dès qu’il y en a deux.
Une division, et ce qu’elle divise
La corrélation reprend les deux premières étapes de la leçon 44 et en ajoute une. Transforme les deux séries de prix en rendements. Prends la covariance, c’est-à-dire le produit moyen des écarts des deux séries à leurs propres moyennes. Divise par le produit des deux écarts-types. Cette dernière division est tout l’intérêt : la covariance se mesure en rendement au carré et ne se compare pas d’une paire à l’autre, tandis que le rapport est sans dimension et confiné entre moins un et un, si bien qu’un nombre calculé sur deux devises peut se placer à côté d’un nombre calculé sur deux actions.
Tout ce qui suit tourne sur deux séries, et la seconde doit être déclarée avant d’être utilisée. La première, ce sont les soixante clôtures avec lesquelles ce module travaille depuis la leçon 38. La seconde en est construite par une règle publiée, pour que chaque chiffre de cette page puisse être reproduit : chacun de ses rendements vaut la moitié du rendement de la première série sur la même barre, plus 0,866 du rendement de la première série 29 barres plus loin, en repartant du début à la fin de la série. Ces poids sont choisis pour donner à la seconde série à peu près la volatilité de la première et une corrélation avec elle d’un demi. Ce qui sort vraiment vaut 0,45, parce que la série décalée n’est pas tout à fait décorrélée de l’originale — elle se lit -0,07 —, et ce manque est la première chose à remarquer. Une paire construite pour atteindre une cible sur soixante barres la rate de cinq points.
Corrélation et sensibilité sont le même fait
Demander de combien bouge le second instrument quand le premier bouge d’un pour cent, c’est demander une pente de régression, pas une corrélation. Les deux ne sont pas des solutions concurrentes. La pente est la corrélation multipliée par le rapport des écarts-types, le second sur le premier, et cette identité est exacte et non approchée. Sur ces deux séries, la covariance divisée par la variance de la première donne 0,4374, et la corrélation de 0,4518 multipliée par le rapport de volatilités de 0,9682 donne 0,4374 elle aussi. Le même nombre, par deux chemins.
L’identité vaut d’être connue parce que les deux moitiés échouent indépendamment. Une corrélation proche de un te dit que deux choses bougent ensemble ; elle ne te dit rien de combien. Si le second instrument est trois fois moins volatil que le premier, une corrélation de 0,95 signifie encore qu’une unité de celui-ci ne compense qu’un tiers d’une unité du premier, et les tenir un pour un laisse les deux tiers de l’exposition à découvert. Voilà comment une couverture finit avec le bon signe et la mauvaise taille, et voilà pourquoi la consigne raisonnable est de calculer les deux nombres et de les multiplier, plutôt que de lire une corrélation et de se sentir rassuré.
La seconde moitié de l’arithmétique est moins confortable. Couvre un instrument par un autre dans la meilleure proportion possible et la variance qui subsiste vaut un moins le carré de la corrélation. Élever au carré est brutal aux niveaux où l’on travaille vraiment. Une corrélation de 0,3 retire 9 pour cent de la variance et laisse 95 pour cent de l’écart-type. À 0,5 elle retire 25 pour cent et laisse 87. À 0,7, que presque tout le monde appellerait une relation forte, elle retire 49 pour cent et laisse encore 71 pour cent de la largeur d’origine. Ce n’est qu’à 0,9 que le reste passe sous la moitié, et qu’à 0,95 sous le tiers. Sur les deux séries du module, dont la corrélation vaut 0,4518, la meilleure couverture disponible retire 20 pour cent de la variance. Tout le reste de cette position est toujours là.
La fenêtre, pour la troisième fois
La leçon 38 a établi qu’une mesure appartient à sa fenêtre, et la leçon 44 a trouvé l’effet deux fois dans la volatilité. Avec la corrélation c’est pire, parce qu’elle est un rapport de trois estimations au lieu d’une et que les erreurs ne se compensent pas. Ci-dessous, la corrélation entre les deux séries du module, calculée sur chaque fenêtre de chaque longueur que la série permet.
| Barres dans la fenêtre | Fenêtres disponibles | Le plus bas | Médiane | Le plus élevé | Le plus élevé moins le plus bas |
|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 50 | -0,41 | 0,41 | 0,94 | 1,35 |
| 20 | 40 | -0,03 | 0,38 | 0,89 | 0,92 |
| 30 | 30 | 0,05 | 0,52 | 0,83 | 0,78 |
| 59 | 1 | 0,45 | 0,45 | 0,45 | 0,00 |
Regarde d’abord la dernière colonne. Le coefficient de corrélation ne peut prendre que des valeurs séparées de deux unités, de moins un à un, et une estimation à dix barres de cette paire couvre 1,35 de ces deux unités. Le problème n’est pas que l’estimation soit imprécise ; c’est qu’une fenêtre de dix barres peut annoncer une relation négative forte et une relation positive forte sur la même paire, dans la même série, à quelques barres d’écart. Rien n’a changé dans la construction. La même règle a produit chaque rendement de la série.
L’arithmétique d’échantillonnage dit exactement quelle part de cela est du bruit. Autour d’une corrélation observée de 0,50, l’intervalle à 95 pour cent obtenu à partir de 20 observations va de 0,07 à 0,77. À partir de 60 observations il va de 0,28 à 0,67. À partir d’une année entière de 252 il va encore de 0,40 à 0,59, soit un intervalle large d’un cinquième d’unité après un an de données quotidiennes. Les corrélations élevées se mesurent plus précisément — une observée de 0,90 sur 60 observations tient entre 0,84 et 0,94 —, ce qui est une maigre consolation, car pour un livre ce sont justement les valeurs élevées qui comptent.
Le signe n’est pas une propriété de la paire
Ce que l’on dit le plus souvent de deux instruments, c’est qu’ils sont corrélés négativement, comme si le signe était un fait les concernant. Il ne l’est pas. Prends la paire la plus citée de toutes, actions et obligations d’État, et donne au marché deux choses indépendantes à craindre : la croissance et les taux d’intérêt. Une bonne nouvelle de croissance fait monter les actions et nuit aux obligations, parce qu’elle relève les taux attendus plus tard. Une hausse des taux nuit aux deux, parce qu’elle actualise plus fortement chaque flux futur. Écris les actions comme croissance moins taux et les obligations comme moins croissance moins taux, et la covariance entre elles vaut la variance du choc de taux moins la variance du choc de croissance, tandis que chacune a une variance égale à leur somme.
La corrélation est donc la différence des deux variances sur leur somme, et rien d’autre. Donne au choc de croissance trois fois la variance du choc de taux et elle vaut -0,50 ; donne au choc de taux trois fois la variance du choc de croissance et elle vaut 0,50. Neuf fois dans un sens ou dans l’autre donne -0,80 et 0,80. Quand les deux comptent autant, elle vaut exactement zéro. Personne n’a changé de comportement sur tout cet intervalle et aucune relation n’a été rompue ; c’est le mélange de ce dont le marché s’inquiétait qui a changé, et la corrélation est l’affichage de ce mélange.
Deux choses en découlent, qu’il est facile de mal comprendre. D’abord, une corrélation nulle entre actions et obligations ne veut pas dire qu’elles n’ont aucun rapport : selon ce calcul elle veut dire que deux relations fortes de signes opposés s’équilibrent, ce qui est une situation tout à fait différente de celle de deux instruments qui n’ont réellement rien à voir, et elle ne restera pas à zéro. Ensuite, un changement de signe n’est pas la preuve que quelque chose s’est cassé. C’est la preuve que le choc dominant a changé, ce que les marchés font couramment et ce que l’on voit souvent venir en regardant le calendrier.
Pourquoi elle monte en crise, et quelle part de cette hausse est réelle
L’observation selon laquelle les corrélations vont à un quand tout baisse est assez vraie pour être prise au sérieux, et on l’explique d’habitude par la peur, ce qui n’explique rien. Il y a trois mécanismes et aucun n’est la peur.
Le premier est de l’arithmétique pure. Suppose que le rendement de chaque instrument soit un facteur commun plus quelque chose qui lui est propre. La corrélation entre deux d’entre eux vaut la variance du facteur commun divisée par la somme de celle-ci et de la variance idiosyncratique. Laisse maintenant le choc commun grossir sans que rien d’autre ne change : aucune sensibilité ne change, aucun participant ne se comporte autrement, rien d’aucun instrument n’est modifié. Si la variance du choc commun valait 1 contre 3 pour l’idiosyncratique, la corrélation valait 0,25. Triple l’écart-type du choc commun, ce qui porte sa variance à 9, et la corrélation vaut 0,75. C’est tout le mouvement, et il découle de ce que la corrélation est un rapport dont une crise gonfle le numérateur.
Le deuxième mécanisme est réel et ne concerne pas du tout la structure en facteurs. Un détenteur endetté qui reçoit un appel de marge vend ce qu’il possède et non ce qui baisse, si bien que des instruments sans rien de commun se mettent à bouger ensemble parce qu’un seul bilan les contient tous. C’est un nouveau facteur commun, créé par la liquidation et durant exactement autant qu’elle. C’est la raison pour laquelle une corrélation de crise peut dépasser tout ce que la structure en facteurs ordinaire produirait, et la raison pour laquelle elle peut disparaître en quelques jours.
Le troisième, c’est que la mesure elle-même est biaisée, et celui-là mérite de l’arithmétique parce qu’il est important. Une corrélation calculée seulement sur la période agitée ressort plus élevée que la corrélation de la même paire mesurée sur tout, même quand rien du tout n’a changé, parce que conditionner sur de grands mouvements d’une série sélectionne précisément les observations où la composante commune dominait. La correction divise le chiffre observé par la racine carrée de un plus la hausse proportionnelle de la variance multipliée par un moins le carré de la corrélation observée. Prends une période dont la variance a quadruplé, ce qui revient à un doublement de la volatilité : une corrélation observée de 0,80 correspond alors à une corrélation inconditionnelle de 0,55. Une observée de 0,60 correspond à 0,35. Une observée de 0,90 correspond à 0,72.
Cette correction est contestée, et le désaccord est l’état honnête de la question et non une note de bas de page. L’ajustement par la volatilité retire une grande part de la hausse apparente, mais les travaux sur les extrêmes de la distribution trouvent que la corrélation monte tout de même dans les marchés qui baissent plus que la volatilité seule ne l’explique, et qu’elle ne monte pas de la même façon dans les hausses. Une partie de l’augmentation est donc un artefact de la mesure pendant une période violente et une partie est une propriété réelle des marchés en baisse. Ce que l’arithmétique tranche, c’est que l’artefact est assez gros pour compter : citer une corrélation de crise sans dire ce qu’a fait la variance, c’est citer un nombre gonflé d’une quantité inconnue et considérable.
Ce qu’elle fait à un livre
Tout ce qui précède prépare un seul calcul, et ce calcul est la raison pour laquelle la corrélation figure au programme. Tiens deux positions de même taille dans des instruments de même volatilité, et l’écart-type de la paire vaut la racine carrée de deux fois un plus la corrélation, en unités d’une position. À une corrélation nulle cela fait 1,41 et non 2 : deux paris indépendants de même taille portent moins du double du risque, et cette différence est tout ce qu’est la diversification. À 0,3 cela fait 1,61. À 0,8, 1,90. À 1,0, exactement 2, c’est-à-dire une position avec deux tickers dessus.
Étends cela à un livre équipondéré de n’importe quelle taille et l’arithmétique reste exacte. Un livre d’instruments de même volatilité doté d’une corrélation moyenne deux à deux porte le risque d’un nombre plus petit de positions indépendantes, et ce nombre est l’effectif divisé par un plus l’effectif moins un multiplié par la corrélation moyenne. Il dépend de la corrélation moyenne deux à deux et de rien d’autre dans la structure, ce qui vaut d’être su, car cela signifie qu’on ne répare pas un livre corrélé en changeant les noms qu’il contient.
| Corrélation moyenne deux à deux | 2 noms | 5 noms | 20 noms | 50 noms |
|---|---|---|---|---|
| 0,0 | 2,00 | 5,00 | 20,00 | 50,00 |
| 0,1 | 1,82 | 3,57 | 6,90 | 8,47 |
| 0,3 | 1,54 | 2,27 | 2,99 | 3,18 |
| 0,5 | 1,33 | 1,67 | 1,90 | 1,96 |
| 0,8 | 1,11 | 1,19 | 1,23 | 1,24 |
Chaque chiffre du tableau est le nombre de positions indépendantes que le livre porte réellement. Lis la ligne 0,3 en travers : passer de cinq noms à cinquante, soit dix fois plus de travail pour tenir la chose, fait passer le compte de 2,27 paris indépendants à 3,18. Lis la colonne des 20 noms de haut en bas et l’effondrement est plus rapide encore, de vingt à corrélation nulle à 6,90 à 0,1 et 2,99 à 0,3. Le premier dixième de corrélation coûte plus de la moitié de la diversification du livre. Ce n’est pas un avertissement sur les crises ; 0,1 est un marché calme.
Le plancher mérite d’être nommé parce qu’il est exact. À mesure que le nombre de noms croît sans limite, l’écart-type du livre tend vers la racine carrée de la corrélation moyenne multipliée par celui d’un seul nom. À 0,3 ce plancher vaut 0,55, donc aucun nombre de positions ne fera descendre un livre ayant cette corrélation moyenne deux à deux sous 55 pour cent de la volatilité de l’une d’elles. À 0,8 le plancher vaut 0,89. Ajouter des noms au-delà du point où le compte cesse de monter est un travail qui n’achète rien.
Mets maintenant la crise dedans. Un livre de vingt noms à une corrélation moyenne de 0,3 porte 2,99 paris indépendants et un écart-type de 0,58 de celui d’un nom. Fais passer la corrélation à 0,75, ce que l’arithmétique ci-dessus attribue à un choc commun triplé, et le même livre porte 1,31 pari indépendant et un écart-type de 0,87. Son risque a monté de 51 pour cent et personne n’a rien fait. Pour revenir au risque que tu avais avant, chaque position doit descendre de 34 pour cent — et cette coupe est la réponse à la question que la leçon 44 avait laissée ouverte, parce que c’est une coupe que le dimensionnement par la volatilité ne fera pas pour toi. L’arithmétique de la leçon 44 dimensionne chaque position contre sa propre volatilité, une à la fois, et ne voit pas qu’elles sont devenues la même position.
Ce que cela ne règle pas
Que la corrélation que tu as mesurée soit la corrélation. C’est une estimation, et une estimation bruitée. Autour d’une observée de 0,50, l’intervalle à 95 pour cent va de 0,07 à 0,77 à partir de 20 observations, de 0,28 à 0,67 à partir de 60, et de 0,40 à 0,59 à partir d’une année entière de 252. Chaque corrélation glissante de chaque plateforme est un nombre de cette espèce. Avant de prendre un changement dans l’une pour un changement du marché, vérifie si les intervalles des deux lectures se recouvrent, car aux longueurs de fenêtre que les gens emploient ils le font presque toujours.
Que la corrélation moyenne deux à deux soit tout ce qu’il faut savoir d’un livre. C’est tout ce qu’il faut pour la variance, exactement, et c’est pourquoi le compte ci-dessus ne dépend de rien d’autre. Ce n’est pas tout ce qu’il faut pour le reste. Prends les mêmes vingt noms et la même moyenne de 0,3, mais range-les en deux blocs de dix corrélés 0,75 à l’intérieur de chaque bloc et -0,105 entre les blocs, ce qui est une matrice de corrélation légitime et fait une moyenne de 0,3 au chiffre près. Le livre affiche toujours 2,99 paris indépendants et un écart-type de 0,58, parce que cela ne dépend que de la moyenne. Mais dix de ses vingt noms forment un bloc qui porte 1,29 pari indépendant à eux tous, si bien que la moitié du livre est une seule position, et aucun chiffre du tableau ci-dessus ne peut le voir. La phrase plus haut, selon laquelle on ne répare pas un livre corrélé en réarrangeant ses noms, est vraie de la variance et de rien de plus large. Fais tourner le compte sur tes blocs autant que sur l’ensemble.
Que la corrélation mesure à quel point deux choses sont liées. Elle mesure à quel point une droite convient, et rien d’autre. Deux séries peuvent se déterminer parfaitement l’une l’autre et afficher zéro, ce qui arrive chaque fois que la relation est symétrique autour d’un point de retournement — une position qui perd sur un grand mouvement dans les deux sens a exactement cette forme. Tout ce qui figure sur cette page vaut pour des instruments dont la relation est à peu près linéaire sur la plage où tu les tiens, et les options n’en font pas partie.
Que les chiffres de ces deux séries soient ceux de qui que ce soit. La seconde a été construite à partir de la première par une règle imprimée plus haut, précisément pour que l’arithmétique soit vérifiable, et les soixante barres du module ont été faites dès le départ pour être lisibles sur un petit graphique. La forme du tableau des fenêtres se transpose — les fenêtres courtes donnent vraiment des corrélations sauvages sur des données réelles, et pour la même raison. Les chiffres précis, non, et le 0,45 non plus.
Que l’arithmétique du livre couvre un vrai livre. Le compte effectif suppose que chaque position a la même taille et chaque instrument la même volatilité. Un livre où une position vaut trois fois les autres est plus près d’être cette position-là que ne le suggère aucun décompte de tickers, et le remède est de refaire le même calcul avec les positions pondérées par ce qu’elles risquent réellement. Le résultat sur la corrélation moyenne reste exact à poids égaux et cesse de l’être dès qu’ils ne le sont plus.
Qu’une corrélation soit assez stable pour couvrir dessus. Le ratio de couverture est une corrélation multipliée par un rapport de deux volatilités : trois estimations, chacune portant sa propre erreur, réunies en un nombre qui décide ensuite d’une taille. Et cette grandeur bouge le plus exactement dans les conditions où l’on demande à la couverture de fonctionner. Une couverture dimensionnée sur une corrélation de marché calme est dimensionnée pour le marché qui n’a pas lieu quand tu en as besoin.
Exercices
- Compte les paris indépendants de ton propre livre. Prends les positions que tu tiens, calcule la corrélation de chaque paire sur les 60 dernières barres, fais la moyenne de ces corrélations et mets cette moyenne dans l’effectif divisé par un plus l’effectif moins un multiplié par la moyenne. Écris la réponse à côté du nombre de tickers sur ton écran. Si tu tiens quinze choses et que l’arithmétique dit deux et demie, tu sais désormais ce que vaut ta diversification, et ce nombre n’était disponible par aucun autre chemin.
- Juge chaque couverture sur ses deux nombres et non sur son histoire. Pour tout ce que tu tiens parce que c’est censé compenser autre chose, calcule la corrélation entre les deux, calcule le rapport de leurs écarts-types, et multiplie. Ce produit est la taille que la couverture devrait avoir, par unité de ce qui est couvert. Compare-la à la taille que tu tiens vraiment. Élève ensuite la corrélation au carré et lis quelle part de la variance la couverture retire même parfaitement dimensionnée. À 0,7 la réponse est moins de la moitié.
- Coupe ton propre historique en deux et applique la correction. Prends une paire qui t’importe, coupe son historique en une moitié plus calme et une moitié plus agitée selon la volatilité du premier instrument, et calcule la corrélation dans chacune séparément. Prends ensuite le rapport des deux variances et applique la correction ci-dessus au chiffre de la moitié agitée. Ce qui survit de l’écart à cet ajustement est la part qui n’est pas un artefact de la mesure pendant une période violente, et c’est en général bien moins que ce que la comparaison brute laissait croire.
Sources. Francis Galton, « Co-relations and their Measurement, chiefly from Anthropometric Data » (Proceedings of the Royal Society of London, 1888), pour le coefficient lui-même, introduit pour comparer des longueurs de membres et non des marchés, et défini alors exactement comme il se calcule aujourd’hui. Ronald A. Fisher, « Frequency Distribution of the Values of the Correlation Coefficient in Samples from an Indefinitely Large Population » (Biometrika, 1915), pour la distribution d’échantillonnage et la transformation d’où sortent les intervalles cités plus haut. Harry Markowitz, « Portfolio Selection » (The Journal of Finance, 1952), pour l’identité de la variance de portefeuille qui transforme une corrélation deux à deux en un énoncé sur un livre, ce qui est la seule raison pour laquelle quoi que ce soit de tout ceci figure à un programme de trading. Kristin J. Forbes et Roberto Rigobon, « No Contagion, Only Interdependence: Measuring Stock Market Comovements » (The Journal of Finance, 2002), pour le biais de conditionnement et pour la correction appliquée plus haut. François Longin et Bruno Solnik, « Extreme Correlation of International Equity Markets » (The Journal of Finance, 2001), pour l’autre côté de cet argument : la corrélation monte dans les marchés en baisse plus que l’ajustement par la volatilité ne l’explique, et ne monte pas de la même façon dans ceux qui montent.
La corrélation a monté dans le troisième mécanisme ci-dessus parce qu’un seul bilan détenait tout, ce qui pointe vers une grandeur dont ce module n’a rien mesuré. Chaque nombre des leçons 38 à 45 a été calculé à partir de prix. Aucun ne dit qui détient la position de l’autre côté de la tienne, quelle quantité il y en a, ni quelle part en a été empruntée. La leçon 46 se saisit des données de positionnement qui sont réellement publiées : ce que contiennent les rapports, le délai entre la date qu’ils décrivent et celle où ils paraissent, pourquoi une grosse position n’est pas la même chose qu’une position encombrée, et ce que l’on peut et ne peut pas conclure du fait que quelqu’un d’autre est acheteur.
La volatilité comme quantité
La grandeur dont la corrélation est un rapport, et le dimensionnement que cette leçon corrige.
Lire la leçon →Ce qu’est une unité de temps
Le problème de la fenêtre sous sa forme générale, avant que la corrélation ne l’aggrave.
Lire la leçon →Taille de position
L’arithmétique qui dimensionne une position à la fois et ne peut pas voir la seconde.
Lire la leçon →Données de positionnement
Qui détient l’autre côté, et quelle part en a été empruntée.
Lire la leçon →À but éducatif uniquement. Le trading comporte un risque de perte substantiel. Ceci n'est pas un conseil financier. Les performances passées ne garantissent pas les résultats futurs.
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