Le drawdown auquel il faut vous attendre

De quoi un drawdown est fait

Un drawdown a deux parents. L’un est votre avantage, ou son absence. L’autre est la dispersion des résultats de vos transactions, et celle-ci existe que l’avantage soit là ou non. Tout trader au fond du trou l’attribue au premier. L’arithmétique ci-dessous dit que le second fait presque tout le travail, et elle le dit avec un recouvrement que vous pouvez mesurer plutôt qu’avec un argument qu’il faut accepter.

Voici le banc d’essai, en entier, car tout sur cette page en sort. Le résultat d’une transaction est tiré d’une loi normale dont l’écart type vaut un R et dont la moyenne vaut d, l’avantage, dans les mêmes unités. Le pire drawdown d’une série est la plus grande chute depuis un sommet courant jusqu’à un point ultérieur du cumul, le sommet partant de zéro : une série qui ne repasse jamais au-dessus de son départ a donc quand même un drawdown. Chaque chiffre ci-dessous, ce sont 20 000 séries indépendantes de 156 transactions depuis la graine 20260903.

Un R sur cette page vaut un écart type d’une transaction, et ce n’est pas le R de la leçon 18, où une perdante vaut exactement un R et où la dispersion des résultats en vaut 1,49. La conversion est une seule division et il vaut la peine de la faire maintenant, parce qu’elle place dans ce tableau une leçon que vous avez déjà lue. Le système de la leçon 18 gagne 45 pour cent du temps à deux contre un, donc il fait 0,35R par transaction avec un écart type de 1,4925R. Divisez : son avantage dans les unités de cette page vaut 0,2345, ce qui tombe entre la quatrième et la cinquième ligne ci-dessous.

Le banc d’essai se contrôle en outre contre quelque chose qui n’est pas une simulation. Sans le moindre avantage, le temps continu donne un pire drawdown moyen égal à la racine de πT/2, soit 15,65R sur 156 transactions. La simulation renvoie 14,53R, et l’écart n’est pas une erreur : un chemin qui ne regarde qu’une fois par transaction rate les extrêmes entre deux regards. Affinez à 256 regards par transaction et elle renvoie 15,61R.

Avantage réel, R par transaction	Dixième le plus chanceux	Médiane	Dixième le moins chanceux	Centième le moins chanceux
0,00, rien du tout	7,56	13,26	23,33	33,95
0,05	6,35	10,65	18,59	27,81
0,10	5,51	8,82	14,96	22,57
0,20	4,29	6,52	10,49	15,71
0,30	3,50	5,17	8,03	11,66

Lisez-le en colonnes et non en lignes, car c’est dans les colonnes que se trouve la leçon. Le dixième le plus chanceux des systèmes morts atteint 7,56R. Le vivant ordinaire, à un dixième de R, atteint 8,82R. Ces deux nombres sont dans le mauvais ordre pour l’histoire que tout le monde raconte sur les drawdowns, et contempler votre propre courbe de capital ne les remettra jamais en place, parce que les distributions dont ils sortent se recouvrent sur presque toute leur longueur. Une profondeur de huit R tombe largement dans la plage ordinaire des deux.

Transformez donc la profondeur en la seule question qui vaille la peine de lui être posée. Si vous êtes D en dessous, à quel point est-ce plus probable sous un système mort que sous un vivant ? C’est un décompte de dépassements sur chacune de deux simulations, divisé.

Six R : atteint par 97,0 pour cent des systèmes morts et par 84,6 pour cent des vivants, un rapport de 1,15.

Huit R : 87,2 pour cent contre 59,5 pour cent, un rapport de 1,47.

Douze R : 58,5 pour cent contre 22,6 pour cent, un rapport de 2,59.

Vingt R : 18,2 pour cent contre 2,3 pour cent, un rapport de 7,78.

Un rapport de 1,47 signifie qu’être huit R en dessous multiplie par 1,47 les chances que vous accordiez déjà à un système mort, et pas davantage. C’est une preuve, faible. C’est très loin de suffire pour agir, et c’est ce qu’un lecteur a de plus fort au moment où il agit d’habitude. La profondeur qui trancherait vraiment quelque chose, ce sont vingt R, où le rapport atteint enfin 7,78 — et vingt R est une profondeur qu’atteignent deux systèmes vivants sur cent et dix-huit morts sur cent, si bien qu’attendre cela veut dire que la plupart de vos systèmes réellement morts ne la déclenchent jamais non plus.

Parmi ceux qui ont un jour éteint un système, presque personne n’a calculé ce rapport à la profondeur où il l’a éteint. Deux simulations et deux décomptes de dépassements : une soirée suffit pour les deux.

La feuille que ce module construit depuis la leçon 62 gagne ici une sixième colonne, et c’est la profondeur à laquelle vous vous arrêterez, écrite avant de commencer. À côté, inscrivez la part des systèmes vivants que cette profondeur écarte, tirée des chiffres de dépassement ci-dessus, car une règle d’arrêt sans cette part à côté d’elle est un nombre que quelqu’un a choisi. La leçon 70 est l’endroit où la feuille entière est dépensée d’un coup.

Le test qui, lui, répond à la question

La profondeur échoue comme preuve parce que la profondeur est bornée et que la preuve ne l’est pas. Un drawdown ne peut se creuser que jusqu’à ce que l’argent manque, mais le nombre de transactions que vous avez prises continue de monter, et chacune porte un peu d’information sur le système que vous tenez. Cessez donc de mesurer le trou et mettez-vous à accumuler les transactions.

Le test séquentiel de Wald ne tient qu’un seul nombre courant : le logarithme de combien vos transactions sont plus probables sous un système vivant que sous un mort. Après chaque transaction, il lui ajoute un terme. Pour un résultat x, en testant une moyenne de zéro contre une moyenne de d :

L → L + d x − d²/2

Deux lignes sont tracées avant la première transaction. Déclarez-le vivant quand L monte jusqu’au logarithme de (1 − β) sur α ; déclarez-le mort quand L descend jusqu’au logarithme de β sur (1 − α). À 5 pour cent de risque pour chaque erreur, cela vaut +2,9444 et −2,9444, et la symétrie découle du choix de deux taux d’erreur égaux ; ce n’est pas une hypothèse.

Une substitution, faite en entier. À un avantage d’un dixième de R, chaque transaction ajoute 0,10x − 0,005 à L. Les transactions d’un système vivant font +0,10 en moyenne, donc son pas moyen vaut 0,10 fois 0,10 moins 0,005, soit +0,005. Celles d’un mort font zéro en moyenne, donc son pas moyen vaut −0,005. Chacun marche vers sa propre ligne à la même vitesse, et chacun a 2,9444 à parcourir. Divisez : 2,9444 par 0,005 fait 589 transactions. À quarante transactions par mois, 14,7 mois.

Avantage que vous testez	Pas par transaction, d²/2	Transactions jusqu’au verdict	Mois à quarante par mois
0,05	0,00125	2 356	58,9
0,10	0,00500	589	14,7
0,20	0,02000	148	3,7
0,30	0,04500	66	1,6

Les décomptes de transactions sont arrondis vers le haut et les mois divisent l’espérance non arrondie par quarante, ce qui explique que la dernière ligne affiche 66 et 1,6 plutôt que 66 et 1,7.

Tracez maintenant les deux lignes là où un trader peut réellement les voir, c’est-à-dire sur le cumul en R. L est une droite dans ce cumul : après n transactions, L vaut 0,10 fois le cumul, moins 0,005n. Posez L à chacune des deux bornes et résolvez, et les deux lignes sont le cumul égal à n fois d sur deux, moins puis plus 2,9444 divisé par d.

À 156 transactions, l’horizon fixé par la leçon 65, cela place la ligne de mort à −21,6R et la ligne de vie à +37,2R, alors qu’un avantage vivant d’un dixième de R s’attend à avoir fait +15,6R. Les deux méritent une seconde lecture. Le test ne déclare pas un système mort avant qu’il soit 21,6R en dessous, ce qui vaut deux fois et demie la médiane du drawdown que produit un système vivant et davantage que son dixième le moins chanceux. Et il ne le déclare pas vivant à +15,6R, qui est exactement ce qu’un vivant devait livrer. Au point où un avantage réel a fait précisément ce qu’il promettait, ce test n’a toujours rien à en dire.

Une ligne de plus, et c’est une identité, non une coïncidence. À 588,89 transactions — l’espérance non arrondie, à 14,7 mois — la ligne de mort tombe exactement sur zéro. L’algèbre, c’est n fois d sur deux contre 2,9444 sur d, et à n égal à deux fois 2,9444 divisé par d au carré ces deux quantités sont le même nombre, donc elles s’annulent. Jusqu’au quinzième mois, un système qui ne vous a strictement rien rapporté n’a pas encore échoué.

Un drawdown mesure votre dispersion, pas votre avantage.

Les bornes de Wald sont une approximation, et une approximation se vérifie plutôt qu’elle ne se croit. Donnez au test des transactions issues d’un avantage vrai d’un dixième de R, 20 000 séries, graine 20260903 : il renvoie 19 092 fois vivant et 908 fois mort, un taux de faux mort de 4,5 pour cent contre les 5 pour cent pour lesquels il a été bâti. Donnez-lui des transactions issues de rien du tout : 19 035 fois mort et 965 fois vivant, 4,8 pour cent de faux vivant. Le verdict médian arrive à 435 transactions et le moyen à 545, tous deux sous les 589 de Wald, parce que l’espérance est tirée vers le haut par la minorité de séries qui errent longtemps.

Mettez cela en regard de la formule à échantillon fixe de la leçon 19, qui demandait 7,85 divisé par le carré du rapport entre avantage et bruit. À un dixième de R cela fait 785 transactions, et ce qu’elle achetait, c’était quatre chances sur cinq de repérer un avantage réel. Les deux lignes de Wald achètent dix-neuf sur vingt dans les deux sens et atteignent un verdict en 435 en médiane. Divisez : le test séquentiel fait un travail strictement meilleur sur 55 pour cent de l’échantillon, et la raison en est qu’il s’arrête dès que la réponse est claire au lieu d’attendre une date fixée d’avance par quelqu’un.

Tracez donc ce soir les deux lignes sur votre propre courbe de capital, avant le drawdown, et cessez de lire la profondeur.

Ce que cela ne règle pas

Que les transactions soient indépendantes et normales. Ni l’un ni l’autre n’est vrai d’un historique réel, et les deux défauts pointent en sens contraire. L’asymétrie flatte le tableau : passez les résultats réels de la leçon 18, +2R et −1R à 45 pour cent, et la médiane du pire drawdown sur 200 transactions vaut 9,00R, tandis que le banc d’essai normal, à moyenne et écart type identiques, donne 9,68R, une surestimation de 7,6 pour cent, parce qu’une loi aux gagnantes grandes et aux perdantes petites remonte des trous plus vite qu’une loi symétrique. Le groupement pointe dans l’autre sens et pèse sans doute davantage : des pertes qui arrivent ensemble creusent plus que des pertes dispersées, et cette page n’en modélise rien du tout.

Que la deuxième décimale veuille dire quelque chose. Deux choses la mettent en doute, et elles s’additionnent. Un R est l’écart type des résultats de vos propres transactions, estimé sur le même historique court qui vous inquiète, et sur 156 observations sa propre erreur type avoisine 5,7 pour cent ; chaque profondeur du premier tableau se met à l’échelle avec lui, donc le 8,82 vaut 8,82 à un demi-R près avant qu’on compte quoi que ce soit d’autre. La simulation ajoute son propre tremblement : relancez cette médiane sous quatre autres graines et elle tombe sur 8,84, 8,83, 8,75 et 8,84. Il y a deux décimales parce qu’un tableau a besoin d’un seul format pour toutes ses cases.

Que le test teste la bonne hypothèse. Le rapport de Wald compare deux moyennes précises, zéro et un dixième de R, et un système réel n’est presque jamais l’une des deux. Donnez-lui des transactions issues d’un avantage vrai de 0,05 — la moitié de ce qu’il teste, et pourtant un avantage parfaitement réel — et il se partage presque exactement par le milieu, en en déclarant vivants 49,91 pour cent et morts 50,09 pour cent, sur une médiane de 672 transactions. Le test ne se trompe pas là. On ne lui a jamais posé ce cas, et qui le fait tourner à un dixième de R a accepté en silence de traiter un avantage réduit de moitié comme un pile ou face.

Que l’attente soit possible, et c’est la concession qui coûte le plus. Tout ce qui précède dit que la réponse honnête demande 589 transactions et 14,7 mois, et que la ligne de mort à l’horizon des 156 transactions se situe 21,6R en dessous. Un trader qui est 21,6R en dessous à deux pour cent par transaction a perdu près du tiers du compte, et l’arithmétique de cette page lui dit de continuer. Elle ne peut pas lui dire comment, et elle ne le peut pas parce que tenir ou non est une question de taille de position et d’argent, pas une question de preuve. La leçon 20 est là où vit vraiment la réponse au problème que cette leçon diagnostique, et tout ce que cette page peut faire, c’est dire que le diagnostic et le traitement sont deux matières différentes.

Et celle qui sape le tableau lui-même : il est indexé sur l’avantage réel, la seule quantité que vous n’avez jamais. Vous ne pouvez pas y chercher votre propre ligne. Lu dans un sens, le tableau est inutilisable. Lu dans l’autre, il dit seulement qu’aucune profondeur où vous pourriez être en ce moment n’écarte la moindre ligne. C’est un résultat plus maigre que cinq colonnes de chiffres ne le laissent croire, et c’est la version honnête de ce qu’un drawdown vous dit.

Reste le cas que cette page n’a cessé d’écarter, parce qu’il n’est ni l’une ni l’autre des deux hypothèses que le test compare. La leçon 68 prend un avantage qui ne meurt pas mais se dégrade. Donnez au test un dixième de R qui s’éteint linéairement jusqu’à zéro sur exactement les 589 transactions qu’il lui faut, et il déclare le système mort dans 65,46 pour cent des cas et vivant dans 34,53 pour cent, sur une médiane de 627 transactions — de sorte qu’au moment où le verdict tombe, quel qu’il soit, la chose qu’il testait a déjà disparu.