Ce que coûte la hâte

L’impact de marché n’est pas une pénalité pour la taille. C’est le prix de la hâte, et l’estimation usuelle le dit précisément : le mouvement que vous provoquez vaut la volatilité quotidienne de votre instrument multipliée par la racine carrée de votre ordre rapporté au volume du jour. Prise à l’envers, elle dit combien vous pouvez traiter avant que l’impact n’atteigne un dixième de point de pourcentage. Sur les cinq instruments chiffrés par la leçon 57, ce seuil vaut 358 millions de dollars pour le fonds coté et 1 050 dollars pour la micro-capitalisation — un écart de 341 000 contre un, face à un écart de volume en dollars de 24 300 contre un. Le facteur 14 supplémentaire est exactement le carré du rapport de leurs volatilités. Mettez ensuite l’impact face à l’horloge que la leçon 57 a chiffrée, et l’optimum ne contient plus aucune volatilité : le meilleur nombre de séances est la racine carrée de la taille de l’ordre en jours de volume, divisée par le coût certain que vous acceptez de payer pour vous débarrasser d’un dollar de risque.

Prérequis : Leçon 11, qui a montré qu’un ordre au marché plus grand que la profondeur devant lui parcourt le carnet et paie chaque niveau qu’il mange, la leçon 57, pour le calendrier, le taux de participation et le risque de délai qui croît comme la racine carrée des séances, et la leçon 12, pour l’habitude de diviser tout coût par ce que l’instrument bouge en une journée avant de décider s’il est grand.

Au creux, les deux termes sont égaux

Prenez la petite capitalisation et regardez la somme. Un million d’actions à 30 dollars, 800 000 actions par jour, 45 pour cent par an, soit 2,84 pour cent et 85 cents par jour. L’ordre pèse 1,25 jour de volume. Travaillé sur une demi-séance, l’impact vaut 1,34 par titre et l’exposition 0,60, soit 1,95. Sur une séance, 0,95 et 0,85, soit 1,80. Sur deux, 0,67 et 1,20, soit 1,88. Sur cinq, 0,43 et 1,90, soit 2,33. Sur les 12,5 séances que prescrit la convention des dix pour cent, 0,27 et 3,01, soit 3,28.

Le creux se situe à 1,118 séance, qui est la racine carrée de 1,25, et le total y vaut 1,798 par titre. Regardez ce que font les deux termes à cet endroit : l’impact vaut 0,899 et l’exposition 0,899. Ils sont égaux, et pas par construction de ces chiffres-là.

Cette égalité est la partie utile, parce qu’elle survit là où les constantes ne survivent pas. Quelle que soit votre volatilité, quel que soit votre volume, quelle que soit votre disposition à payer pour de la certitude, le calendrier qui minimise la somme est celui où l’impact payé égale l’exposition pondérée par le risque que vous portez. Vous n’avez besoin de connaître aucune des deux constantes pour l’utiliser. Estimez les deux termes pour le calendrier que vous suivez réellement, comparez-les, et le plus grand vous dit dans quel sens bouger : plus d’impact que d’exposition veut dire trop vite, plus d’exposition que d’impact veut dire trop lentement.

Appliquez-le à la convention et tout se recolle, ce qui est la manière honnête de finir. À 12,5 séances l’impact vaut 0,269 et l’exposition brute 3,007. Elles ne sont pas près d’être égales, donc 12,5 séances ne sont pas le creux à un dollar pour un dollar : cela coûte 1,478 de plus par titre, 82 pour cent au-dessus du minimum. Pondérez l’exposition par 0,089, la disposition qu’implique la convention, et elle devient 0,269. Égales de nouveau. La convention est optimale, pour un bureau qui valorise un dollar de risque de délai à neuf cents. Savoir si le vôtre le fait est une question sur votre bureau, pas sur le marché.

Ce que cela ne règle pas

Que le coefficient vaille un. La loi telle qu’elle est écrite ici ne met aucune constante devant le terme de volatilité, et les calibrages publiés en mettent une, généralement entre un demi et un et demi selon le marché, la période et les données employées. Chaque chiffre en dollars des deux tableaux est proportionnel à elle, si bien qu’un coefficient de 0,6 porte le seuil du fonds à près de 1 milliard et celui de la micro-capitalisation à près de 2 900. Ce qui ne bouge pas, c’est le rapport entre les lignes, ni l’identité selon laquelle le facteur 14,06 supplémentaire est le carré du rapport des volatilités, ni la forme de l’arbitrage. Lisez les tableaux pour leur amplitude, pas pour leurs niveaux.

Que le chiffre de disposition soit une mesure. Il ne l’est pas. C’est le seul endroit de tout le calcul où entre la préférence de quelqu’un, et cette page a délibérément choisi de le laisser visible plutôt que de le replier dans une constante. Les traitements publiés l’appellent aversion au risque puis le choisissent, et ce choix fait le même travail que le choix des 12,5 séances qu’il est censé justifier. Rien ici ne vous dit ce que devrait être le vôtre.

Que l’impact soit un coût qu’on paie et qu’on récupère. Une partie est temporaire et revient dès que vous arrêtez, et une partie est permanente, parce que le marché lit un flux soutenu dans un seul sens comme le signe que quelqu’un sait quelque chose. L’estimation donnée ici ne les sépare pas, et la séparation compte pour quiconque va garder la position, puisque la partie permanente est un moins bon prix d’entrée et la partie temporaire une valorisation que vous verrez revenir. Tout ce qui est sur cette page est le total.

Que la volatilité à employer soit l’historique. Les deux tableaux utilisent des chiffres annuels passés divisés par la racine carrée de 252, parce que c’est le chiffre qu’on peut obtenir. Le chiffre que la loi veut réellement est la volatilité sur la fenêtre où vous allez traiter, et les deux divergent précisément quand cela compte : autour des résultats, des changements d’indice et des jours où quelqu’un d’autre travaille la même valeur. Ce que la leçon 44 dit de la volatilité comme grandeur vaut pour cette entrée comme pour toute autre, et la leçon 43 nomme les jours où le chiffre passé est précisément le mauvais.

Que cinq instruments fassent une distribution. Ils n’en font pas. Ils ont été choisis dans la leçon 57 pour couvrir un éventail, non pour en représenter un, et le chiffre de 341 000 contre un est un énoncé sur les extrémités d’un éventail choisi, pas sur le marché. L’identité qui se trouve dessous — que le rapport des seuils dépasse le rapport des volumes du carré du rapport des volatilités — est exacte et vaut pour deux instruments quelconques. Les 341 000 en sont une illustration.

Et la concession qui coûte le plus à cette leçon : elle a chiffré l’opération et non la décision. Chaque chiffre ici suppose que la position vaut la peine d’être prise et demande seulement ce que la prendre coûte. Mais la taille à laquelle l’impact mange un avantage est la taille à laquelle la position devrait être plus petite, et c’est une question de portefeuille que cette page ne touche pas. Qui lit la ligne de la petite capitalisation comme un problème d’exécution passera un après-midi sur des algorithmes. Qui la lit comme une contrainte de taille y passera dix minutes et ira plus loin. L’arithmétique ci-dessus ne peut pas vous dire laquelle des deux lectures est la vôtre, et la seconde a raison plus souvent que la première.

Exercices

1. Trouvez la taille à partir de laquelle vous êtes le gros intervenant. Pour les trois instruments que vous traitez le plus, notez le volume quotidien moyen en dollars et la volatilité quotidienne en pourcentage. Divisez 0,1 par la volatilité, élevez au carré et multipliez par le volume en dollars. C’est la position à partir de laquelle votre impact estimé atteint un dixième de point de pourcentage. Comparez-la à la position que vous prenez réellement. Dix minutes, et sur au moins l’un des trois la réponse sera inconfortable.
2. Mesurez la volatilité quotidienne au lieu de la supposer. Prenez soixante clôtures quotidiennes, calculez les variations en pourcentage d’une bougie à la suivante et prenez leur écart type. Sur la série de ce cours cela donne 1,50 pour cent par bougie, soit 23,7 pour cent en rythme annuel. Faites-le pour les mêmes trois instruments et confrontez les réponses au chiffre qu’affiche votre plateforme, car les plateformes diffèrent sur la fenêtre et sur le fait d’annualiser ou non. Une demi-heure, et tous les chiffres du premier exercice dépendent de la justesse de celui-ci.
3. Testez l’égalité sur votre propre calendrier. Prenez un ordre que vous avez réellement travaillé en morceaux. Calculez le terme d’impact pour le nombre de séances que vous avez utilisé, puis le terme d’exposition, puis leur rapport. Si l’impact est le plus grand vous alliez trop vite ; si l’exposition est la plus grande vous alliez trop lentement ; si les deux sont proches vous étiez près du creux pour la disposition que vous employiez sans le dire. Un après-midi, et contrairement aux tableaux ci-dessus cela emploie votre instrument, votre taille et vos habitudes.

Sources. Albert Kyle, « Continuous Auctions and Insider Trading » (Econometrica, 1985), pour l’impact permanent comme la mise en prix par le marché de l’information qu’il déduit de l’order flow, terme que cette page replie dans un total et ne sépare pas. Robert Almgren et Neil Chriss, « Optimal Execution of Portfolio Transactions » (Journal of Risk, 2000), pour l’arbitrage entre impact et risque de délai et pour le paramètre d’aversion au risque que cette page appelle une disposition et refuse de choisir à votre place. Robert Almgren, Chee Thum, Emmanuel Hauptmann et Hong Li, « Direct Estimation of Equity Market Impact » (Risk, 2005), pour le calibrage sur de vraies données d’ordres, d’où vient le coefficient dont se plaint la première concession. Jean-Philippe Bouchaud, Doyne Farmer et Fabrizio Lillo, « How Markets Slowly Digest Changes in Supply and Demand » (Handbook of Financial Markets, 2009), pour l’exposant en racine carrée à travers les instruments et les décennies, et pour les explications concurrentes de la raison pour laquelle ce devrait être une racine carrée.

L’impact est le prix de la vitesse. L’estimation vaut la volatilité quotidienne multipliée par la racine carrée de votre ordre rapporté au volume du jour, et l’inverser dit jusqu’où vous pouvez aller avant que cela morde : 358 millions de dollars sur un fonds indiciel, 29 900 sur une petite capitalisation, 1 050 sur une micro-capitalisation, l’écart entre les extrêmes dépassant l’écart de volume d’exactement le carré du rapport des volatilités. Sur la série propre de ce cours, dont les bougies portent un écart type de 1,50 pour cent, le seuil arrive à 0,45 pour cent d’une journée. Mettez cela face à l’horloge de la leçon 57 et l’optimum laisse tomber la volatilité comme le prix, il ne reste que la racine carrée des jours de volume de l’ordre sur un chiffre de disposition qui est une préférence et non une mesure — et à cet optimum l’impact payé et l’exposition portée sont exactement égaux, ce qui est un test que vous pouvez faire sans connaître aucune des deux constantes. La leçon 60 se tourne vers des intervenants dont le flux n’est pas un choix du tout : des teneurs vendeurs d’options, obligés d’acheter la force et de vendre la faiblesse, toute la journée, quoi qu’ils en pensent.

À but éducatif uniquement. Le trading comporte un risque de perte substantiel. Ceci n'est pas un conseil financier. Les performances passées ne garantissent pas les résultats futurs.