Ce que coûte un million d’actions

Une institution ne passe pas un ordre. Elle lance un calendrier. La contrainte qui mord n’est pas l’argent, ce sont les jours, car un bureau qui prend nettement plus d’un dixième du volume quotidien se met à pousser le prix contre lui-même. À un dixième, le temps nécessaire vaut dix fois la taille de l’ordre mesurée en jours de volume, et cette quantité varie d’un facteur de près de sept cents entre instruments parfaitement ordinaires : un million d’actions, c’est un septième de séance sur un grand fonds coté et soixante-sept séances sur une microcapitalisation. Sur soixante-sept séances le mouvement typique vaut 31 pour cent du prix. Comparez cela au spread auquel ce cours a consacré un module entier : le coût total en spread de ce même million d’actions est entre douze et quatre cent quarante-six fois plus petit que le risque de prix qu’il y a à avoir besoin du temps. À la taille, le spread est une erreur d’arrondi et l’horloge est la facture.

Prérequis : Leçon 44, pour le 15,87 et la racine du temps, qui chiffrent chaque attente ci-dessous, leçon 53, pour le demi-spread comme totalité de ce que coûte un aller-retour à la cotation, et la leçon 56, qui a mesuré ce qu’une impression hors bourse dit et ne dit pas, et a laissé l’ordre lui-même non ouvert.

Tourner le seul bouton qui existe

Le taux de participation est la seule chose que le bureau puisse changer, il vaut donc la peine de voir ce que le changer rapporte. Ci-dessous, le même million d’actions sur la petite capitalisation du tableau précédent, à 30 $ avec 45 pour cent de volatilité annuelle et 800 000 actions par jour, mené à cinq taux. L’écart-type quotidien vaut 30 fois 0,45 divisé par 15,87, soit 0,8507 $, et chaque mouvement ci-dessous est ce chiffre multiplié par la racine des séances.

Taux de participation	Séances pour finir	Mouvement typique sur la période	En part du prix
5 pour cent	25,00	4,253 $	14,18 %
10 pour cent	12,50	3,008 $	10,03 %
20 pour cent	6,25	2,127 $	7,09 %
33 pour cent	3,79	1,656 $	5,52 %
50 pour cent	2,50	1,345 $	4,48 %

Doubler le taux divise les jours par deux et l’exposition par la racine de deux ; passer de cinq pour cent à cinquante — une agressivité multipliée par dix, et la différence entre un calendrier patient et un raid — ne réduit donc le mouvement typique que de 4,25 $ à 1,35 $. C’est un facteur 3,16, la racine de dix, et c’est tout le rendement de l’agressivité. Tout ce que l’agressivité achète au-delà est un coût, dans le prix que vous poussez, et ce tableau ne le contient pas.

Et voilà la forme honnête du problème d’exécution, et la raison pour laquelle il a une littérature. Un côté de l’arbitrage décroît comme la racine des jours et l’autre croît comme quelque chose de proche du taux de participation. Traiter plus vite vous achète un coût certain, immédiat et croissant pour éviter un coût incertain qui décroît lentement. Il y a un optimum là-dedans, il dépend de chiffres qu’un lecteur particulier n’a pas, et la leçon 59 est l’endroit où la seconde moitié se chiffre.

La partie qui mérite d’être emportée ne demande aucune optimisation. Un ordre qui pèse six jours de volume ne peut être exécuté sur aucun calendrier qui rende le risque de temps petit, car à tous les taux qu’un bureau accepterait réellement il prend des semaines, et des semaines à 60 pour cent de volatilité valent un tiers du prix. Aucun algorithme ne répare cela. La décision qui comptait a été prise quand quelqu’un a choisi de détenir six jours de la chose.

Ce que cela ne règle pas

Que le volume quotidien moyen soit une constante. C’est la moyenne glissante d’une quantité qui double sur une nouvelle et se réduit de moitié en août, et elle est la plus forte précisément les jours où un bureau préférerait ne pas traiter. Un calendrier calé sur le chiffre du mois dernier finit tôt une semaine chargée et tard une semaine calme, et l’erreur n’est pas symétrique : ce sont les semaines calmes qui font mal, puisqu’elles prolongent justement l’exposition que le calendrier existe pour gérer.

Que la participation se mesure comme le tableau la mesure. Dix pour cent du volume d’hier et dix pour cent d’un volume qui inclut vos propres échanges sont deux chiffres différents. En résolvant le second on obtient par jour des actions égales au taux divisé par un moins le taux, si bien qu’un vrai dixième finit en 11,25 séances là où le tableau dit 12,50, et un vrai tiers en 2,54 là où le tableau dit 3,79. Le tableau surestime les jours de 11 pour cent à un dixième et de 49 pour cent à un tiers, il surestime donc aussi l’exposition, et d’autant plus que vous poussez fort.

Que la racine du temps tienne sur douze séances. La leçon 44 a mesuré exactement cette mise à l’échelle sur la série propre à ce cours et a trouvé qu’elle surestimait l’amplitude réelle sur vingt bougies de plus de moitié, parce que les bougies s’appuyaient les unes sur les autres. La même objection vaut ici et dans le même sens, les mouvements des deux tableaux sont donc plus probablement trop grands que trop petits. L’ordre entre les cinq instruments y survit, puisque chaque ligne est mise à l’échelle de la même façon ; les chiffres absolus doivent se lire avec du jeu.

Qu’un mouvement typique soit un coût. Il ne l’est pas. Un écart-type est symétrique, et une fois sur deux la dérive sur ces douze séances joue en faveur de l’acheteur et l’ordre finit à un prix moyen meilleur que celui du départ. Ce que cette leçon a mesuré, c’est la taille de l’incertitude, la chose sur laquelle un bureau est jugé et celle qui vaut un coup de téléphone à un gérant, pas une perte espérée. La perte espérée est la part qui ne bouge que dans un sens, et cette part est l’impact, que la leçon 59 chiffre et que cette page ne chiffre pas.

Que dix pour cent soit le chiffre. C’est une convention entourée d’une large fourchette : un bureau peut mener trois pour cent sur un nom qui l’inquiète et trente sur un autre, et l’enchère de clôture est une impression unique sur laquelle un calendrier peut s’appuyer, pas un taux qu’il doit tenir. L’identité de l’affirmation survit à n’importe lequel de ces choix — les jours sont la taille en jours de volume divisée par le taux —, mais les séances précises des tableaux bougent avec le taux que vous supposez, et le second tableau est là pour montrer de combien.

Et la concession qui coûte le plus à cette leçon : elle a chiffré l’horloge et pas l’alternative. Chaque chiffre ici prend la position comme donnée et demande ce que coûte d’y entrer, ce qui est la question du bureau d’exécution et non la question intéressante. L’intéressante a été tranchée des mois plus tôt par celui qui a décidé de détenir six jours de volume d’une microcapitalisation, et aucun calendrier, aucun algorithme ne renverse cette décision. La conclusion honnête est donc que l’essentiel de ce qu’on appelle un problème d’exécution est un problème de taille déguisé en exécution, et l’arithmétique qui l’aurait empêché — celle de la leçon 9, appliquée à la liquidité et non au risque — n’apparaît nulle part sur cette page. C’est une omission réelle et elle n’est pas accidentelle : c’est la partie qui aurait rendu les tableaux inutiles.

Exercices

1. Placez votre propre position sur l’échelle des jours de volume. Prenez votre plus grosse ligne, divisez le nombre d’actions par le volume quotidien moyen de l’instrument, et multipliez par dix. C’est à peu près le nombre de séances qu’un bureau à un dixième du volume mettrait à la déboucler. Pour presque tout compte de particulier la réponse est une fraction de minute, et c’est précisément l’intérêt de le savoir : cela vous dit lesquelles des quatre dernières leçons décrivent un problème que vous avez. Cinq minutes, et faites-le sur la chose la moins liquide que vous détenez plutôt que sur la plus grosse.
2. Chiffrez l’horloge sur un nom que vous suivez vraiment. Prenez sa volatilité annuelle par les quatre étapes de la leçon 44, divisez par 15,87 pour une journée, puis calculez le mouvement typique sur une, cinq et vingt séances. Comparez chacun au demi-spread. Le rapport passe de dominé par le spread à dominé par le temps quelque part dans la première heure, et trouver où il bascule sur votre instrument vous dit quels coûts méritent votre attention à votre durée de détention. Vingt minutes.
3. Regardez un calendrier se terminer. Prenez une moyenne capitalisation et relevez son volume dans chaque tranche de cinq minutes d’une séance, puis calculez ce que vaudrait un dixième de chaque tranche. C’est la forme d’un ordre de participation : quelques centaines d’actions à la minute à midi et plusieurs milliers vers la clôture. Regardez ensuite les impressions réelles dans les heures calmes du milieu de journée et comptez combien la dépassent. Sur la plupart des valeurs, presque aucune. Une après-midi, et cela transforme l’argument de la leçon 56 en quelque chose que vous avez vu.

Sources. André Perold, « The Implementation Shortfall: Paper versus Reality » (The Journal of Portfolio Management, 1988), pour la mesure dont toute cette leçon est une composante : l’écart entre le prix au moment de la décision et le prix réellement obtenu. Robert Almgren et Neil Chriss, « Optimal Execution of Portfolio Transactions » (Journal of Risk, 2001), pour l’arbitrage entre risque de temps et impact et pour la raison qui fait de la réponse un calendrier et non une transaction. Albert Kyle, « Continuous Auctions and Insider Trading » (Econometrica, 1985), pour la raison qui pousse un opérateur informé à étaler son ordre, ce qui est le modèle que tout ce qui précède suppose en silence. Michael Barclay et Jerold Warner, « Stealth Trading and Volatility » (Journal of Financial Economics, 1993), pour le résultat selon lequel l’essentiel du mouvement de prix associé à un opérateur informé arrive dans des transactions de taille moyenne plutôt que grandes, ce qui est l’allure d’un calendrier vu de l’extérieur.

Un ordre de taille est un calendrier, et le calendrier est fixé par un seul chiffre : l’ordre divisé par le volume quotidien, fois dix. Un million d’actions, c’est un septième de séance sur un grand fonds et soixante-sept séances sur une microcapitalisation, et sur ces soixante-sept séances le mouvement typique vaut 31 pour cent du prix. Face à cela, le coût total en spread du même ordre est entre douze et quatre cent quarante-six fois plus petit. Tourner le bouton de la participation d’un vingtième du volume à la moitié ne réduit l’exposition que de la racine de dix, ce qui est tout le prix de l’agressivité et la raison pour laquelle on en discute. Rien de tout cela n’est un problème qu’un compte de particulier possède, et l’utilité de le savoir est de cesser de lire une bande d’impressions de deux cents actions comme la preuve de quoi que ce soit, sinon d’un bureau qui déroule son calendrier. La leçon 58 va aux instruments dans lesquels ce calendrier s’écrit : les types d’ordre qu’un bureau professionnel utilise vraiment, et ce que chacun d’eux livre.

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