Los pesos que puedes sostener

La lección 72 tasó una cartera en la que cada posición era del mismo tamaño y dejó a esta página la pregunta de cuánto va en cada una. Aquí está la respuesta que da la maquinaria estándar, sobre las cuatro reglas de la lección 71 y los mismos veintinueve movimientos: 0,746, 0,078, menos 0,672 y 0,848. Recorta la desviación típica del día un 9,72 por ciento, que con cuatro posiciones del dos por ciento cada una son 0,71 puntos porcentuales del día. También te pide ponerte corto en dos tercios de una de tus propias reglas y cargar 2,35 dólares de posición por cada dólar de la cuenta. Prohíbe el corto y la respuesta pasa a ser 0,711 y 0,289 con dos reglas a cero, lo que conserva el 80 por ciento del recorte, sostiene un dólar de posición por dólar de cuenta y gana a la respuesta sin restricciones sobre tus propios datos hasta que tengas sesenta días de ellos.

Requisitos previos: Lección 72, por la cartera de pesos iguales que esta página vuelve a ponderar, lección 71, por las cuatro reglas y sus seis correlaciones, y la lección 12, por el coste que crece con lo que operas.

Qué contiene realmente el objetivo

La varianza mínima es una línea. Toma la matriz de covarianzas de lo que estás sosteniendo, invértela, multiplícala por una columna de unos y divide por la suma para que los pesos sumen uno. Ese es el método entero, tiene forma cerrada, y cualquier hoja de cálculo lo resuelve sobre cuatro reglas en un minuto.

w = Σ⁻¹1 / (1′Σ⁻¹1)

Lee lo que hay dentro y, más importante, lo que no. No hay rendimientos esperados, y es deliberado: la lección 67 necesitaba 589 operaciones para resolver si una décima de un R era real, así que una estimación de lo que cada regla va a ganar es la cifra menos fiable del edificio, y un objetivo que la necesita hereda eso. No hay costes. No hay ninguna restricción. La fórmula devuelve un peso negativo sin comentarios, y negativo quiere decir corto.

Las entradas son las cuatro reglas que eligió la lección 71, una media de 2 barras contra una de 5, una de 3 contra una de 10, una de 5 contra una de 20 y una de 8 contra una de 30, sobre los veintinueve movimientos en los que está definida cada regla de la rejilla de la lección 63. Sus seis correlaciones son las de la lección 71, de 0,6254 a 0,9648. Sus desviaciones típicas están cerca unas de otras: 0,6015, 0,7104, 0,7278 y 0,7082 en las unidades que devuelven las reglas.

Merece la pena poner cuatro ponderaciones una al lado de la otra. Pesos iguales es lo que supuso la lección 72. Varianza inversa es lo que la mayoría entiende por paridad de riesgo cuando va con prisa: pondera por uno partido por la varianza de cada regla e ignora las correlaciones del todo. Después la respuesta de varianza mínima con el corto prohibido, y la misma respuesta sin nada prohibido.

Ponderación	Pesos	Posición por dólar	Desviación típica del día	Recorte
Iguales	0.25, 0.25, 0.25, 0.25	1,000	0,62719	—
Varianza inversa	0.320, 0.230, 0.219, 0.231	1,000	0,61520	1,91 %
Varianza mínima, sin ponerse corto	0.711, 0, 0, 0.289	1,000	0,57813	7,82 %
Varianza mínima	0,746, 0,078, −0,672, 0,848	2,345	0,56624	9,72 %

Empieza por el tamaño de la discusión. La distancia entera de la fila de arriba a la de abajo es 0,06095, frente a un punto de partida de 0,62719. Todo lo que la construcción de carteras tiene que decir sobre esta cartera, desde la regla más burda hasta el óptimo exacto calculado con las respuestas en la mano, vale un 9,72 por ciento de la desviación típica del día. Al dos por ciento por posición y con la correlación media de 0,7695 que la lección 71 da para estas cuatro, los pesos iguales hacen el día del 7,276 por ciento y el óptimo lo hace del 6,568 por ciento. El premio entero son siete décimas de un punto porcentual al día. Merece la pena tenerlo y no merece grandes molestias, y saber cuál de las dos cosas es antes de empezar es la mayor parte de para lo que sirve esta página.

Lee después la segunda fila, porque es la que la gente de verdad usa. La varianza inversa recoge un 1,91 por ciento del 9,72 disponible, o sea una quinta parte. Falla porque las cuatro desviaciones típicas son casi iguales, de modo que ponderar por ellas apenas mueve nada, y porque el premio entero en esta cartera vive en las correlaciones. Una ponderación que ignora las correlaciones sobre un conjunto de reglas cuyas correlaciones van de 0,63 a 0,96 está resolviendo un problema que esta cartera no tiene.

Y luego las dos que importan. La respuesta sin restricciones le quita al día otros 1,90 puntos porcentuales, llevando el recorte del 7,82 por ciento al 9,72, y compra eso con una pata corta de 0,672 y una posición bruta de 2,345 dólares por cada dólar de cuenta. La restricción cuesta una quinta parte del premio y quita todo el apalancamiento.

Casi nadie ha calculado las dos. La cifra sin restricciones es lo que devuelven por defecto todos los manuales y todas las bibliotecas de código, la restringida está cuatro líneas más allá, y la diferencia entre ellas es la diferencia entre una cartera que puedes describir y una cartera que puedes sostener.

La ficha del módulo 9 gana una tercera columna, y es el peso que esta página da a cada regla, escrito dos veces: una tal como lo devuelve el optimizador y otra con el corto prohibido. La lección 75 es donde la ficha entera se gasta de una vez.

Lo que veintinueve días pueden pagar

Los pesos de arriba salieron de diez números — cuatro varianzas y seis covarianzas — estimados a partir de veintinueve observaciones. No son obviamente demasiado pocas y no son obviamente suficientes, así que mídelo en vez de discutirlo.

Trata la covarianza medida arriba como si fuera la verdad. Extrae T observaciones de ella, ajusta el optimizador a la extracción como si fuera todo lo que tuvieras, y después puntúa los pesos resultantes contra la verdad de la que partiste. La distancia entre la puntuación y el óptimo verdadero es el error de estimación, y es lo único que contiene este experimento.

Observaciones	Desviación típica que los pesos ajustados entregan de verdad	Parte del premio que llega	Gana a la respuesta sin cortos
29	0,59971	45,1 %	21,7 %
60	0,58154	74,9 %	50,1 %
125	0,57312	88,7 %	82,9 %
250	0,56969	94,3 %	—
1.000	0,56708	98,6 %	—

La primera fila es el veredicto honesto sobre los pesos con los que abrió esta página. Ajustado sobre veintinueve observaciones, el optimizador sin restricciones entrega 0,59971 en vez del 0,56624 que imprime, o sea un 45,1 por ciento del premio en vez de todo él. Aun así gana a los pesos iguales, y con holgura: en esta cartera el optimizador no es un error, y la creencia popular de que dividir entre N siempre gana no es lo que dice la aritmética.

La cuarta columna es el hallazgo. Ajustada sobre veintinueve observaciones, la respuesta sin restricciones gana a la restringida el 21,7 por ciento de las veces. Cuatro de cada cinco veces, los pesos que no puedes sostener son también los pesos que pierden. Hacen falta sesenta observaciones para que sea un cara o cruz y 125 para que la respuesta sin restricciones gane cinco de cada seis veces, y 125 observaciones diarias son seis meses de cierres.

Ahora mira los pesos en sí en vez de lo que entregan. Reextrae los veintinueve días con reemplazo cuatro mil veces, vuelve a ajustar y lee los noventa resultados centrales de cada cien:

2-y-5, ajustado en 0,746: cae entre 0,377 y 1,081.

3-y-10, ajustado en 0,078: cae entre menos 0,916 y 0,635, y es negativo el 44,7 por ciento de las veces.

5-y-20, ajustado en menos 0,672: cae entre menos 1,504 y menos 0,011.

Posición bruta, ajustada en 2,345: mediana 2,795, y por encima de tres dólares por dólar de cuenta en el 31,9 por ciento de las reextracciones.

La desviación típica que esos pesos entregan es estable. Los pesos no lo son. Un número que en tus datos es 0,078 y en casi la mitad de sus propias reextracciones es negativo no es una decisión sobre una regla, es el residuo de diez estimaciones peleándose por veintinueve días, e imprimirlo con tres cifras es la parte que engaña.

Y ahí es donde la restricción se gana el sueldo, y hace algo más que protegerte del apalancamiento. Prohibir pesos negativos es aritméticamente muy parecido a admitir que la covarianza está mal medida y tirar de ella hacia algo más simple: encoge la covarianza de esta cartera a mitad de camino hacia la única correlación media que usó la lección 72 y el optimizador devuelve una posición bruta de 1,076 y una desviación típica de 0,57831, frente al 1,000 y el 0,57813 de la restricción. Dos admisiones distintas de la misma ignorancia, que acaban a dos diezmilésimas la una de la otra.

Y la respuesta restringida pone 5-y-20 a cero, que es justo la regla que la lección 71 te dijo que quitaras por tener la correlación más alta con el resto. Dos objetivos distintos, uno medido en correlaciones y otro en varianza, eligen la misma regla para eliminar.

Así que corre el optimizador con el corto prohibido, y quédate con el 7,82 por ciento que puede sostener antes que con el 9,72 que no puede.

Lo que esto no resuelve

Que la varianza mínima sea el objetivo. Es el objetivo que menos necesita, no el que quieres. Nada dentro de él sabe qué regla gana dinero, así que una regla tranquila y sin valor recoge peso por ser tranquila. Todos los umbrales de este curso se aplican a cada regla antes de que los pesos de esta página se apliquen al conjunto: el listón de la lección 64, la prueba de la lección 67, la condición de filtro de la lección 70. Ponderar una cartera de cuatro reglas muertas a varianza mínima produce una manera muy estable de perder dinero.

Que el 9,72 por ciento sea gratis. La posición bruta pasa de un dólar a 2,345, y todo coste que crece con lo que operas crece con ella: el diferencial de la lección 12 a la entrada y a la salida, el impacto de la lección 59 a la entrada, la capacidad de la lección 68 sobre el tamaño que puedes sostener siquiera. El objetivo no contiene ninguno, así que comprará con gusto siete décimas de un punto porcentual de desviación típica diaria a cambio de duplicar la factura. En el fondo de la lección 12 ese negocio sale a cuenta claramente y en el micro cap claramente no, y la fórmula no puede distinguirlos porque nunca le enseñaron las cotizaciones.

Que la simulación mida el error entero. No lo hace, y adula al optimizador por construcción. La verdad de la que extrae es la misma covarianza que produjeron los veintinueve días, así que lo que la tabla tasa es error de estimación y nada más. No dice nada sobre que la covarianza esté equivocada de entrada, que es el problema mayor y el de la página siguiente.

Que cuatro reglas sea el caso difícil. Es el fácil. Diez parámetros a partir de veintinueve observaciones es incómodo; veinte reglas son 210 parámetros a partir de los mismos veintinueve días, y con veintinueve reglas la matriz medida deja de tener inversa siquiera, así que el optimizador no devuelve una respuesta mala, no devuelve ninguna. El número de parámetros crece con el cuadrado del número de reglas y los datos no crecen con él, y por eso todo tratamiento profesional de este problema va de encoger, restringir o factorizar la matriz en vez de invertir lo que mediste.

Que los pesos sean una decisión sobre las reglas. Son una decisión sobre esta cartera en estos días. Añade una quinta regla y los cuatro pesos se mueven, porque el objetivo no tiene noción del mérito propio de una regla, solo de su contribución a un conjunto concreto. La tercera columna de la ficha es por tanto lo menos transportable que hay en ella, y por eso se escribe dos veces y por eso la segunda escritura es la que se usa.

Y la concesión que más cuesta: esta página trató la covarianza como un objeto medido sobre una ventana, y no es un objeto. Parte los mismos veintinueve movimientos por la mitad y la correlación media entre las cuatro reglas es 0,5966 en los primeros quince y 0,8800 en los últimos catorce, y los pesos ajustados sobre la primera mitad son 0,448, 0,273, menos 0,498 y 0,777 en vez de 0,746, 0,078, menos 0,672 y 0,848. En los últimos catorce es peor que inestable: tres de las cuatro reglas mantienen la misma posición cada uno de esos días, sus correlaciones son exactamente uno, y la matriz de covarianzas no tiene inversa ninguna. La lección 74 empieza ahí, en la mitad de tus propios datos sobre la que la maquinaria de esta página no funciona.

Problemas

1. Pondera tu propia cartera de dos maneras. Toma los rendimientos diarios de las reglas que corres, construye la matriz de covarianzas en una hoja de cálculo, y calcula los pesos de varianza mínima con y sin un suelo de cero. Media hora, y acabas con dos conjuntos de pesos y un número, la diferencia en la desviación típica del día entre ellos, que es lo que se le está pagando a la pata corta.
2. Tasa el premio antes de perseguirlo. Calcula la desviación típica de tu cartera con pesos iguales y en el óptimo sin restricciones, y toma el cociente. Diez minutos, y acabas con un número, lo máximo que reponderar puede hacer nunca por ti, que comparas con el 9,72 por ciento de esta página y con lo que subirían tus costes a la posición bruta del óptimo.
3. Reextrae tus propios pesos. Extrae tus propios días con reemplazo, vuelve a ajustar los pesos, y hazlo doscientas veces. Una tarde, y acabas con un número por regla, la parte de las reextracciones en las que su peso es negativo, y cualquier regla cuya parte esté cerca de la mitad no ha recibido un peso de tus datos.

Fuentes. Harry Markowitz, «Portfolio Selection» (The Journal of Finance, 1952), por el objetivo que calcula esta página y por la observación, hecha desde el principio y casi siempre olvidada, de que sus entradas son estimaciones. Richard O. Michaud, «The Markowitz Optimization Enigma: Is Optimized Optimal?» (Financial Analysts Journal, 1989), por el argumento de que el optimizador maximiza los errores de sus entradas junto con todo lo demás, que es la segunda tabla leída en una frase. Ravi Jagannathan y Tongshu Ma, «Risk Reduction in Large Portfolios: Why Imposing the Wrong Constraints Helps» (The Journal of Finance, 2003), por el resultado de que prohibir posiciones cortas equivale a encoger la matriz de covarianzas, que es por lo que la respuesta restringida y la encogida acaban aquí en el mismo sitio. Victor DeMiguel, Lorenzo Garlappi y Raman Uppal, «Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient Is the 1/N Portfolio Strategy?» (The Review of Financial Studies, 2009), por las ventanas de estimación que una cartera optimizada necesita antes de ganar a los pesos iguales, que es la tercera columna de la segunda tabla hecha bien y a escala.

Solo con fines educativos. Operar conlleva un riesgo sustancial de pérdida. No es asesoramiento financiero. Los resultados pasados no garantizan resultados futuros.