Correlación

Dos series cuya correlación sobre la serie entera es 0,45 se leen entre -0,41 y 0,94 en ventanas de diez barras de las sesenta propias de este módulo, y entre -0,03 y 0,89 en ventanas de veinte, que es casi todo el rango que la medida puede tomar. La correlación es una división: la covarianza de dos series de rendimientos dividida por el producto de sus desviaciones típicas, y lo que sale no es una propiedad del par. Tres resultados exactos sobreviven a ese ruido, y son la razón de hacer la división. La correlación y la sensibilidad son el mismo hecho visto dos veces, porque una pendiente de regresión es la correlación multiplicada por el cociente de las dos desviaciones típicas — de modo que una cobertura puede llevar el signo correcto y el tamaño equivocado. Una cobertura le quita a la varianza el cuadrado de la correlación y no la correlación misma, así que 0,7 deja en pie el 71 por ciento de la desviación típica original. Y una cartera de veinte posiciones con una correlación media por pares de 0,3 carga el riesgo de tres independientes; con 0,8 carga el riesgo de 1,2. Ni un solo tamaño de posición cambió.

Requisitos previos: Lección 44, que calculó la magnitud de la que la correlación es un cociente, la lección 38, cuyo problema de la ventana aparece aquí por tercera vez, y la lección 20, cuya aritmética dimensiona una posición a la vez y necesita esta lección en cuanto hay dos.

Lo que le hace a una cartera

Todo lo anterior es preparación para un cálculo, y ese cálculo es la razón de que la correlación esté en el temario. Ten dos posiciones del mismo tamaño en instrumentos de la misma volatilidad y la desviación típica del par es la raíz cuadrada de dos por uno más la correlación, en unidades de una posición. Con una correlación de cero eso es 1,41 y no 2: dos apuestas independientes del mismo tamaño cargan menos del doble de riesgo, y esa diferencia es todo lo que la diversificación es. Con 0,3 es 1,61. Con 0,8 es 1,90. Con 1,0 es exactamente 2, que es una posición con dos tickers encima.

Extiende eso a una cartera equiponderada de cualquier tamaño y la aritmética sigue siendo exacta. Una cartera de instrumentos con la misma volatilidad y una correlación media por pares carga el riesgo de un número menor de posiciones independientes, y ese número es el recuento dividido por uno más el recuento menos uno por la correlación media. Depende de la correlación media por pares y de nada más de la estructura, lo cual conviene saber, porque quiere decir que una cartera correlada no se arregla cambiando qué nombres la componen.

Correlación media por pares	2 nombres	5 nombres	20 nombres	50 nombres
0,0	2,00	5,00	20,00	50,00
0,1	1,82	3,57	6,90	8,47
0,3	1,54	2,27	2,99	3,18
0,5	1,33	1,67	1,90	1,96
0,8	1,11	1,19	1,23	1,24

Cada cifra de la tabla es el número de posiciones independientes que la cartera lleva de verdad. Lee la fila 0,3 a lo ancho: pasar de cinco nombres a cincuenta, multiplicar por diez el trabajo de llevar el asunto, lleva la cuenta de 2,27 apuestas independientes a 3,18. Lee la columna de 20 nombres hacia abajo y el desplome es aún más rápido, de veinte con correlación cero a 6,90 con 0,1 y a 2,99 con 0,3. La primera décima de correlación cuesta más de la mitad de la diversificación de la cartera. Eso no es una advertencia sobre crisis; 0,1 es un mercado tranquilo.

El suelo merece nombrarse porque es exacto. A medida que el número de nombres crece sin límite, la desviación típica de la cartera se acerca a la raíz cuadrada de la correlación media por la de un solo nombre. Con 0,3 ese suelo es 0,55, así que ningún número de posiciones llevará una cartera con esa correlación media por pares por debajo del 55 por ciento de la volatilidad de una de ellas. Con 0,8 el suelo es 0,89. Añadir nombres pasado el punto en que la cuenta deja de subir es trabajo que no compra nada.

Ahora mete la crisis dentro. Una cartera de veinte nombres con una correlación media de 0,3 lleva 2,99 apuestas independientes y una desviación típica de 0,58 de un nombre. Mueve la correlación a 0,75, que es lo que la aritmética de arriba atribuye a un choque común triplicado, y la misma cartera lleva 1,31 apuestas independientes y una desviación típica de 0,87. Su riesgo subió un 51 por ciento y nadie operó. Para volver al riesgo que tenías antes, cada posición tiene que bajar un 34 por ciento — y ese recorte es la respuesta a la pregunta que la lección 44 dejó abierta, porque es un recorte que dimensionar por volatilidad no hace por ti. La aritmética de la lección 44 dimensiona cada posición contra su propia volatilidad, de una en una, y es ciega al hecho de que han empezado a ser la misma posición.

Lo que esto no resuelve

Que la correlación que mediste sea la correlación. Es una estimación, y ruidosa. Alrededor de una observada de 0,50, el intervalo al 95 por ciento a partir de 20 observaciones va de 0,07 a 0,77, a partir de 60 observaciones de 0,28 a 0,67, y a partir de un año entero de 252 observaciones de 0,40 a 0,59. Cada correlación móvil de cada plataforma es un número de esta clase. Antes de tomar un cambio en una de ellas por un cambio del mercado, comprueba si los intervalos de las dos lecturas se solapan, porque con las longitudes de ventana que usa la gente casi siempre lo hacen.

Que la correlación media por pares sea todo lo que necesitas saber de una cartera. Lo es para la varianza, exactamente, que es por lo que la cuenta de arriba no depende de nada más. No lo es para nada más. Toma los mismos veinte nombres y la misma media de 0,3, pero ordénalos como dos bloques de diez correlacionados 0,75 dentro de cada bloque y -0,105 entre ellos, que es una matriz de correlación legítima y promedia 0,3 hasta el dígito. La cartera sigue mostrando 2,99 apuestas independientes y una desviación típica de 0,58, porque eso depende solo de la media. Pero diez de sus veinte nombres son un bloque que carga 1,29 apuestas independientes entre todos ellos, así que media cartera es una sola posición, y ninguna cifra de la tabla de arriba puede verlo. La frase de más arriba sobre no poder arreglar una cartera correlacionada reordenando sus nombres es cierta de la varianza y de nada más ancho. Corre la cuenta sobre tus bloques además de sobre el conjunto.

Que la correlación mida lo relacionadas que están dos cosas. Mide lo bien que encaja una recta, y nada más. Dos series pueden estar perfectamente determinadas la una por la otra y marcar cero, cosa que ocurre siempre que la relación es simétrica alrededor de un punto de giro — una posición que pierde con un movimiento grande en cualquiera de las dos direcciones tiene exactamente esa forma. Todo lo de esta página vale para instrumentos cuya relación sea aproximadamente lineal en el rango en que los tienes, y las opciones no están entre ellos.

Que las cifras de estas dos series sean las de cualquiera. La segunda se construyó a partir de la primera con una regla impresa arriba, precisamente para que la aritmética pudiera comprobarse, y las sesenta barras del módulo se hicieron desde el principio para que se leyeran en un gráfico pequeño. La forma de la tabla de ventanas se traslada — las ventanas cortas dan de verdad correlaciones salvajes sobre datos reales, y por la misma razón. Las cifras concretas no, y el 0,45 tampoco.

Que la aritmética de cartera cubra una cartera real. El recuento efectivo supone que cada posición es del mismo tamaño y cada instrumento igual de volátil. Una cartera con una posición tres veces mayor que las demás está más cerca de ser esa posición que lo que cualquier recuento de tickers sugiere, y el arreglo es hacer el mismo cálculo con las posiciones ponderadas por lo que arriesgan de verdad. El resultado sobre la correlación media sigue siendo exacto con pesos iguales y deja de serlo en cuanto no lo son.

Que una correlación sea lo bastante estable para cubrirse con ella. La razón de cobertura es una correlación multiplicada por un cociente de dos volatilidades: tres estimaciones, cada una con su error, combinadas en un número que luego decide un tamaño. Y la magnitud se mueve más justo en las condiciones en las que se le pide a la cobertura que funcione. Una cobertura dimensionada con una correlación de mercado tranquilo está dimensionada para el mercado que no está ocurriendo cuando la necesitas.

Problemas

1. Cuenta las apuestas independientes de tu propia cartera. Toma las posiciones que tienes, calcula la correlación de cada par sobre las últimas 60 barras, promedia esas correlaciones y mete el promedio en el recuento dividido por uno más el recuento menos uno por el promedio. Escribe la respuesta al lado del número de tickers de tu pantalla. Si tienes quince cosas y la aritmética dice dos y media, ya sabes cuánto vale tu diversificación, y el número no estaba disponible de ninguna otra manera.
2. Comprueba cada cobertura por sus dos números y no por su relato. Para cualquier cosa que tengas porque se supone que compensa otra, calcula la correlación entre las dos, calcula el cociente de sus desviaciones típicas y multiplica. Ese producto es el tamaño que la cobertura debería tener, por unidad de lo cubierto. Compáralo con el tamaño que tienes de verdad. Luego eleva la correlación al cuadrado y lee cuánta varianza quita la cobertura incluso cuando está dimensionada a la perfección. Con 0,7 la respuesta es menos de la mitad.
3. Parte tu propia historia y aplica la corrección. Toma un par que te importe, parte su historia en la mitad más tranquila y la más volátil según la volatilidad del primer instrumento, y calcula la correlación en cada una por separado. Toma después el cociente de las dos varianzas y aplica la corrección de arriba a la cifra de la mitad volátil. La diferencia que sobreviva a ese ajuste es la parte que no es un artefacto de medir durante un tramo violento, y suele ser bastante menor de lo que sugería la comparación en bruto.

Fuentes. Francis Galton, «Co-relations and their Measurement, chiefly from Anthropometric Data» (Proceedings of the Royal Society of London, 1888), por el coeficiente mismo, introducido para comparar longitudes de miembros y no mercados, y definido entonces exactamente como se calcula ahora. Ronald A. Fisher, «Frequency Distribution of the Values of the Correlation Coefficient in Samples from an Indefinitely Large Population» (Biometrika, 1915), por la distribución muestral y la transformación de la que salen los intervalos citados arriba. Harry Markowitz, «Portfolio Selection» (The Journal of Finance, 1952), por la identidad de la varianza de cartera que convierte una correlación por pares en una afirmación sobre una cartera, que es la única razón por la que algo de esto está en un temario de trading. Kristin J. Forbes y Roberto Rigobon, «No Contagion, Only Interdependence: Measuring Stock Market Comovements» (The Journal of Finance, 2002), por el sesgo de condicionamiento y por la corrección aplicada arriba. François Longin y Bruno Solnik, «Extreme Correlation of International Equity Markets» (The Journal of Finance, 2001), por el otro lado de ese argumento: la correlación sube en mercados que caen más de lo que el ajuste por volatilidad explica, y no sube igual en los que suben.

La correlación subió en el tercer mecanismo de arriba porque un solo balance lo tenía todo, y eso apunta a una magnitud sobre la que este módulo no ha medido nada. Cada número de las lecciones 38 a 45 se calculó a partir de precios. Ninguno dice quién tiene la posición del otro lado de la tuya, cuánta hay de ella, ni cuánta se pidió prestada. La lección 46 se ocupa de los datos de posicionamiento que sí se publican: qué contienen los informes, el desfase entre la fecha que describen y la fecha en que aparecen, por qué una posición grande no es lo mismo que una abarrotada, y qué se puede y qué no se puede concluir de saber que otro está largo.

Solo con fines educativos. Operar conlleva un riesgo sustancial de pérdida. No es asesoramiento financiero. Los resultados pasados no garantizan resultados futuros.