La volatilidad como cantidad
Las mismas sesenta barras llevan una desviación típica por barra de 0,32 por ciento y otra de 3,43 por ciento, y nada entre esas dos lecturas es un cambio del mercado. Es un cambio en sobre cuántas barras mediste. La volatilidad es un número que calculas, no un estado de ánimo que percibes, y el cálculo tiene cuatro pasos: convertir los cierres en rendimientos, tomar la desviación típica, contar cuántos de esos periodos caben en un año, multiplicar por la raíz cuadrada de esa cuenta. La raíz cuadrada de 252 es 15,87, y esa única línea es todo el origen de la regla que divide una lectura del VIX entre dieciséis. Pero una sola palabra está cubriendo tres números distintos. Sobre la serie entera la cifra es 1,50 por ciento, casi el doble de la lectura mediana a veinte barras. Escalar una barra a veinte con la raíz cuadrada de veinte exagera el recorrido real de veinte barras de esta serie en más de la mitad, porque sus barras se apoyan unas contra otras. Y el número que cotiza una cadena de opciones es un precio y no una medición: el straddle a 6,00 que la lección 43 puso en precio está cotizando una desviación típica de 7,52 por ciento, no de 6, porque un straddle cuesta el movimiento absoluto esperado y eso son 0,798 desviaciones típicas. Un trozo de aritmética sobrevive intacto a las tres complicaciones, y es el que vale la pena tener. El número de acciones es exactamente inversamente proporcional a la volatilidad.
Requisitos previos: Lección 38, que estableció que una medición pertenece a la ventana sobre la que se hizo contando 15 swings en una serie y 1 en la misma serie leída más ancha, la lección 43, cuyo straddle a 6,00 esta lección desmonta una capa más, y la lección 20, cuya aritmética de tamaño de posición es lo que un número de volatilidad acaba alimentando.
Cuatro pasos, y la suposición que hay dentro de cada uno
La volatilidad es la desviación típica de los rendimientos, y sacarla de una serie de cierres cuesta cuatro pasos y ningún juicio en absoluto. Convierte cada par de cierres contiguos en un rendimiento, usando el logaritmo natural del cociente en vez del cambio porcentual liso: en las magnitudes con las que trata un trader los dos apenas difieren, ya que un movimiento de 1 por ciento es un logaritmo de 0,995 por ciento y uno de 5 por ciento es uno de 4,879 por ciento, pero los logaritmos se suman a lo largo de los periodos y los porcentajes no, y toda regla de escala de aquí abajo depende de esa suma. Toma la desviación típica de esos rendimientos, que es la volatilidad de una barra y para casi todo es la respuesta. Decide cuántas barras caben en el periodo para el que quieres el número cotizado — 252 sesiones en un año de negociación, 60 barras de cinco minutos en una sesión, de lo que esté hecha tu serie. Multiplica por la raíz cuadrada de esa cuenta.
Cada paso lleva una suposición que conviene nombrar antes de que empiece a hacer daño. El primero da por hecho que lo estable son los rendimientos y no los precios, que es la razón por la que un movimiento de 1 dólar en una acción de 20 dólares y uno de 5 dólares en una acción de 100 dólares cuentan como el mismo suceso. El segundo da por hecho que los rendimientos vinieron de una sola distribución, que el mercado estuvo haciendo lo mismo durante toda la ventana. El cuarto es la ley de la raíz del tiempo, y da por hecho que el rendimiento de cada periodo es independiente del anterior. Esa cuarta suposición es la que se rompe, y esta lección mide cuánto se rompe sobre la propia cinta del módulo.
De dónde sale el dieciséis
La raíz cuadrada de 252 es 15,8745. Redondeada a 16 se equivoca en 0,79 por ciento, que es menos que cualquier otro error del ejercicio. Esa es toda la derivación, y conviene haberla hecho una vez en lugar de aceptarla como folclore, porque saber de dónde salió el número te dice cuándo deja de aplicarse: cambia la cuenta de periodos y el factor cambia con ella. Días de semana en vez de días de negociación dan 16,12; días naturales dan 19,11.
Una lectura del VIX es una desviación típica anualizada cotizada en puntos porcentuales, así que dividir entre 15,87 hace correr el cuarto paso hacia atrás y devuelve un número de una sola sesión. Una lectura de 16 implica 1,01 por ciento por sesión, 30 implica 1,89 por ciento, y 80, aproximadamente lo más extremo que ha alcanzado el índice, implica 5,04 por ciento. Fíjate en lo que acaba de pasar, porque nadie lo dice en voz alta: esa conversión es ella misma una aplicación de la ley de la raíz, sobre un periodo durante el cual la ley se está suponiendo y no comprobando. La regla que hace utilizable al índice hereda la suposición que el índice no puede verificar.
Una desviación típica no es un día corriente
Aquí está el primer sitio donde la versión habitual engaña, y engaña en la dirección de hacer que todo suene más grande de lo que es. Una desviación típica no es el tamaño de un movimiento medio. En una distribución normal el movimiento absoluto medio es 0,798 desviaciones típicas y el movimiento absoluto mediano es 0,674 de una. Así que la lectura que implica 1,89 por ciento está describiendo un día que se supera en torno al 32 por ciento de los días: el día medio bajo esa misma lectura se mueve 1,51 por ciento y el día mediano se mueve 1,27 por ciento.
La diferencia no es académica. Te dicen que el mercado espera 1,89 por ciento, colocas un stop a 1,89 por ciento y crees que te has comprado el margen de un día tranquilo. Lo que has comprado es un stop que el ruido corriente alcanza alrededor de un tercio de las veces, antes de que tu idea haya sido puesta a prueba siquiera. Decir que una lectura de 30 significa alrededor de 1,9 por ciento al día exagera el día medio en un factor de 1,25 y el día mediano en 1,48. Los dos números describen correctamente la misma distribución. Responden a preguntas distintas, y la pregunta que hace un stop es la segunda.
¿Qué ventana? El problema de la lección 38, por partida doble
La lección 38 estableció que una medición pertenece a la ventana sobre la que se hizo. La volatilidad te entrega dos ventanas en vez de una, y son independientes entre sí. Está la ventana de estimación, cuántas barras de historia le das de comer a la desviación típica, y está el horizonte de rendimiento, cuántas barras abarca el movimiento que te importa. Confundir las dos es la manera en que la gente acaba citando un número que no tiene razón sobre nada en particular.
Toma primero la ventana de estimación, sobre los sesenta cierres que este módulo viene usando desde la lección 38. Cada cifra de abajo es una desviación típica por barra en tanto por ciento, calculada sobre cada ventana de esa longitud que la serie permite.
| Barras en la estimación | Ventanas disponibles | El más bajo | Mediana | El más alto | El más alto dividido por el más bajo |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 55 | 0,32 % | 0,82 % | 3,43 % | 10,7x |
| 10 | 50 | 0,43 % | 0,77 % | 2,97 % | 6,9x |
| 20 | 40 | 0,61 % | 0,78 % | 2,41 % | 4,0x |
| 30 | 30 | 0,65 % | 1,40 % | 1,99 % | 3,0x |
| 59 | 1 | 1,50 % | 1,50 % | 1,50 % | 1,0x |
La última columna es la parte que hay que mirar primero. Una estimación a cinco barras de esta serie puede salir once veces mayor que otra estimación a cinco barras de la misma serie, y la razón cae de manera constante a medida que la ventana se alarga, porque una ventana más larga promedia más de la variación. Eso es estadística corriente. La columna interesante es la de la mediana, porque hace algo que parece una contradicción: se queda cerca de 0,8 a cinco, diez y veinte barras y luego salta a 1,40 a treinta.
En el mercado no pasó nada. Lo que cambió es la aritmética de las ventanas solapadas. El tramo violento de esta serie son las primeras veinte barras, y una ventana queda contaminada por él en cuanto empieza dentro de los primeros diecinueve rendimientos. A veinte barras hay cuarenta ventanas y diecinueve están contaminadas, así que las limpias son mayoría con veintiuna y la mediana cae entre ellas, en 0,78. A treinta barras solo hay treinta ventanas y las mismas diecinueve están contaminadas, así que las limpias son ahora minoría con once, y la mediana cae en cambio entre las contaminadas, en 1,40. La mediana de las ventanas limpias apenas se mueve a través de ese cambio — 0,69 a veinte barras y 0,69 a treinta. La mediana que aparece en cabeza sube cuatro quintos por cuántas ventanas hay de cada clase, y eso es un hecho sobre la longitud de la ventana y no un hecho sobre la volatilidad.
La lección 41 partió estas mismas sesenta barras en tres veintenas consecutivas y las encontró tramos radicalmente distintos. Las cifras de volatilidad dicen lo mismo sin ninguna interpretación: 2,46 por ciento por barra en las primeras veinte, 0,73 en las veinte de en medio, 0,73 en las últimas. Un solo instrumento, una sola tirada continua y una diferencia de anchura de 3,4 veces a lo largo de ella. Cualquier número citado para las sesenta enteras es un promedio sobre tres regímenes, y la cifra de 1,50 por ciento de las sesenta enteras no describe ninguno.
El horizonte, y dónde falla la raíz cuadrada
Ahora la segunda ventana. La ley de la raíz del tiempo dice que si una barra tiene una desviación típica de 1 por ciento, veinte barras tienen una de 4,47 por ciento, porque la raíz cuadrada de veinte es 4,47. Eso se sigue si y solo si las barras son independientes, y hay una manera estándar de comprobarlo: el cociente de varianzas. Toma los rendimientos de veinte barras — todos los que contiene la serie, empezando en cada barra por turno, que a partir de sesenta cierres son cuarenta en vez de los dos que consigues si te niegas a solaparlos —, toma su varianza, divide entre veinte veces la varianza de los rendimientos de una barra, y la respuesta es exactamente 1 cuando la ley se cumple.
Sobre esta serie no es 1. Es 0,34 a dos barras, 0,40 a cinco y 0,40 a veinte. Por debajo de 1 significa que los movimientos largos son menores de lo que predice el escalado, que es lo que hace una serie que no para de girar: cada barra dedica parte de su movimiento a deshacer el de la anterior, así que los movimientos se cancelan en vez de acumularse. Escalar la cifra de una barra a veinte barras con 4,47 exagera por tanto el recorrido real de veinte barras de esta serie, cuyo verdadero factor de escala es 2,84 — una exageración por un factor de 1,58.
Junto a ese resultado hay una comprobación, y merece la pena hacerla porque un cociente de varianzas es fácil de calcular mal. Para dos periodos el álgebra es corta: la varianza de un rendimiento de dos barras es el doble de la varianza de una barra por uno más la correlación entre barras contiguas, así que el cociente de varianzas a dos barras debería ser igual a uno más esa correlación y nada más. La correlación de retardo uno aquí es menos 0,658, que predice 0,342. El cálculo directo devolvió 0,344. El cociente de varianzas no es un diagnóstico aparte; es esa misma autocorrelación con otra ropa.
Lo que se lleva uno de esta página es la prueba y no la cifra. Una correlación de retardo uno de menos 0,658 es enorme, un artefacto de una serie construida a mano para que se lea en un gráfico pequeño; nada de lo que nadie negocia gira con esa fiabilidad, porque una vuelta tan de fiar quedaría arbitrada hasta la planitud en un día. Las series de verdad suelen quedarse cerca de 1 y derivar por debajo en horizontes largos. Lo que importa es la dirección del error. Por debajo de 1, escalar hacia arriba hace tu estimación de riesgo demasiado grande, lo cual te cuesta tamaño. Por encima de 1, que es lo que produce una serie en tendencia, la hace demasiado pequeña, y esa es la dirección que vacía cuentas.
El número de la cadena y el número de la cinta
Todo lo anterior se calculó a partir de una cinta que ya ocurrió. Una cadena de opciones también cotiza una volatilidad, y es otro animal: un precio, puesto por gente que toma posiciones, para un periodo que aún no ha ocurrido. De ahí se siguen dos cosas, y la primera es una corrección a la aritmética del propio módulo.
La lección 43 puso en precio una acción a 100 con un straddle a 6,00 y llamó al movimiento implícito seis por ciento. Como punto de equilibrio eso es exactamente correcto: el comprador necesita la acción fuera de la banda de 94 a 106. Pero seis por ciento no es la desviación típica que está cotizando la cadena, y tomarlo por tal se propaga a cada stop que se derive de ahí. Un straddle en el dinero está puesto al precio del movimiento absoluto esperado y no al de una desviación típica, y el movimiento absoluto esperado es 0,798 de una desviación típica. Divide, y la desviación típica implícita es 7,52 por ciento. Resolver la fórmula de opciones de manera exacta en vez de por la aproximación da 7,5217, así que el atajo es bueno hasta la cuarta cifra. El punto de equilibrio está en seis por ciento, la volatilidad en 7,52 por ciento, y los separa una cuarta parte.
Esa corrección zanja una vieja discusión sobre vender prima. Con una desviación típica implícita de 7,52 por ciento, la probabilidad de que el movimiento supere el punto de equilibrio de seis por ciento es 42,5 por ciento. Un straddle puesto en precio de manera perfectamente justa, sin ventaja para nadie, pierde por tanto dinero para su comprador el 57,5 por ciento de las veces. La observación de que los vendedores de prima ganan la mayoría de sus operaciones es cierta, es lo esperable y no es prueba de nada. Describe la forma del perfil de pagos, y la tabla de la lección 43 mostró la otra mitad de esa forma.
La segunda consecuencia es la brecha. La volatilidad que cotiza una cadena queda por encima de la volatilidad que la cinta entrega después más veces que al revés, y eso no es ni un misterio ni un regalo. Quien vendió ese straddle está corto de un riesgo que duele más justo cuando todo lo demás de una cartera también está doliendo, y un riesgo con ese calendario se cobra. La asimetría es contable sobre las cifras de la propia lección 43: el mejor resultado al alcance del vendedor son los 6,00 íntegros cobrados, mientras que un movimiento de veinte por ciento cuesta 14,00, más del doble de ese mejor caso. Un vendedor cubierto gana la sensibilidad del straddle a la volatilidad multiplicada por la diferencia entre los dos números, y esa sensibilidad es una vez más el mismo 0,798: un straddle es el movimiento absoluto esperado y nada más, así que sobre una acción de 100 dólares su precio se mueve 0,798 dólares por cada punto de volatilidad. Una implícita de 7,52 contra una entregada de 6,00 paga 1,21 sobre los 6,00 cobrados, en torno al 20 por ciento, y una entregada de 9,00 cuesta 1,18. La prima es el precio de sostener el extremo malo de esa asimetría, no un descuento que alguien haya dejado ahí tirado.
Lo que te compra un número de volatilidad
Una cuenta de 100.000 dólares que arriesga 0,5 por ciento por operación, o sea 500 dólares. Una acción a 100 dólares. Un stop colocado a dos desviaciones típicas diarias, derivado de la lectura del índice por la conversión de arriba. El número de acciones es el presupuesto de riesgo dividido por la distancia al stop, y ese es todo el cálculo.
| Lectura del VIX | Movimiento diario implícito | Distancia al stop | Acciones | Valor de la posición | Proporción de la fila de arriba |
|---|---|---|---|---|---|
| 12 | 0,76 % | 1,51 $ | 331 | 33.100 $ | 100 % |
| 16 | 1,01 % | 2,02 $ | 248 | 24.800 $ | 75 % |
| 20 | 1,26 % | 2,52 $ | 198 | 19.800 $ | 60 % |
| 25 | 1,57 % | 3,15 $ | 159 | 15.900 $ | 48 % |
| 30 | 1,89 % | 3,78 $ | 132 | 13.200 $ | 40 % |
| 40 | 2,52 % | 5,04 $ | 99 | 9.900 $ | 30 % |
La última columna no es una estimación ni una regla aproximada. Es 12 dividido por la lectura, exactamente. Los números de acciones son 500 dólares divididos por la distancia de stop que tienen al lado, es decir esa misma proporción llevada sobre un 330,72 sin redondear y no sobre el 331 impreso, y la diferencia asoma una sola vez: con una lectura de 20 la aritmética da 198 acciones donde escalar la fila de arriba impresa daría 199. El número de acciones es inversamente proporcional a la volatilidad porque el stop es proporcional a la volatilidad y el riesgo en dólares se mantiene fijo, y no hay juicio en ninguna parte de esa cadena. La cantidad en riesgo son 500 dólares en todas las filas. Lo que cambia es cuánta acción compran esos 500 dólares, y cambia en un factor de 3,3 bajando por la tabla sin que nadie decida nada.
Dos matices antes de usar el número. El índice es una cotización para un mercado concreto, así que dimensionar una posición en otra cosa a partir de él da por hecho que los dos se mueven juntos, que es una suposición con un número detrás y la lección 45 lo mide. Y la lección 40 estableció que un stop no se ejecuta donde está escrito — sobre la propia serie de huecos de aquella lección se ejecutó a una mediana de una vez y media su pérdida prometida. Los 500 dólares de esta tabla son el riesgo escrito y no el riesgo pagado, y la brecha entre los dos se ensancha con exactamente la magnitud que esta lección está calculando.
Lo que no te compra
Las tablas de volatilidad que te entregan un multiplicador de tamaño de posición por banda — tamaño completo aquí, la mitad allá, un cuarto más arriba — están haciendo dos trabajos distintos y admitiendo uno. El primer trabajo es la aritmética de arriba, y la tabla ya lo ha hecho. Toma una lectura de 17,5 para condiciones normales y una de 22,5 para condiciones elevadas: dimensionar solo a partir del stop lleva el número de acciones al 77,8 por ciento de lo normal, sin que nadie tome una decisión. Con una lectura de 27,5 de miedo alto baja al 63,6 por ciento. Esos recortes son gratis, en el sentido de que van implicados por el stop y no cuesta nada acertar con ellos.
Una tabla de bandas que pide 50 por ciento y 25 por ciento con esas mismas lecturas está pidiendo algo más encima: un recorte adicional de 36 por ciento y luego de 61 por ciento, más allá de lo que la volatilidad ya hizo. Ese extra no es dimensionamiento. Es la afirmación de que la ventaja misma se degrada cuando los mercados tienen miedo, que tus setups funcionan peor y no que simplemente necesitan más espacio.
La afirmación bien puede ser cierta, y para muchos traders lo es. Pero es otra clase de afirmación y cuesta otra cantidad establecerla. Distinguir un régimen de volatilidad de 1,0 por ciento de uno de 1,5 por ciento, con la confianza y la potencia que usó la lección 41, cuesta 50 barras en cada condición. Distinguir una diferencia de cinco puntos en la tasa de acierto cuesta 1.560 operaciones en cada condición. La afirmación sobre la ventaja necesita alrededor de 31 veces más evidencia que la afirmación sobre la volatilidad, y casi nadie que cite una tabla de bandas la ha reunido. Así que el orden importa. Dimensiona siempre a partir de la volatilidad, porque es aritmética y comprobarla es casi gratis. Recorta más por degradación de la ventaja solo cuando hayas contado tus propias operaciones, y la lección 41 te dice cuánto tarda esa cuenta.
Lo que esto no resuelve
Que alguno de estos números describa la serie. Una desviación típica calculada a partir de una tirada limitada de observaciones es ella misma una estimación con una dispersión encima, y la dispersión es ancha. A partir de 20 barras el intervalo al 95 por ciento va de 0,76 a 1,46 veces la cifra que calculaste; a partir de 60 barras, de 0,85 a 1,22; a partir de un año entero de 252, de 0,92 a 1,10. Cada frontera de cada tabla de regímenes — 20, 25, 30 — queda cómodamente dentro del ruido de los datos de un mes. Y eso antes del problema aparte al que esta lección dedicó una tabla, que es que la magnitud se estaba moviendo mientras la medías.
Que el cociente de varianzas zanjara nada a veinte barras. Sesenta cierres dan cincuenta y nueve rendimientos de una barra y cuarenta rendimientos solapados de veinte barras, pero contienen menos de tres independientes, y la teoría del muestreo del artículo de Lo y MacKinlay citado abajo le pone precio honesto a eso. El error típico del cociente a veinte barras es 0,65, así que el 0,40 impreso arriba queda a 0,9 errores típicos del 1 que predice la ley, que no es distancia ninguna. A dos barras el error típico es 0,13 y el mismo 0,34 queda a cinco errores típicos. La reversión de esta serie queda por tanto establecida a dos barras y solo sugerida a veinte, lo que convierte la exageración de 1,58 en la cifra de esta página a la que un lector tiene menos derecho. Corre la prueba en el horizonte corto con la historia que tengas. En el horizonte largo, córrela solo con muchísima más.
Que la distribución sea normal. El 0,798, el 0,674 y el 32 por ciento son propiedades de una distribución normal y de nada más. Los rendimientos no son normales: llevan colas más gruesas de lo que supone la fórmula, así que los sucesos lejos del centro ocurren más a menudo de lo que insinúan estas cifras. Cerca del medio la aproximación es buena y las conclusiones de arriba están a salvo. Allá en la cola — donde un stop se salta por un hueco y donde se decide un straddle vendido — es optimista, y optimista en la dirección que cuesta dinero.
Que las cifras de esta serie sean las de cualquiera. Una desviación típica de 1,50 por ciento por barra, escalada a una sesión de sesenta barras y luego a un año, se anualiza en 184 por ciento — alrededor del doble de la lectura más extrema que el índice ha alcanzado nunca. Las sesenta barras del módulo son una serie de enseñanza, construida para hacer visibles los vaivenes en un gráfico pequeño, y son mucho más violentas que cualquier cosa que vayas a negociar. Cada proporción y cada mecanismo de esta página se trasladan. Ninguno de los niveles lo hace.
Que los cierres sean los mejores datos que tienes. Esta lección usó precios de cierre porque los precios de cierre son lo que tiene todo el mundo, y una desviación típica de cierre a cierre tira todo lo que pasó dentro de la barra. Un estimador construido a partir del máximo y el mínimo de cada barra saca varias veces más información de los mismos datos, lo cual quiere decir un número utilizable a partir de una fracción del historial. El módulo tiene máximos y mínimos en las sesenta barras y esta lección no los usó. Si estás estimando volatilidad en serio y no de manera ilustrativa, esa es la primera mejora que hacer.
Que medirla sea pronosticarla. La volatilidad es inusual entre las magnitudes de mercado porque sí persiste — a los tramos tranquilos les siguen tramos tranquilos, y un número calculado a partir de la semana pasada de verdad informa sobre la semana que viene de un modo que ninguna medición de dirección logra. Por eso el ejercicio merece la pena siquiera. Pero la persistencia a lo largo de días no es persistencia a lo largo de meses, los cambios de régimen son exactamente lo que la tabla de arriba pilló haciendo a esta serie tres veces en sesenta barras, y una cadena está cotizando un número para un futuro que la cinta no ha accedido a entregar. Una volatilidad medida te dice cuán ancho fue el pasado reciente. Es un buen valor por defecto para mañana y uno malo para el trimestre.
Problemas
- Calcúlala de tres maneras sobre tu propio instrumento. Toma 60 cierres. Calcula la desviación típica por barra de los rendimientos logarítmicos sobre las últimas 20, las últimas 40 y las 60 enteras, y escribe los tres números uno al lado del otro. Si difieren más de lo que permite el intervalo de ruido a 20 barras citado arriba, tu instrumento no estuvo haciendo una sola cosa de principio a fin, y has aprendido algo que ningún número solo te habría dicho. Son cuatro columnas en una hoja de cálculo y cuesta diez minutos una vez.
- Conviértela en un número de acciones y compáralo con lo que negocias de verdad. Convierte tu cifra por barra en una desviación típica diaria, pon un stop a dos de ellas, divide tu riesgo habitual en dólares por esa distancia al stop y lee el número de acciones. Compáralo ahora con el tamaño que has estado negociando. Si los dos difieren en más de un factor de dos, uno de ellos está mal, y cuál tiene respuesta: cuenta cuántas veces se alcanza tu stop antes de que la idea con la que entraste haya tenido ocasión de ser acertada o equivocada. Un stop dentro de una desviación típica lo alcanza el ruido alrededor de un tercio de las veces.
- Prueba la raíz cuadrada antes de fiarte de ella. Calcula el cociente de varianzas sobre tu propia serie a horizontes de 2, 5 y 20 barras, y trae al de veinte barras muchos más de sesenta cierres, porque a ese horizonte sesenta cierres contienen menos de tres observaciones independientes. Por debajo de 1 y escalar hacia arriba un número de una barra exagera tu riesgo a horizontes más largos, así que tus stops son más anchos de lo que hace falta y estás negociando más pequeño de lo que podrías. Por encima de 1 y lo subestima, que es la dirección peligrosa y la que produce un instrumento en tendencia. Esta es la comprobación que casi nadie hace, y es la diferencia entre usar la ley de la raíz y suponerla.
Fuentes. Louis Bachelier, «Théorie de la spéculation» (Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, 1900), por el origen de la propia ley de la raíz del tiempo, derivada para los precios cinco años antes de que la misma matemática se publicara para granos de polen en agua. Michael Parkinson, «The Extreme Value Method for Estimating the Variance of the Rate of Return» (The Journal of Business, 1980), por el estimador basado en el rango que saca de las mismas barras varias veces más que el método de cierre a cierre usado aquí. Andrew W. Lo y A. Craig MacKinlay, «Stock Market Prices Do Not Follow Random Walks: Evidence from a Simple Specification Test» (The Review of Financial Studies, 1988), por el cociente de varianzas, que es de donde viene la prueba realizada arriba y donde se trabaja su comportamiento muestral. Peter Carr y Liuren Wu, «Variance Risk Premiums» (The Review of Financial Studies, 2009), por la brecha medida entre lo que cotizan las cadenas y lo que entregan las cintas, y por el argumento de que es un precio del riesgo y no un error de valoración.
Todos los números de esta página pertenecen a un solo instrumento. En cuanto hay dos posiciones abiertas, una segunda magnitud decide cuánto riesgo hay de verdad en el libro, y no es la suma de las dos volatilidades. La lección 45 se ocupa de la correlación: cómo se calcula, por qué su número se mueve cuando se mueve la ventana exactamente igual que se movió el de esta lección, por qué trepa hacia uno justo en las condiciones en las que necesitabas que no lo hiciera, y qué le hace a un libro de posiciones cada una de las cuales fue dimensionada de manera impecable por su cuenta.
Qué es un marco temporal
El problema de la ventana en su forma general, antes de que la volatilidad le diera dos ventanas.
Leer la lección →Acontecimientos programados
El straddle cuyo movimiento cotizado esta lección separa de su desviación típica.
Leer la lección →Tamaño de posición
La aritmética que un número de volatilidad acaba alimentando.
Leer la lección →Correlación
Lo que decide si dos posiciones correctamente dimensionadas son en realidad una sola posición.
Leer la lección →Solo con fines educativos. Operar conlleva un riesgo sustancial de pérdida. No es asesoramiento financiero. Los resultados pasados no garantizan resultados futuros.
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