El drawdown que deberías esperar

De qué está hecho un drawdown

Un drawdown tiene dos padres. Uno es tu ventaja, o su ausencia. El otro es la dispersión de los resultados de tus operaciones, que existe haya ventaja o no. Todo trader metido en un agujero se lo atribuye al primero. La aritmética de abajo dice que casi todo el trabajo lo hace el segundo, y lo dice con un solapamiento que puedes medir en vez de con un argumento que tengas que aceptar.

Aquí está el banco de pruebas, completo, porque todo lo de esta página sale de él. El resultado de una operación se extrae de una distribución normal cuya desviación típica es un R y cuya media es d, la ventaja, en las mismas unidades. El peor drawdown de una racha es la mayor caída desde cualquier máximo acumulado hasta cualquier punto posterior del acumulado, con el máximo empezando en cero, de modo que una racha que nunca sube por encima de donde empezó también tiene drawdown. Cada cifra de abajo son 20.000 rachas independientes de 156 operaciones desde la semilla 20260903.

Un R en esta página es una desviación típica de una operación, y ese no es el R de la lección 18, donde una perdedora es exactamente un R y la dispersión de resultados vale 1,49 de ellos. La conversión es una sola división y conviene hacerla ahora, porque mete en esta tabla una lección que ya has leído. El sistema de la lección 18 gana el 45 por ciento de las veces a dos por uno, así que hace 0,35R por operación con una desviación típica de 1,4925R. Divide: su ventaja en las unidades de esta página es 0,2345, que cae entre la cuarta y la quinta fila de abajo.

El banco de pruebas también se puede contrastar contra algo que no es una simulación. Sin ninguna ventaja, el tiempo continuo da un peor drawdown medio igual a la raíz de πT/2, que sobre 156 operaciones son 15,65R. La simulación devuelve 14,53R, y la diferencia no es un error: un camino que solo mira una vez por operación se pierde los extremos entre mirada y mirada. Afínalo a 256 miradas por operación y devuelve 15,61R.

Ventaja verdadera, R por operación	Décima parte más afortunada	Mediana	Décima parte menos afortunada	Centésima parte menos afortunada
0,00, nada ahí	7,56	13,26	23,33	33,95
0,05	6,35	10,65	18,59	27,81
0,10	5,51	8,82	14,96	22,57
0,20	4,29	6,52	10,49	15,71
0,30	3,50	5,17	8,03	11,66

Léela por columnas y no por filas, porque en las columnas está la lección. La décima parte más afortunada de los sistemas muertos llega a 7,56R. El vivo típico, a una décima de R, llega a 8,82R. Esos dos números están en el orden equivocado para la historia que todo el mundo cuenta sobre los drawdowns, y por mucho que mires tu propia curva de capital no los vas a recolocar, porque las distribuciones de las que salen se solapan casi en toda su longitud. Una profundidad de ocho R queda holgadamente dentro del rango ordinario de las dos.

Convierte entonces la profundidad en la única pregunta que merece la pena hacerle. Si estás D por debajo, ¿cuánto más probable es eso bajo un sistema muerto que bajo uno vivo? Es un recuento de superaciones sobre cada una de dos simulaciones, dividido.

Seis R: alcanzado por el 97,0 por ciento de los sistemas muertos y por el 84,6 por ciento de los vivos, una razón de 1,15.

Ocho R: 87,2 por ciento contra 59,5 por ciento, una razón de 1,47.

Doce R: 58,5 por ciento contra 22,6 por ciento, una razón de 2,59.

Veinte R: 18,2 por ciento contra 2,3 por ciento, una razón de 7,78.

Una razón de 1,47 significa que estar ocho R por debajo multiplica por 1,47 las probabilidades que ya tenías puestas en que el sistema esté muerto, y por nada más. Es evidencia, débil. No basta ni de lejos para actuar, y es lo más fuerte que tiene un lector en el momento en que suele actuar. La profundidad que de verdad zanjaría algo son veinte R, donde la razón llega por fin a 7,78 — y veinte R es una profundidad que alcanzan dos sistemas vivos de cada cien y dieciocho muertos de cada cien, así que esperar a ella significa que la mayoría de tus sistemas realmente muertos tampoco la disparan nunca.

Casi nadie que haya apagado un sistema ha calculado esa razón a la profundidad a la que lo apagó. Dos simulaciones y dos recuentos de superaciones, y una tarde basta para las dos cosas.

La hoja que este módulo viene construyendo desde la lección 62 gana aquí una sexta columna, y es la profundidad a la que vas a parar, escrita antes de empezar. Al lado escribe la fracción de sistemas vivos que esa profundidad descarta, sacada de las cifras de superación de arriba, porque una regla de parada sin esa fracción al lado es un número que alguien eligió. La lección 70 es donde la hoja entera se gasta de una vez.

La prueba que sí responde a la pregunta

La profundidad falla como evidencia porque la profundidad está acotada y la evidencia no. Un drawdown solo puede ahondar hasta que se te acabe el dinero, pero el número de operaciones que llevas hechas sigue subiendo, y cada una lleva un poco de información sobre qué sistema tienes en la mano. Deja pues de medir el agujero y empieza a acumular las operaciones.

La prueba secuencial de Wald lleva un solo número corriente: el logaritmo de cuánto más probables son tus operaciones bajo un sistema vivo que bajo uno muerto. Después de cada operación le suma un término. Para un resultado x, contrastando una media de cero contra una media de d:

L → L + d x − d²/2

Se trazan dos líneas antes de la primera operación. Declara vivo cuando L sube hasta el logaritmo de (1 − β) entre α; declara muerto cuando L baja hasta el logaritmo de β entre (1 − α). Con un 5 por ciento de probabilidad para cada error, esos valen +2,9444 y −2,9444, y la simetría es consecuencia de haber elegido iguales las dos tasas de error, no un supuesto.

Una sustitución, hecha entera. Con una ventaja de una décima de R, cada operación suma 0,10x − 0,005 a L. Las operaciones de un sistema vivo promedian +0,10, así que su paso medio es 0,10 por 0,10 menos 0,005, o sea +0,005. Las de uno muerto promedian cero, así que su paso medio es −0,005. Cada uno camina hacia su propia línea a la misma velocidad, y cada uno tiene 2,9444 por recorrer. Divide: 2,9444 entre 0,005 son 589 operaciones. A cuarenta operaciones al mes, 14,7 meses.

Ventaja que estás contrastando	Paso por operación, d²/2	Operaciones hasta el veredicto	Meses a cuarenta al mes
0,05	0,00125	2.356	58,9
0,10	0,00500	589	14,7
0,20	0,02000	148	3,7
0,30	0,04500	66	1,6

Los recuentos de operaciones redondean hacia arriba y los meses dividen la esperanza sin redondear entre cuarenta, y por eso la última fila dice 66 y 1,6 en vez de 66 y 1,7.

Traza ahora las dos líneas donde un trader pueda verlas de verdad, que es sobre el acumulado en R. L es una recta en ese acumulado: tras n operaciones, L vale 0,10 por el acumulado, menos 0,005n. Pon L en cada frontera y despeja, y las dos líneas son el acumulado igual a n por d entre dos, menos y más 2,9444 dividido por d.

A 156 operaciones, el horizonte que fijó la lección 65, eso pone la línea de muerto en −21,6R y la de vivo en +37,2R, mientras que una ventaja viva de una décima de R espera haber hecho +15,6R. Las dos cosas merecen una segunda lectura. La prueba no declara muerto un sistema hasta que está 21,6R por debajo, que es dos veces y media la mediana del drawdown que produce un sistema vivo y más hondo que su décima parte menos afortunada. Y no lo declara vivo en +15,6R, que es exactamente lo que uno vivo debía entregar. En el punto en que una ventaja real ha hecho justo lo que prometió, esta prueba sigue sin tener nada que decir.

Una línea más, y es una identidad, no una casualidad. A 588,89 operaciones — la esperanza sin redondear, a 14,7 meses vista — la línea de muerto queda exactamente en cero. El álgebra es n por d entre dos contra 2,9444 entre d, y con n igual a dos veces 2,9444 dividido por d al cuadrado esas dos cantidades son el mismo número, así que se cancelan. Hasta el mes quince, un sistema que no te ha dado absolutamente nada todavía no ha suspendido.

Un drawdown mide tu dispersión, no tu ventaja.

Las fronteras de Wald son una aproximación, y una aproximación se puede comprobar en vez de creer. Dale a la prueba operaciones de una ventaja verdadera de una décima de R, 20.000 rachas, semilla 20260903: devuelve 19.092 vivos y 908 muertos, una tasa de falso muerto del 4,5 por ciento contra el 5 por ciento para el que se construyó. Dale operaciones de nada en absoluto: 19.035 muertos y 965 vivos, un 4,8 por ciento de falso vivo. La mediana del veredicto llega a las 435 operaciones y la media a las 545, ambas por debajo de las 589 de Wald, porque la esperanza la estira la minoría de rachas que vagan mucho tiempo.

Ponlo al lado de la fórmula de muestra fija de la lección 19, que pedía 7,85 dividido por el cuadrado de la razón entre ventaja y ruido. A una décima de R son 785 operaciones, y lo que compraba era una probabilidad de cuatro sobre cinco de notar una ventaja real. Las dos líneas de Wald compran diecinueve sobre veinte en ambas direcciones y llegan a un veredicto con mediana de 435. Divide: la prueba secuencial hace un trabajo estrictamente mejor sobre el 55 por ciento de la muestra, y la razón es que para en cuanto la respuesta está clara en vez de esperar a una fecha que alguien puso de antemano.

Así que traza esta noche las dos líneas sobre tu propia curva de capital, antes del drawdown, y deja de leer la profundidad.

Lo que esto no resuelve

Que las operaciones sean independientes y normales. Ninguna de las dos cosas es cierta en un historial real, y los dos fallos apuntan en direcciones opuestas. La asimetría favorece a la tabla: pasa los resultados reales de la lección 18, +2R y −1R al 45 por ciento, y la mediana del peor drawdown sobre 200 operaciones es 9,00R, mientras que el banco de pruebas normal, con la misma media y la misma desviación típica, da 9,68R, una sobreestimación del 7,6 por ciento, porque una distribución con ganadoras grandes y perdedoras pequeñas sale de los agujeros más deprisa que una simétrica. El agrupamiento apunta al otro lado y probablemente pesa más: las pérdidas que llegan juntas cavan más hondo que las que llegan dispersas, y esta página no modela nada de eso.

Que el segundo decimal signifique algo. Dos cosas lo ponen en duda, y se acumulan. Un R es la desviación típica de los resultados de tus propias operaciones, estimada del mismo historial corto que te preocupa, y sobre 156 observaciones su propio error estándar ronda el 5,7 por ciento; toda profundidad de la primera tabla escala con él, así que el 8,82 es 8,82 más menos medio R antes de contar nada más. La simulación añade su propio temblor: vuelve a correr esa mediana con otras cuatro semillas y cae en 8,84, 8,83, 8,75 y 8,84. Hay dos decimales porque una tabla necesita un formato para todas sus celdas.

Que la prueba contraste la hipótesis correcta. La razón de Wald compara dos medias concretas, cero y una décima de R, y un sistema real casi nunca es ninguna de las dos. Dale operaciones de una ventaja verdadera de 0,05 — la mitad de lo que contrasta, y aun así una ventaja perfectamente real — y se parte casi justo por la mitad, llamando vivos al 49,91 por ciento y muertos al 50,09 por ciento, con una mediana de 672 operaciones. Ahí la prueba no funciona mal. Nunca se le preguntó por ese caso, y quien la corre a una décima de R ha aceptado en silencio tratar una ventaja a la mitad como una moneda al aire.

Que esperar sea posible, y esta es la concesión que más cuesta. Todo lo de arriba dice que la respuesta honesta pide 589 operaciones y 14,7 meses, y que la línea de muerto en el horizonte de 156 operaciones queda 21,6R por debajo. Un trader que está 21,6R por debajo al dos por ciento por operación ha perdido cerca de un tercio de la cuenta, y la aritmética de esta página le dice que siga. No puede decirle cómo, y no puede porque si aguantas o no es una cuestión de tamaño de posición y de dinero, no de evidencia. La lección 20 es donde vive de verdad la respuesta al problema que esta lección diagnostica, y todo lo que esta página puede hacer es decir que el diagnóstico y el tratamiento son asignaturas distintas.

Y la que socava la tabla misma: está indexada por la ventaja verdadera, que es la única cantidad que nunca tienes. No puedes buscar tu propia fila. Leída hacia delante, la tabla es inservible. Leída hacia atrás dice solo que ninguna profundidad en la que puedas estar ahora descarta ninguna fila. Ese es un resultado más flaco de lo que aparentan cinco columnas de cifras, y es la versión honesta de lo que un drawdown te dice.

Queda el caso que esta página no ha parado de apartar, porque no es ninguna de las dos hipótesis que la prueba compara. La lección 68 toma una ventaja que no muere sino que se degrada. Dale a la prueba una décima de R que se apaga linealmente hasta cero a lo largo de exactamente las 589 operaciones que necesita, y declara el sistema muerto el 65,46 por ciento de las veces y vivo el 34,53 por ciento, con una mediana de 627 operaciones — de modo que, cuando cae el veredicto, caiga como caiga, aquello que estaba contrastando ya se ha ido.