Die Gewichte, die du halten kannst

Lektion 72 hat ein Buch bepreist, in dem jede Position gleich groß war, und dieser Seite die Frage überlassen, wie viel in jede gehört. Hier ist die Antwort, die die übliche Maschinerie gibt, auf den vier Regeln aus Lektion 71 über dieselben achtundzwanzig Bewegungen: 0,987, minus 0,438, minus 0,705 und 1,156. Sie senkt die Standardabweichung des Tages um 10,65 Prozent, was bei vier Positionen mit je zwei Prozent 0,78 Prozentpunkte des Tages sind. Sie verlangt außerdem, dass du zwei deiner eigenen vier Regeln short gehst und 3,29 Dollar Position für jeden Dollar auf dem Konto trägst. Verbiete die Shorts, und die Antwort wird 0,630 und 0,370 mit zwei Regeln auf null, was 59 Prozent der Senkung behält, einen Dollar Position je Dollar Konto hält und, auf achtundzwanzig Tagen geschätzt statt im Voraus gewusst, im Mittel einen besseren Tag liefert als die unbeschränkte Antwort.

Voraussetzungen: Lektion 72, für das gleichgewichtete Buch, das diese Seite neu gewichtet, Lektion 71, für die vier Regeln und ihre sechs Korrelationen, und Lektion 12, für die Kosten, die mit dem mitwachsen, was du handelst.

Was in dem Ziel tatsächlich steckt

Minimum-Varianz ist eine Zeile. Nimm die Kovarianzmatrix der Dinge, die du hältst, invertiere sie, multipliziere mit einer Spalte aus Einsen und teile durch die Summe, damit sich die Gewichte zu eins addieren. Das ist die ganze Methode, sie hat eine geschlossene Form, und jede Tabellenkalkulation erledigt sie auf vier Regeln in einer Minute.

w = Σ⁻¹1 / (1′Σ⁻¹1)

Lies, was darin steckt, und wichtiger noch, was nicht. Es gibt keine erwarteten Renditen, und das ist Absicht: Lektion 67 brauchte 589 Trades, um zu klären, ob ein Zehntel eines R echt war, also ist eine Schätzung dessen, was jede Regel verdienen wird, die unzuverlässigste Zahl im Haus, und ein Ziel, das sie braucht, erbt das. Es gibt keine Kosten. Es gibt keine Nebenbedingung. Die Formel gibt kommentarlos ein negatives Gewicht zurück, und negativ heißt short.

Die Eingaben sind die vier Regeln, die Lektion 71 ausgewählt hat, ein 2-Bar-Durchschnitt gegen einen 5, ein 3 gegen einen 10, ein 5 gegen einen 20 und ein 8 gegen einen 30, über die achtundzwanzig Bewegungen, auf denen jede Regel des Gitters aus Lektion 63 definiert ist. Ihre sechs Korrelationen sind die aus Lektion 71, von 0,6282 bis 0,9742. Ihre Standardabweichungen liegen nahe beieinander: 0,6375, 0,7218, 0,7265 und 0,7032 in den Einheiten, die die Regeln zurückgeben.

Vier Gewichtungen lohnen es, nebeneinander zu stehen. Gleiche Gewichte sind das, was Lektion 72 angenommen hat. Inverse Varianz ist das, was die meisten mit Risk Parity meinen, wenn sie es eilig haben: gewichte mit eins durch die Varianz jeder Regel und ignoriere die Korrelationen ganz. Dann die Minimum-Varianz-Antwort mit verbotenem Short und dieselbe Antwort ohne jedes Verbot.

Gewichtung	Gewichte	Position je Dollar	Standardabweichung des Tages	Senkung
Gleich	0.25, 0.25, 0.25, 0.25	1,000	0,64074	—
Inverse Varianz	0.297, 0.231, 0.228, 0.244	1,000	0,63502	0,89 %
Minimum-Varianz, ohne Shorten	0.630, 0, 0, 0.370	1,000	0,60021	6,32 %
Minimum-Varianz	0,987, −0,438, −0,705, 1,156	3,287	0,57252	10,65 %

Fang mit der Größe des Streits an. Der ganze Abstand von der obersten Zeile zur untersten ist 0,06822, gegen einen Ausgangswert von 0,64074. Alles, was Portfoliokonstruktion zu diesem Buch zu sagen hat, von der gröbsten Regel bis zum exakten Optimum mit den Antworten in der Hand, ist 10,65 Prozent der Standardabweichung des Tages wert. Bei zwei Prozent je Position und der durchschnittlichen Korrelation von 0,7887 aus Lektion 71 für diese vier machen gleiche Gewichte den Tag zu 7,339 Prozent und das Optimum zu 6,557 Prozent. Der ganze Preis sind acht Zehntel eines Prozentpunkts am Tag. Er ist es wert, gehoben zu werden, und er ist keine große Mühe wert, und vorher zu wissen, welches von beidem gilt, ist das meiste, wofür diese Seite da ist.

Lies als Nächstes die zweite Zeile, denn das ist die, die die Leute tatsächlich fahren. Inverse Varianz sammelt 0,89 Prozent der verfügbaren 10,65 ein, also ein Zwölftel. Sie scheitert, weil die vier Standardabweichungen fast gleich sind, sodass eine Gewichtung nach ihnen kaum etwas bewegt, und weil der ganze Preis auf diesem Buch in den Korrelationen liegt. Eine Gewichtung, die Korrelationen ignoriert, auf einem Satz Regeln, deren Korrelationen von 0,63 bis 0,97 laufen, löst ein Problem, das dieses Buch nicht hat.

Dann die beiden, auf die es ankommt. Die unbeschränkte Antwort nimmt dem Tag weitere 4,33 Prozentpunkte ab und schiebt die Senkung von 6,32 Prozent auf 10,65, und sie kauft das mit zwei Short-Beinen von zusammen 1,143 und einer Bruttoposition von 3,287 Dollar je Dollar Konto. Die Nebenbedingung kostet zwei Fünftel des Preises und nimmt den ganzen Hebel weg.

Fast niemand hat beide gerechnet. Die unbeschränkte Zahl ist das, was jedes Lehrbuch und jede Programmbibliothek standardmäßig zurückgibt, die beschränkte steht vier Zeilen weiter, und der Unterschied zwischen ihnen ist der Unterschied zwischen einem Portfolio, das du beschreiben kannst, und einem, das du halten kannst.

Die Karte aus Modul 9 bekommt eine dritte Spalte, und das ist das Gewicht, das diese Seite jeder Regel gibt, zweimal geschrieben: einmal so, wie der Optimierer es zurückgibt, und einmal mit verbotenen Shorts. In Lektion 75 wird die ganze Karte auf einmal eingelöst.

Was achtundzwanzig Tage bezahlen können

Die Gewichte oben kamen aus zehn Zahlen, vier Varianzen und sechs Kovarianzen, , geschätzt aus achtundzwanzig Beobachtungen. Das sind nicht offensichtlich zu wenige, und es sind nicht offensichtlich genug, also miss es, statt darüber zu streiten.

Behandle die oben gemessene Kovarianz, als wäre sie die Wahrheit. Zieh T Beobachtungen aus ihr, passe den Optimierer an die Ziehung an, als wäre das alles, was du hättest, und bewerte die entstehenden Gewichte dann gegen die Wahrheit, mit der du angefangen hast. Der Abstand zwischen der Bewertung und dem echten Optimum ist der Schätzfehler, und er ist das Einzige, was dieses Experiment enthält. Zwanzigtausend Ziehungen bei jedem T, aus Startwert 20260905, sodass die dritte Spalte auf ein Zehntel Punkt und die vierte auf zwei Zehntel genau steht.

Beobachtungen	Standardabweichung, die die angepassten Gewichte tatsächlich liefern	Anteil des Preises, der ankommt	Schlägt die Antwort ohne Shorten
28	0,60798	48,0 %	50,4 %
60	0,58781	77,6 %	85,6 %
125	0,57960	89,6 %	99,1 %
250	0,57594	95,0 %	100,0 %
1.000	0,57338	98,7 %	100,0 %

Die erste Zeile ist das ehrliche Urteil über die Gewichte, mit denen diese Seite eröffnet hat. Auf achtundzwanzig Beobachtungen angepasst, liefert der unbeschränkte Optimierer 0,60798 statt der 0,57252, die er druckt, also 48,0 Prozent des Preises statt des ganzen. Er schlägt gleiche Gewichte trotzdem, und deutlich: auf diesem Buch ist der Optimierer kein Fehler, und die verbreitete Behauptung, durch N zu teilen gewinne immer, ist nicht das, was die Rechnung sagt.

Die vierte Spalte ist der Befund, und sie muss gegen die zweite gelesen werden. Auf achtundzwanzig Beobachtungen angepasst, schlägt die unbeschränkte Antwort die beschränkte in 50,4 Prozent der Ziehungen, also ein Münzwurf, und liefert dabei im Mittel 0,60798 gegen die 0,60021, die die Nebenbedingung ganz ohne Schätzung liefert. Die Gewichte, die du nicht halten kannst, gewinnen die Hälfte der Zeit, verlieren im Mittel und tragen so oder so drei Dollar Position je Dollar. Es braucht sechzig Beobachtungen, bevor die unbeschränkte Antwort fünfmal von sechs gewinnt, und 125, bevor sie praktisch immer gewinnt, und 125 Tagesbeobachtungen sind sechs Monate Schlusskurse.

Sieh dir jetzt die Gewichte selbst an statt dessen, was sie liefern. Zieh die achtundzwanzig Tage viertausendmal mit Zurücklegen neu, aus Startwert 20260906, passe erneut an und lies die mittleren neunzig von hundert Ergebnissen:

2-und-5, angepasst auf 0,987: landet zwischen 0,724 und 1,316.

3-und-10, angepasst auf minus 0,438: landet zwischen minus 0,881 und minus 0,043.

5-und-20, angepasst auf minus 0,705: landet zwischen minus 1,381 und 0,081 und ist in 6,6 Prozent der Ziehungen positiv.

Bruttoposition, angepasst auf 3,287: Zentralwert 3,194, und in 63,9 Prozent der Ziehungen über drei Dollar je Dollar Konto.

Die Standardabweichung, die diese Gewichte liefern, ist stabil. Die Gewichte sind es nicht. Ein Gewicht von minus 0,705, dessen eigene Ziehungen von minus 1,381 bis plus 0,081 laufen, ist keine Entscheidung über eine Regel, es ist der Rückstand von zehn Schätzungen, die sich über achtundzwanzig Tage streiten, und es auf drei Stellen zu drucken ist der Teil, der in die Irre führt. Und 153 der viertausend Ziehungen ergaben eine Kovarianzmatrix ganz ohne Inverse, auf fast einer von fünfundzwanzig Ziehungen deiner eigenen Tage gibt die Methode also keine falsche Antwort, sondern gar keine.

Und genau hier verdient sich die Nebenbedingung ihr Geld, und sie tut mehr, als dich vor Hebel zu schützen. Negative Gewichte zu verbieten kommt rechnerisch dem Eingeständnis nahe, dass die Kovarianz schlecht gemessen ist, und sie zu etwas Einfacherem hinzuziehen: schrumpft man die Kovarianz dieses Buchs zur Hälfte auf die eine durchschnittliche Korrelation, die Lektion 72 benutzt hat, gibt der Optimierer eine Bruttoposition von 1,205 und eine Standardabweichung von 0,59512 zurück, gegen die 1,000 und 0,60021 der Nebenbedingung. Zwei verschiedene Eingeständnisse derselben Unwissenheit, die auf dem Tag ein Prozent und auf der Position einen Fünftel Dollar voneinander entfernt landen.

Und die beschränkte Antwort setzt 5-und-20 auf null, also genau die Regel, die Lektion 71 dir zu streichen empfahl, weil sie die höchste Korrelation zum Rest hat. Zwei verschiedene Ziele, eines an Korrelationen gemessen und eines an Varianz, wählen dieselbe Regel zum Entfernen.

Fahr den Optimierer also mit verbotenen Shorts und nimm die 6,32 Prozent, die er halten kann, statt der 10,65, die er nicht halten kann.

Was das nicht klärt

Dass Minimum-Varianz das Ziel ist. Es ist das Ziel, das am wenigsten braucht, nicht das, das du willst. Nichts darin weiß, welche Regel Geld verdient, also sammelt eine Regel, die ruhig und wertlos ist, Gewicht dafür ein, dass sie ruhig ist. Jede Schwelle dieses Kurses gilt für jede Regel, bevor die Gewichte dieser Seite für den Satz gelten: die Latte aus Lektion 64, der Test aus Lektion 67, die Filterbedingung aus Lektion 70. Ein Buch aus vier toten Regeln auf Minimum-Varianz zu gewichten ergibt eine sehr stabile Art, Geld zu verlieren.

Dass die 10,65 Prozent umsonst sind. Die Bruttoposition geht von einem Dollar auf 3,287, und jede Kostenart, die mit dem mitwächst, was du handelst, wächst damit mit: der Spread aus Lektion 12 auf dem Weg hinein und hinaus, der Impact aus Lektion 59 auf dem Weg hinein, die Kapazität aus Lektion 68 für die Größe, die du überhaupt halten kannst. Das Ziel enthält keine davon, also kauft es bereitwillig acht Zehntel eines Prozentpunkts täglicher Standardabweichung mit einer Verdreifachung der Rechnung. Beim Fonds aus Lektion 12 lohnt sich dieses Geschäft offensichtlich und beim Micro Cap offensichtlich nicht, und die Formel kann die beiden nicht unterscheiden, weil ihr nie die Kurse gezeigt wurden.

Dass die Simulation den ganzen Fehler misst. Tut sie nicht, und sie schmeichelt dem Optimierer schon von der Anlage her. Die Wahrheit, aus der sie zieht, ist dieselbe Kovarianz, die die achtundzwanzig Tage ergeben haben, also bepreist die Tabelle Schätzfehler und sonst nichts. Sie sagt nichts darüber, dass die Kovarianz überhaupt falsch sein könnte, und das ist das größere Problem und das der nächsten Seite.

Dass vier Regeln der schwere Fall sind. Es ist der leichte. Zehn Parameter aus achtundzwanzig Beobachtungen sind unbequem; zwanzig Regeln sind 210 Parameter aus denselben achtundzwanzig Tagen, und bei achtundzwanzig Regeln hat die gemessene Matrix überhaupt keine Inverse mehr, der Optimierer gibt also keine schlechte Antwort, er gibt gar keine. Die Zahl der Parameter wächst mit dem Quadrat der Zahl der Regeln und die Daten wachsen nicht mit, weshalb jede professionelle Behandlung dieses Problems vom Schrumpfen, Beschränken oder Faktorisieren der Matrix handelt statt davon, das Gemessene zu invertieren.

Dass die Gewichte eine Entscheidung über die Regeln sind. Sie sind eine Entscheidung über dieses Buch an diesen Tagen. Füg eine fünfte Regel hinzu, und alle vier Gewichte bewegen sich, weil das Ziel keinen Begriff vom eigenen Verdienst einer Regel hat, nur von ihrem Beitrag zu einem bestimmten Satz. Die dritte Spalte der Karte ist damit das Unübertragbarste darauf, weshalb sie zweimal geschrieben wird und weshalb die zweite Schreibweise die ist, nach der man handelt.

Und das Zugeständnis, das am meisten kostet: diese Seite hat die Kovarianz als ein Objekt behandelt, gemessen auf einem Fenster, und sie ist kein Objekt. Teil dieselben achtundzwanzig Bewegungen in zwei Hälften, und die durchschnittliche Korrelation zwischen den vier Regeln ist 0,5673 in den ersten vierzehn und 0,9247 in den letzten vierzehn, und die auf der ersten Hälfte angepassten Gewichte sind 0,308, 0,225, minus 0,731 und 1,197 statt 0,987, minus 0,438, minus 0,705 und 1,156. In den letzten vierzehn ist es schlimmer als instabil: drei der vier Regeln halten an jedem dieser Tage dieselbe Position, ihre Korrelationen sind exakt eins, und die Kovarianzmatrix hat überhaupt keine Inverse. Lektion 74 fängt dort an, bei der Hälfte deiner eigenen Daten, auf der die Maschinerie dieser Seite nicht läuft.

Aufgaben

1. Gewichte dein eigenes Buch auf zwei Arten. Nimm die Tagesrenditen der Regeln, die du fährst, bau die Kovarianzmatrix in einer Tabellenkalkulation und rechne die Minimum-Varianz-Gewichte mit und ohne Untergrenze von null. Eine halbe Stunde, und am Ende hältst du zwei Sätze Gewichte und eine Zahl, den Unterschied in der Standardabweichung des Tages zwischen ihnen, und das ist, was das Short-Bein bezahlt bekommt.
2. Bepreise den Preis, bevor du ihm nachjagst. Rechne die Standardabweichung deines Buchs bei gleichen Gewichten und beim unbeschränkten Optimum und nimm das Verhältnis. Zehn Minuten, und am Ende hältst du eine Zahl, das Meiste, was Neugewichten je für dich tun kann, die du gegen die 10,65 Prozent dieser Seite hältst und gegen das, worum deine Kosten bei der Bruttoposition des Optimums steigen würden.
3. Zieh deine eigenen Gewichte neu. Zieh deine eigenen Tage mit Zurücklegen, passe die Gewichte erneut an, und mach das zweihundertmal. Ein Abend, und am Ende hältst du je Regel eine Zahl, den Anteil der Ziehungen, in denen ihr Gewicht negativ ist, und jede Regel, deren Anteil nahe der Hälfte liegt, hat von deinen Daten kein Gewicht bekommen.

Quellen. Harry Markowitz, „Portfolio Selection“ (The Journal of Finance, 1952), für das Ziel, das diese Seite rechnet, und für die gleich zu Beginn gemachte und meist vergessene Feststellung, dass seine Eingaben Schätzungen sind. Richard O. Michaud, „The Markowitz Optimization Enigma: Is Optimized Optimal?“ (Financial Analysts Journal, 1989), für das Argument, dass der Optimierer die Fehler in seinen Eingaben zusammen mit allem anderen maximiert, und das ist die zweite Tabelle in einem Satz gelesen. Ravi Jagannathan und Tongshu Ma, „Risk Reduction in Large Portfolios: Why Imposing the Wrong Constraints Helps“ (The Journal of Finance, 2003), für das Ergebnis, dass Short-Positionen zu verbieten dem Schrumpfen der Kovarianzmatrix gleichkommt, weshalb die beschränkte Antwort und die geschrumpfte hier an derselben Stelle landen. Victor DeMiguel, Lorenzo Garlappi und Raman Uppal, „Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient Is the 1/N Portfolio Strategy?“ (The Review of Financial Studies, 2009), für die Schätzfenster, die ein optimiertes Portfolio braucht, bevor es gleiche Gewichte schlägt, und das ist die dritte Spalte der zweiten Tabelle, richtig und im großen Maßstab gemacht.

Jeder davon ist im Glossar gegen die Rechnung auf dieser Seite definiert.

Minimum Variance

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