Korrelation

Zwei Reihen, deren Korrelation über den ganzen Lauf 0,45 beträgt, lesen sich über Zehn-Bar-Fenster der eigenen sechzig Bars dieses Moduls irgendwo zwischen -0,41 und 0,94 und über Zwanzig-Bar-Fenster zwischen -0,03 und 0,89, also über fast den ganzen Bereich, den das Maß annehmen kann. Korrelation ist eine Division: die Kovarianz zweier Renditereihen geteilt durch das Produkt ihrer Standardabweichungen, und was dabei herauskommt, ist keine Eigenschaft des Paares. Drei exakte Ergebnisse überstehen dieses Rauschen, und sie sind der Grund, die Division überhaupt zu machen. Korrelation und Empfindlichkeit sind dieselbe Tatsache, zweimal gesehen, denn eine Regressionssteigung ist die Korrelation multipliziert mit dem Verhältnis der beiden Standardabweichungen — eine Absicherung kann also das richtige Vorzeichen und die falsche Größe haben. Eine Absicherung nimmt der Varianz das Quadrat der Korrelation und nicht die Korrelation selbst, weshalb 0,7 noch 71 Prozent der ursprünglichen Standardabweichung stehen lässt. Und ein Buch aus zwanzig Positionen mit einer durchschnittlichen paarweisen Korrelation von 0,3 trägt das Risiko von drei unabhängigen; bei 0,8 trägt es das Risiko von 1,2. Keine einzige Positionsgröße hat sich geändert.

Voraussetzungen: Lektion 44, die die Größe berechnet hat, aus der die Korrelation ein Verhältnis bildet, Lektion 38, deren Fensterproblem hier zum dritten Mal auftaucht, und Lektion 20, deren Arithmetik eine Position nach der anderen bemisst und diese Lektion braucht, sobald es zwei sind.

Was sie mit einem Buch macht

Alles Bisherige ist Vorbereitung auf eine Rechnung, und die ist der Grund, warum Korrelation auf dem Lehrplan steht. Halte zwei gleich große Positionen in Instrumenten gleicher Volatilität, und die Standardabweichung des Paares ist die Wurzel aus zweimal eins plus der Korrelation, in Einheiten einer Position. Bei einer Korrelation von null sind das 1,41 und nicht 2: Zwei unabhängige Wetten gleicher Größe tragen weniger als das doppelte Risiko, und dieser Unterschied ist alles, was Diversifikation ist. Bei 0,3 sind es 1,61. Bei 0,8 sind es 1,90. Bei 1,0 sind es exakt 2, also eine Position mit zwei Tickern darauf.

Weite das auf ein gleichgewichtetes Buch beliebiger Größe aus, und die Arithmetik bleibt exakt. Ein Buch aus Instrumenten gleicher Volatilität mit einer durchschnittlichen paarweisen Korrelation trägt das Risiko einer kleineren Zahl unabhängiger Positionen, und diese Zahl ist die Anzahl geteilt durch eins plus der Anzahl weniger eins mal der durchschnittlichen Korrelation. Sie hängt von der durchschnittlichen paarweisen Korrelation ab und sonst von nichts an der Struktur, und das ist wissenswert, denn es heißt, dass sich ein korreliertes Buch nicht dadurch reparieren lässt, dass man umschichtet, welche Namen darin stehen.

Durchschnittliche paarweise Korrelation	2 Namen	5 Namen	20 Namen	50 Namen
0,0	2,00	5,00	20,00	50,00
0,1	1,82	3,57	6,90	8,47
0,3	1,54	2,27	2,99	3,18
0,5	1,33	1,67	1,90	1,96
0,8	1,11	1,19	1,23	1,24

Jede Zahl in der Tabelle ist die Anzahl unabhängiger Positionen, die das Buch tatsächlich trägt. Lies die Zeile 0,3 quer: Von fünf Namen auf fünfzig zu gehen, eine Verzehnfachung der Arbeit, das Ding zu führen, bringt die Zahl von 2,27 unabhängigen Wetten auf 3,18. Lies die Spalte mit 20 Namen von oben nach unten, und der Einbruch geht noch schneller, von zwanzig bei null Korrelation auf 6,90 bei 0,1 und 2,99 bei 0,3. Das erste Zehntel Korrelation kostet mehr als die Hälfte der Diversifikation im Buch. Das ist keine Warnung vor Krisen; 0,1 ist ein ruhiger Markt.

Die Untergrenze verdient einen Namen, weil sie exakt ist. Wächst die Zahl der Namen ohne Grenze, nähert sich die Standardabweichung des Buches der Wurzel aus der durchschnittlichen Korrelation mal der eines einzelnen Namens. Bei 0,3 liegt diese Grenze bei 0,55, es wird also keine Anzahl von Positionen ein Buch mit dieser durchschnittlichen paarweisen Korrelation unter 55 Prozent der Volatilität einer von ihnen bringen. Bei 0,8 liegt die Grenze bei 0,89. Namen hinzuzufügen, nachdem die Zahl aufgehört hat zu steigen, ist Arbeit, die nichts einbringt.

Jetzt setze die Krise ein. Ein Buch aus zwanzig Namen mit einer durchschnittlichen Korrelation von 0,3 trägt 2,99 unabhängige Wetten und eine Standardabweichung von 0,58 eines Namens. Bewege die Korrelation auf 0,75, was die obige Arithmetik einem verdreifachten gemeinsamen Schock zuschreibt, und dasselbe Buch trägt 1,31 unabhängige Wetten und eine Standardabweichung von 0,87. Sein Risiko ist um 51 Prozent gestiegen, und niemand hat gehandelt. Um zu dem Risiko zurückzukommen, das du vorher hattest, muss jede Position um 34 Prozent herunter — und dieser Schnitt ist die Antwort auf die Frage, die Lektion 44 offengelassen hat, denn es ist ein Schnitt, den die Bemessung an der Volatilität allein dir nicht abnimmt. Die Arithmetik aus Lektion 44 bemisst jede Position an ihrer eigenen Volatilität, eine nach der anderen, und ist blind dafür, dass sie angefangen haben, dieselbe Position zu sein.

Was das nicht klärt

Dass die Korrelation, die du gemessen hast, die Korrelation ist. Sie ist eine Schätzung, und eine verrauschte. Um eine beobachtete 0,50 herum läuft das Intervall zu 95 Prozent aus 20 Beobachtungen von 0,07 bis 0,77, aus 60 Beobachtungen von 0,28 bis 0,67 und aus einem vollen Jahr von 252 Beobachtungen von 0,40 bis 0,59. Jede rollierende Korrelation auf jeder Plattform ist eine Zahl dieser Art. Bevor du eine Veränderung darin für eine Veränderung des Marktes hältst, prüfe, ob sich die Intervalle der beiden Ablesungen überlappen, denn bei den Fensterlängen, die Leute benutzen, tun sie das fast immer.

Dass die durchschnittliche paarweise Korrelation alles ist, was du über ein Buch wissen musst. Für die Varianz ist sie es, und zwar exakt, weshalb die Zählung oben von nichts anderem abhängt. Für alles Übrige ist sie es nicht. Nimm dieselben zwanzig Namen und denselben Durchschnitt von 0,3, ordne sie aber als zwei Blöcke von je zehn an, innerhalb eines Blocks mit 0,75 korreliert und über die Blöcke hinweg mit -0,105, was eine zulässige Korrelationsmatrix ist und auf die Stelle genau 0,3 mittelt. Das Buch zeigt weiterhin 2,99 unabhängige Wetten und eine Standardabweichung von 0,58, weil beides allein am Durchschnitt hängt. Aber zehn seiner zwanzig Namen sind ein Block, der zwischen sich 1,29 unabhängige Wetten trägt, also ist das halbe Buch eine einzige Position, und keine Zahl in der Tabelle oben kann das sehen. Der Satz weiter oben, dass sich ein korreliertes Buch nicht durch Umsortieren seiner Namen reparieren lässt, gilt für die Varianz und für nichts Weiteres. Rechne die Zählung auch auf deinen Blöcken und nicht nur auf dem Ganzen.

Dass Korrelation misst, wie sehr zwei Dinge zusammenhängen. Sie misst, wie gut eine Gerade passt, und sonst nichts. Zwei Reihen können einander vollständig bestimmen und trotzdem null anzeigen, und das passiert immer dann, wenn der Zusammenhang um einen Wendepunkt herum symmetrisch ist — eine Position, die bei einer großen Bewegung in beide Richtungen verliert, hat genau diese Form. Alles auf dieser Seite gilt für Instrumente, deren Zusammenhang über den Bereich, in dem du sie hältst, ungefähr linear ist, und Optionen gehören nicht dazu.

Dass diese beiden Reihen irgendjemandes wären. Die zweite wurde nach einer oben abgedruckten Regel aus der ersten gebaut, gerade damit die Arithmetik nachprüfbar ist, und die sechzig Bars des Moduls waren von vornherein dafür gebaut, auf einem kleinen Chart lesbar zu sein. Die Form der Fenstertabelle überträgt sich — kurze Fenster liefern auf echten Daten wirklich wilde Korrelationen, und aus demselben Grund. Die konkreten Zahlen tun das nicht, und die 0,45 auch nicht.

Dass die Buch-Arithmetik ein echtes Buch abdeckt. Die effektive Anzahl unterstellt, dass jede Position gleich groß und jedes Instrument gleich volatil ist. Ein Buch mit einer Position, die dreimal so groß ist wie die übrigen, ist näher daran, diese eine Position zu sein, als jede Zählung von Tickern nahelegt, und die Abhilfe ist, dieselbe Rechnung mit den Positionen gewichtet nach dem zu machen, was sie tatsächlich riskieren. Das Ergebnis über die durchschnittliche Korrelation bleibt bei gleichen Gewichten exakt und hört in dem Moment auf, exakt zu sein, in dem sie es nicht mehr sind.

Dass eine Korrelation stabil genug ist, um darauf abzusichern. Das Absicherungsverhältnis ist eine Korrelation multipliziert mit einem Verhältnis zweier Volatilitäten: drei Schätzungen, jede mit ihrem eigenen Fehler, zu einer Zahl zusammengefasst, die dann über eine Größe entscheidet. Und die Größe bewegt sich am stärksten genau unter den Bedingungen, unter denen die Absicherung arbeiten soll. Eine an einer Korrelation aus ruhigem Markt bemessene Absicherung ist für den Markt bemessen, der gerade nicht stattfindet, wenn du sie brauchst.

Aufgaben

1. Zähle die unabhängigen Wetten in deinem eigenen Buch. Nimm die Positionen, die du hältst, berechne die Korrelation jedes Paares über die letzten 60 Bars, mittle diese Korrelationen und setze den Mittelwert in die Anzahl geteilt durch eins plus der Anzahl weniger eins mal dem Mittelwert. Schreib die Antwort neben die Zahl der Ticker auf deinem Bildschirm. Wenn du fünfzehn Dinge hältst und die Arithmetik zweieinhalb sagt, weißt du jetzt, was deine Diversifikation wert ist, und die Zahl war auf keinem anderen Weg zu haben.
2. Prüfe jede Absicherung an ihren beiden Zahlen und nicht an ihrer Geschichte. Berechne für alles, was du hältst, weil es etwas anderes ausgleichen soll, die Korrelation zwischen beiden, berechne das Verhältnis ihrer Standardabweichungen und multipliziere. Dieses Produkt ist die Größe, die die Absicherung haben sollte, je Einheit des abgesicherten Dings. Vergleiche sie mit der Größe, die du tatsächlich hältst. Dann quadriere die Korrelation und lies ab, wie viel der Varianz die Absicherung selbst dann nimmt, wenn sie perfekt bemessen ist. Bei 0,7 lautet die Antwort: weniger als die Hälfte.
3. Teile deine eigene Historie und wende die Korrektur an. Nimm ein Paar, das dich interessiert, teile seine Historie nach der Volatilität des ersten Instruments in die ruhigere und die heftigere Hälfte und berechne die Korrelation in jeder für sich. Nimm dann das Verhältnis der beiden Varianzen und wende die obige Korrektur auf die Zahl der heftigen Hälfte an. Was von dem Unterschied diese Bereinigung überlebt, ist der Teil, der kein Artefakt der Messung in einer heftigen Phase ist, und er ist meist deutlich kleiner, als der rohe Vergleich nahegelegt hat.

Quellen. Francis Galton, „Co-relations and their Measurement, chiefly from Anthropometric Data“ (Proceedings of the Royal Society of London, 1888), für den Koeffizienten selbst, eingeführt zum Vergleich von Gliedmaßenlängen und nicht von Märkten und damals genau so definiert, wie er heute berechnet wird. Ronald A. Fisher, „Frequency Distribution of the Values of the Correlation Coefficient in Samples from an Indefinitely Large Population“ (Biometrika, 1915), für die Stichprobenverteilung und die Transformation, aus der die oben genannten Intervalle stammen. Harry Markowitz, „Portfolio Selection“ (The Journal of Finance, 1952), für die Identität der Portfoliovarianz, die aus einer paarweisen Korrelation eine Aussage über ein Buch macht, was der einzige Grund ist, warum irgendetwas davon auf einem Handelslehrplan steht. Kristin J. Forbes und Roberto Rigobon, „No Contagion, Only Interdependence: Measuring Stock Market Comovements“ (The Journal of Finance, 2002), für die Verzerrung durch die Bedingung und für die oben angewandte Korrektur. François Longin und Bruno Solnik, „Extreme Correlation of International Equity Markets“ (The Journal of Finance, 2001), für die andere Seite dieses Arguments: Die Korrelation steigt in fallenden Märkten stärker, als die Volatilitätsbereinigung erklärt, und in steigenden nicht auf dieselbe Weise.

Die Korrelation ist im dritten Mechanismus oben gestiegen, weil eine Bilanz alles hielt, und das weist auf eine Größe hin, über die dieses Modul nichts gemessen hat. Jede Zahl in den Lektionen 38 bis 45 wurde aus Preisen berechnet. Keine davon sagt, wer die Position auf der anderen Seite deiner hält, wie viel davon es gibt oder wie viel davon geliehen war. Lektion 46 nimmt sich die Positionsdaten vor, die tatsächlich veröffentlicht werden: was in den Meldungen steht, der Abstand zwischen dem Datum, das sie beschreiben, und dem, an dem sie erscheinen, warum eine große Position nicht dasselbe ist wie eine überfüllte, und was sich daraus, dass jemand anderes long ist, schließen lässt und was nicht.

Nur zu Bildungszwecken. Der Handel ist mit erheblichem Verlustrisiko verbunden. Keine Finanzberatung. Vergangene Wertentwicklung ist keine Garantie für zukünftige Ergebnisse.