Volatilität als Größe
Dieselben sechzig Bars tragen eine Standardabweichung pro Bar von 0,32 Prozent und eine von 3,43 Prozent, und nichts zwischen diesen beiden Werten ist eine Veränderung des Marktes. Es ist eine Veränderung daran, über wie viele Bars du gemessen hast. Volatilität ist eine Zahl, die du berechnest, keine Stimmung, die du spürst, und die Rechnung ist vier Schritte lang: die Schlusskurse in Renditen verwandeln, die Standardabweichung nehmen, zählen, wie viele dieser Perioden in ein Jahr passen, mit der Wurzel aus dieser Zahl multiplizieren. Die Wurzel aus 252 ist 15,87, und diese eine Zeile ist der gesamte Ursprung der Regel, die einen VIX-Stand durch sechzehn teilt. Aber ein einziges Wort deckt hier drei verschiedene Zahlen ab. Über den ganzen Lauf beträgt die Zahl 1,50 Prozent, fast das Doppelte des mittleren Werts über zwanzig Bars. Einen Bar mit der Wurzel aus zwanzig auf zwanzig hochzurechnen überzeichnet die tatsächliche Zwanzig-Bar-Spanne dieser Reihe um mehr als die Hälfte, weil ihre Bars sich gegeneinander lehnen. Und die Zahl, die eine Optionskette notiert, ist ein Preis und keine Messung: Der Straddle zu 6,00, den Lektion 43 bepreist hat, notiert eine Standardabweichung von 7,52 Prozent, nicht 6, denn ein Straddle kostet die erwartete absolute Bewegung, und die beträgt 0,798 Standardabweichungen. Ein Stück Arithmetik übersteht alle drei Komplikationen unangetastet, und es ist das, auf das es ankommt. Die Stückzahl ist exakt umgekehrt proportional zur Volatilität.
Voraussetzungen: Lektion 38, die festgehalten hat, dass eine Messung zu dem Fenster gehört, über das sie gemacht wurde, indem sie 15 Swings in einer Reihe zählte und 1 in derselben Reihe, weiter gelesen, Lektion 43, deren Straddle zu 6,00 diese Lektion eine Schicht weiter auseinandernimmt, und Lektion 20, deren Positionsgrößen-Arithmetik am Ende das ist, was eine Volatilitätszahl speist.
Vier Schritte, und die Annahme in jedem einzelnen
Volatilität ist die Standardabweichung der Renditen, und sie aus einer Reihe von Schlusskursen herauszuholen kostet vier Schritte und überhaupt kein Urteil. Verwandle jedes Paar benachbarter Schlusskurse in eine Rendite, und zwar über den natürlichen Logarithmus des Verhältnisses statt über die schlichte prozentuale Veränderung: Bei den Größenordnungen, mit denen Trader zu tun haben, unterscheiden die beiden sich kaum, denn eine Bewegung von 1 Prozent ist ein Logarithmus von 0,995 Prozent und eine von 5 Prozent einer von 4,879 Prozent, aber Logarithmen addieren sich über Perioden hinweg und Prozente tun das nicht, und jede Skalierungsregel weiter unten hängt an dieser Addition. Nimm die Standardabweichung dieser Renditen, das ist die Volatilität eines Bars und für die meisten Zwecke die Antwort. Entscheide, wie viele Bars in die Periode passen, für die du die Zahl notiert haben willst — 252 Sitzungen in einem Handelsjahr, 60 Fünf-Minuten-Bars in einer Sitzung, woraus deine Reihe eben besteht. Multipliziere mit der Wurzel aus dieser Zahl.
Jeder Schritt trägt eine Annahme, die man benennen sollte, bevor sie Schaden anrichtet. Der erste unterstellt, dass Renditen und nicht Preise die stabile Größe sind, weshalb eine Bewegung von 1 Dollar in einer Aktie zu 20 Dollar und eine Bewegung von 5 Dollar in einer Aktie zu 100 Dollar als dasselbe Ereignis zählen. Der zweite unterstellt, dass die Renditen aus einer Verteilung stammen, dass der Markt also über das ganze Fenster hinweg dasselbe getan hat. Der vierte ist das Wurzel-Zeit-Gesetz, und er unterstellt, dass die Rendite jeder Periode unabhängig von der vorigen ist. Diese vierte Annahme ist die, die bricht, und diese Lektion misst auf dem eigenen Band des Moduls, wie schwer sie bricht.
Woher die Sechzehn kommt
Die Wurzel aus 252 ist 15,8745. Auf 16 gerundet ist sie um 0,79 Prozent falsch, und das ist kleiner als jeder andere Fehler in dieser Übung. Das ist die ganze Herleitung, und man sollte sie einmal gemacht haben, statt sie als Folklore hinzunehmen, denn zu wissen, woher die Zahl kommt, sagt dir, wann sie aufhört zu gelten: Ändere die Zahl der Perioden, und der Faktor ändert sich mit. Wochentage statt Handelstage ergeben 16,12; Kalendertage ergeben 19,11.
Ein VIX-Stand ist eine annualisierte Standardabweichung, notiert in Prozentpunkten, also lässt die Division durch 15,87 den vierten Schritt rückwärts laufen und liefert eine Zahl für eine einzelne Sitzung. Ein Stand von 16 impliziert 1,01 Prozent je Sitzung, 30 impliziert 1,89 Prozent, und 80, ungefähr das Äußerste, das der Index erreicht hat, impliziert 5,04 Prozent. Beachte, was gerade passiert ist, denn niemand sagt es laut: Diese Umrechnung ist selbst eine Anwendung des Wurzelgesetzes, und zwar über eine Periode, in der das Gesetz unterstellt und nicht geprüft wird. Die Regel, die den Index brauchbar macht, erbt die Annahme, die der Index nicht überprüfen kann.
Eine Standardabweichung ist kein typischer Tag
Hier ist die erste Stelle, an der die verbreitete Fassung in die Irre führt, und sie führt in die Richtung in die Irre, dass alles größer klingt, als es ist. Eine Standardabweichung ist nicht die Größe einer durchschnittlichen Bewegung. Bei einer Normalverteilung beträgt die durchschnittliche absolute Bewegung 0,798 Standardabweichungen und die mittlere absolute Bewegung 0,674 davon. Der Stand, der 1,89 Prozent impliziert, beschreibt also einen Tag, der an rund 32 Prozent der Tage übertroffen wird: Der durchschnittliche Tag bei demselben Stand bewegt sich um 1,51 Prozent und der mittlere Tag um 1,27 Prozent.
Der Unterschied ist nicht akademisch. Man sagt dir, der Markt erwarte 1,89 Prozent, du setzt einen Stop 1,89 Prozent entfernt und meinst, du hättest dir den Spielraum eines ruhigen Tages gekauft. Gekauft hast du einen Stop, den gewöhnliches Rauschen etwa in einem Drittel der Fälle erreicht, bevor deine Idee überhaupt geprüft worden ist. Zu sagen, ein Stand von 30 bedeute rund 1,9 Prozent am Tag, überzeichnet den durchschnittlichen Tag um den Faktor 1,25 und den mittleren Tag um 1,48. Beide Zahlen beschreiben dieselbe Verteilung korrekt. Sie beantworten verschiedene Fragen, und die Frage, die ein Stop stellt, ist die zweite.
Welches Fenster? Das Problem aus Lektion 38, gleich zweimal
Lektion 38 hat festgehalten, dass eine Messung zu dem Fenster gehört, über das sie gemacht wurde. Volatilität gibt dir zwei Fenster statt einem, und die beiden sind voneinander unabhängig. Da ist das Schätzfenster, also wie viele Bars Vergangenheit du der Standardabweichung fütterst, und da ist der Renditehorizont, also über wie viele Bars sich die Bewegung erstreckt, um die es dir geht. Die beiden zu verwechseln ist der Weg, auf dem Leute am Ende eine Zahl nennen, die über nichts Bestimmtes recht hat.
Nimm zuerst das Schätzfenster, auf den sechzig Schlusskursen, die dieses Modul seit Lektion 38 verwendet. Jede Zahl unten ist eine Standardabweichung pro Bar in Prozent, berechnet über jedes Fenster dieser Länge, das die Reihe zulässt.
| Bars in der Schätzung | Verfügbare Fenster | Am niedrigsten | Zentralwert | Am höchsten | Höchster geteilt durch niedrigsten |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 55 | 0,32 % | 0,82 % | 3,43 % | 10,7x |
| 10 | 50 | 0,43 % | 0,77 % | 2,97 % | 6,9x |
| 20 | 40 | 0,61 % | 0,78 % | 2,41 % | 4,0x |
| 30 | 30 | 0,65 % | 1,40 % | 1,99 % | 3,0x |
| 59 | 1 | 1,50 % | 1,50 % | 1,50 % | 1,0x |
Die letzte Spalte ist der Teil, den man sich zuerst ansehen sollte. Eine Fünf-Bar-Schätzung dieser Reihe kann elfmal größer ausfallen als eine andere Fünf-Bar-Schätzung derselben Reihe, und das Verhältnis fällt stetig, je länger das Fenster wird, weil ein längeres Fenster mehr von der Schwankung wegmittelt. Das ist gewöhnliche Statistik. Interessant ist die Spalte mit dem Zentralwert, denn sie tut etwas, das wie ein Widerspruch aussieht: Sie liegt bei fünf, zehn und zwanzig Bars nahe 0,8 und springt dann bei dreißig auf 1,40.
Am Markt ist nichts passiert. Geändert hat sich die Arithmetik überlappender Fenster. Der heftige Abschnitt in dieser Reihe sind die ersten zwanzig Bars, und ein Fenster ist davon verunreinigt, sobald es innerhalb der ersten neunzehn Renditen beginnt. Bei zwanzig Bars gibt es vierzig Fenster und neunzehn davon sind verunreinigt, also sind die sauberen mit einundzwanzig in der Mehrheit und der Median landet bei ihnen, bei 0,78. Bei dreißig Bars gibt es nur dreißig Fenster und dieselben neunzehn sind verunreinigt, also sind die sauberen jetzt mit elf in der Minderheit, und der Median landet stattdessen bei den verunreinigten, bei 1,40. Der Median der sauberen Fenster bewegt sich über diesen Wechsel hinweg kaum — 0,69 bei zwanzig Bars und 0,69 bei dreißig. Der oben ausgewiesene Median springt um vier Fünftel, weil es von jeder Sorte unterschiedlich viele Fenster gibt, und das ist eine Tatsache über die Fensterlänge und keine über Volatilität.
Lektion 41 hat dieselben sechzig Bars in drei aufeinanderfolgende Zwanziger zerlegt und sie als grundverschiedene Abschnitte vorgefunden. Die Volatilitätszahlen sagen dasselbe ohne jede Deutung: 2,46 Prozent pro Bar in den ersten zwanzig, 0,73 in den mittleren zwanzig, 0,73 in den letzten. Ein einziges Instrument, ein einziger durchgehender Lauf und ein 3,4-facher Unterschied in der Breite darüber hinweg. Jede Zahl, die für die ganzen sechzig genannt wird, ist ein Mittel über drei Regime, und die Zahl 1,50 Prozent für die ganzen sechzig beschreibt keines davon.
Der Horizont, und wo die Wurzel versagt
Jetzt das zweite Fenster. Das Wurzel-Zeit-Gesetz sagt: Hat ein Bar eine Standardabweichung von 1 Prozent, dann haben zwanzig Bars eine von 4,47 Prozent, weil die Wurzel aus zwanzig 4,47 ist. Das folgt genau dann, wenn die Bars unabhängig sind, und es gibt einen üblichen Weg, das zu prüfen: das Varianzverhältnis. Nimm die Zwanzig-Bar-Renditen — jede einzelne, die die Reihe enthält, beginnend an jedem Bar der Reihe nach, was aus sechzig Schlusskursen vierzig davon ergibt statt der zwei, die du bekommst, wenn du sie nicht überlappen lässt —, nimm ihre Varianz, teile durch das Zwanzigfache der Varianz der Ein-Bar-Renditen, und die Antwort ist genau 1, wenn das Gesetz gilt.
Auf dieser Reihe ist sie nicht 1. Sie ist 0,34 bei zwei Bars, 0,40 bei fünf und 0,40 bei zwanzig. Unter 1 heißt, dass die längeren Bewegungen kleiner sind, als die Skalierung vorhersagt, und genau das tut eine Reihe, die ständig dreht: Jeder Bar verbringt einen Teil seiner Bewegung damit, den vorigen rückgängig zu machen, also heben sich die Bewegungen auf, statt sich anzusammeln. Die Ein-Bar-Zahl mit 4,47 auf zwanzig Bars hochzurechnen überzeichnet deshalb die tatsächliche Zwanzig-Bar-Spanne dieser Reihe, deren wahrer Skalierungsfaktor 2,84 beträgt — eine Überzeichnung um den Faktor 1,58.
Neben diesem Ergebnis liegt eine Probe, und sie lohnt sich, weil ein Varianzverhältnis leicht falsch zu berechnen ist. Für zwei Perioden ist die Algebra kurz: Die Varianz einer Zwei-Bar-Rendite ist das Doppelte der Ein-Bar-Varianz mal eins plus der Korrelation zwischen benachbarten Bars, also sollte das Zwei-Bar-Varianzverhältnis gleich eins plus dieser Korrelation sein und sonst nichts. Die Korrelation mit Verzögerung eins beträgt hier minus 0,658, was 0,342 vorhersagt. Die direkte Berechnung ergab 0,344. Das Varianzverhältnis ist keine eigene Diagnose; es ist dieselbe Autokorrelation in anderen Kleidern.
Was von dieser Seite mitgeht, ist der Test und nicht die Zahl. Eine Korrelation mit Verzögerung eins von minus 0,658 ist gewaltig, ein Artefakt einer Reihe, die von Hand gebaut wurde, um auf einem kleinen Chart lesbar zu sein; nichts, was irgendjemand handelt, dreht so verlässlich, denn eine derart zuverlässige Umkehr wäre binnen eines Tages zu Flachheit wegarbitriert. Echte Reihen liegen meist nahe 1 und driften auf langen Horizonten darunter. Worauf es ankommt, ist die Richtung des Fehlers. Unter 1 macht Hochrechnen deine Risikoschätzung zu groß, was dich Größe kostet. Über 1, und das ist es, was eine trendende Reihe erzeugt, macht es die Schätzung zu klein, und das ist die Richtung, die Konten leert.
Die Zahl der Optionskette und die Zahl des Bands
Alles bisher wurde aus einem Band berechnet, das schon geschehen ist. Eine Optionskette notiert ebenfalls eine Volatilität, und das ist ein anderes Tier: ein Preis, gesetzt von Leuten, die Positionen eingehen, für eine Periode, die noch nicht stattgefunden hat. Zwei Dinge folgen daraus, und das erste ist eine Korrektur an der eigenen Arithmetik dieses Moduls.
Lektion 43 hat eine Aktie bei 100 mit einem Straddle zu 6,00 bepreist und die implizite Bewegung sechs Prozent genannt. Als Break-even ist das genau richtig: Der Käufer braucht die Aktie außerhalb des Bandes von 94 bis 106. Aber sechs Prozent sind nicht die Standardabweichung, die die Kette notiert, und sie dafür zu halten pflanzt sich in jeden Stop fort, der daraus abgeleitet wird. Ein Straddle am Geld ist zur erwarteten absoluten Bewegung bepreist und nicht zu einer Standardabweichung, und die erwartete absolute Bewegung beträgt 0,798 einer Standardabweichung. Teile, und die implizite Standardabweichung ist 7,52 Prozent. Die Optionsformel exakt statt über die Näherung zu lösen ergibt 7,5217, die Abkürzung ist also auf vier Stellen gut. Der Break-even liegt bei sechs Prozent, die Volatilität bei 7,52 Prozent, und sie liegen ein Viertel auseinander.
Diese Korrektur klärt einen alten Streit über das Verkaufen von Prämie. Bei einer impliziten Standardabweichung von 7,52 Prozent liegt die Chance, dass die Bewegung den Break-even von sechs Prozent übersteigt, bei 42,5 Prozent. Ein vollkommen fair bepreister Straddle, ohne Vorteil für irgendjemanden, verliert für seinen Käufer also in 57,5 Prozent der Fälle Geld. Die Beobachtung, dass Prämienverkäufer die meisten ihrer Trades gewinnen, ist wahr, ist zu erwarten und ist ein Beleg für nichts. Sie beschreibt die Form des Auszahlungsprofils, und die Tabelle in Lektion 43 hat die andere Hälfte dieser Form gezeigt.
Die zweite Folge ist die Lücke. Die Volatilität, die eine Kette notiert, liegt öfter über der Volatilität, die das Band danach liefert, als darunter, und das ist weder ein Rätsel noch ein Geschenk. Wer diesen Straddle verkauft hat, ist ein Risiko short, das genau dann am meisten schmerzt, wenn alles andere in einem Portfolio ebenfalls schmerzt, und ein Risiko mit diesem Zeitpunkt wird in Rechnung gestellt. Die Asymmetrie ist an den eigenen Zahlen aus Lektion 43 abzählbar: Das beste Ergebnis, das dem Verkäufer offensteht, sind die vollen eingenommenen 6,00, während eine Bewegung von zwanzig Prozent 14,00 kostet, mehr als das Doppelte dieses besten Falls. Ein abgesicherter Verkäufer verdient die Empfindlichkeit des Straddles gegenüber Volatilität mal die Differenz zwischen den beiden Zahlen, und diese Empfindlichkeit ist noch einmal dieselbe 0,798: Ein Straddle ist die erwartete absolute Bewegung und sonst nichts, also bewegt sich sein Preis bei einer Aktie zu 100 Dollar um 0,798 Dollar je Punkt Volatilität. Eine implizite 7,52 gegen eine gelieferte 6,00 genau 1,21 auf 6,00 Einnahme, rund 20 Prozent, und eine gelieferte 9,00 kostet 1,18. Die Prämie ist der Preis dafür, das falsche Ende dieser Asymmetrie zu halten, und kein Rabatt, den jemand hat liegen lassen.
Was dir eine Volatilitätszahl einbringt
Ein Konto von 100.000 Dollar, das 0,5 Prozent je Trade riskiert, also 500 Dollar. Eine Aktie zu 100 Dollar. Ein Stop, zwei tägliche Standardabweichungen entfernt gesetzt, aus dem Indexstand über die obige Umrechnung abgeleitet. Die Stückzahl ist das Risikobudget geteilt durch den Stop-Abstand, und das ist die ganze Rechnung.
| VIX-Stand | Implizierte Tagesbewegung | Stop-Abstand | Stück | Positionswert | Anteil an der obersten Zeile |
|---|---|---|---|---|---|
| 12 | 0,76 % | 1,51 $ | 331 | 33.100 $ | 100 % |
| 16 | 1,01 % | 2,02 $ | 248 | 24.800 $ | 75 % |
| 20 | 1,26 % | 2,52 $ | 198 | 19.800 $ | 60 % |
| 25 | 1,57 % | 3,15 $ | 159 | 15.900 $ | 48 % |
| 30 | 1,89 % | 3,78 $ | 132 | 13.200 $ | 40 % |
| 40 | 2,52 % | 5,04 $ | 99 | 9.900 $ | 30 % |
Die letzte Spalte ist keine Schätzung und keine Faustregel. Sie ist exakt 12 geteilt durch den Stand. Die Stückzahlen sind 500 Dollar geteilt durch den Stop daneben, also dasselbe Verhältnis, getragen von einer ungerundeten 330,72 statt von der gedruckten 331, und der Unterschied taucht genau einmal auf: Bei einem Stand von 20 gibt die Rechnung 198 Stück, wo das Hochskalieren der gedruckten obersten Zeile 199 ergäbe. Die Stückzahl ist umgekehrt proportional zur Volatilität, weil der Stop proportional zur Volatilität ist und das Dollar-Risiko festgehalten wird, und nirgends in dieser Kette steckt ein Urteil. Der Betrag im Risiko sind in jeder Zeile 500 Dollar. Was sich ändert, ist, wie viel Aktie diese 500 Dollar kaufen, und das ändert sich über die Tabelle hinweg um den Faktor 3,3, ohne dass irgendjemand etwas entscheidet.
Zwei Einschränkungen, bevor die Zahl benutzt wird. Der Index ist eine Notierung für einen bestimmten Markt, eine Position in etwas anderem danach zu bemessen unterstellt also, dass sich die beiden gemeinsam bewegen, und das ist eine Annahme mit einer Zahl daran, die Lektion 45 misst. Und Lektion 40 hat festgehalten, dass ein Stop nicht dort ausgeführt wird, wo er steht — auf der eigenen Gap-Reihe jener Lektion wurde er im Median zum Anderthalbfachen seines versprochenen Verlusts ausgeführt. Die 500 Dollar in dieser Tabelle sind das aufgeschriebene Risiko und nicht das bezahlte, und die Lücke zwischen beiden weitet sich mit genau der Größe, die diese Lektion berechnet.
Was sie dir nicht einbringt
Volatilitätstabellen, die dir je Band einen Multiplikator für die Positionsgröße reichen — hier volle Größe, dort halbe, darüber ein Viertel —, tun zwei getrennte Dinge und geben eines davon zu. Die erste Aufgabe ist die Arithmetik von oben, und die Tabelle hat sie schon erledigt. Nimm einen Stand von 17,5 für normale Bedingungen und einen von 22,5 für erhöhte: Allein die Bemessung am Stop bringt die Stückzahl auf 77,8 Prozent des Normalen, ohne dass jemand eine Entscheidung trifft. Bei einem Stand von 27,5 für hohe Furcht geht sie auf 63,6 Prozent. Diese Kürzungen sind kostenlos, in dem Sinn, dass sie vom Stop impliziert werden und nichts kosten, wenn man mit ihnen recht hat.
Eine Bandtabelle, die bei denselben Ständen 50 Prozent und 25 Prozent verlangt, verlangt obendrauf noch etwas anderes: eine weitere Kürzung um 36 Prozent und dann um 61 Prozent, über das hinaus, was die Volatilität schon getan hat. Dieses Mehr ist keine Bemessung. Es ist die Behauptung, dass der Vorteil selbst verfällt, wenn die Märkte ängstlich sind, dass deine Setups also schlechter arbeiten und nicht bloß mehr Raum brauchen.
Die Behauptung mag durchaus stimmen, und für viele Trader tut sie das. Aber sie ist eine andere Art von Behauptung und kostet einen anderen Aufwand, um sie zu belegen. Ein Volatilitätsregime von 1,0 Prozent von einem mit 1,5 Prozent zu unterscheiden, bei derselben Konfidenz und Trennschärfe, die Lektion 41 benutzt hat, kostet 50 Bars in jeder Bedingung. Einen Unterschied von fünf Punkten in der Trefferquote zu unterscheiden kostet 1.560 Trades in jeder Bedingung. Die Behauptung über den Vorteil braucht rund 31-mal so viel Beleg wie die Behauptung über die Volatilität, und fast niemand, der eine Bandtabelle zitiert, hat ihn gesammelt. Die Reihenfolge zählt also. Bemiss immer an der Volatilität, denn das ist Arithmetik und fast umsonst zu prüfen. Kürze wegen verfallenden Vorteils erst, wenn du deine eigenen Trades gezählt hast, und Lektion 41 sagt dir, wie lange dieses Zählen dauert.
Was das nicht klärt
Dass irgendeine dieser Zahlen die Reihe beschreibt. Eine Standardabweichung, die aus einem begrenzten Lauf von Beobachtungen berechnet wurde, ist selbst eine Schätzung mit einer Streuung daran, und die Streuung ist breit. Aus 20 Bars läuft das Intervall zu 95 Prozent vom 0,76-Fachen bis zum 1,46-Fachen der Zahl, die du berechnet hast; aus 60 Bars von 0,85 bis 1,22; aus einem vollen Jahr von 252 von 0,92 bis 1,10. Jede Grenze in jeder Regimetabelle — 20, 25, 30 — liegt bequem innerhalb des Rauschens der Daten eines Monats. Und das noch vor dem gesonderten Problem, dem diese Lektion eine Tabelle gewidmet hat, nämlich dass die Größe sich bewegte, während du sie gemessen hast.
Dass das Varianzverhältnis bei zwanzig Bars irgendetwas entschieden hätte. Sechzig Schlusskurse geben neunundfünfzig Ein-Bar-Renditen und vierzig überlappende Zwanzig-Bar-Renditen, aber sie enthalten weniger als drei unabhängige, und die Stichprobentheorie in der unten zitierten Arbeit von Lo und MacKinlay bepreist das ehrlich. Der Standardfehler des Zwanzig-Bar-Verhältnisses beträgt 0,65, also liegt die oben gedruckte 0,40 gerade 0,9 Standardfehler von der 1 entfernt, die das Gesetz vorhersagt, und das ist überhaupt kein Abstand. Bei zwei Bars beträgt der Standardfehler 0,13, und dieselbe 0,34 liegt fünf Standardfehler draußen. Die Umkehrneigung dieser Reihe ist damit bei zwei Bars belegt und bei zwanzig bloß nahegelegt, was die Überzeichnung um 1,58 zu der Zahl auf dieser Seite macht, auf die ein Leser am wenigsten Anspruch hat. Führe den Test auf dem kurzen Horizont mit jeder Historie durch, die du hast. Auf dem langen Horizont führe ihn nur mit sehr viel mehr durch.
Dass die Verteilung normal ist. Die 0,798, die 0,674 und die 32 Prozent sind Eigenschaften einer Normalverteilung und sonst nichts. Renditen sind nicht normal: Sie tragen dickere Ränder, als die Formel unterstellt, also treten Ereignisse weit von der Mitte häufiger auf, als diese Zahlen nahelegen. Nahe der Mitte ist die Näherung gut und die obigen Schlüsse sind sicher. Draußen am Rand — wo ein Stop übersprungen wird und wo sich ein Short-Straddle entscheidet — ist sie optimistisch, und optimistisch in der Richtung, die Geld kostet.
Dass die Zahlen dieser Reihe irgendjemandes wären. Eine Standardabweichung von 1,50 Prozent pro Bar, hochgerechnet auf eine Sitzung von sechzig Bars und dann auf ein Jahr, annualisiert auf 184 Prozent — rund das Doppelte des äußersten Standes, den der Index je erreicht hat. Die sechzig Bars des Moduls sind eine Lehrreihe, gebaut, um Schwünge auf einem kleinen Chart sichtbar zu machen, und sie sind weit heftiger als alles, was du handeln wirst. Jedes Verhältnis und jeder Mechanismus auf dieser Seite überträgt sich. Keines der Niveaus tut das.
Dass Schlusskurse die besten Daten sind, die du hast. Diese Lektion hat Schlusskurse benutzt, weil Schlusskurse das sind, was jeder hat, und eine Standardabweichung von Schluss zu Schluss wirft alles weg, was innerhalb des Bars passiert ist. Ein Schätzer, der aus dem Hoch und dem Tief jedes Bars gebaut ist, holt aus denselben Daten ein Mehrfaches an Information heraus, was eine brauchbare Zahl aus einem Bruchteil der Historie bedeutet. Das Modul hat Hochs und Tiefs auf allen sechzig Bars, und diese Lektion hat sie nicht benutzt. Wenn du Volatilität ernsthaft und nicht bloß illustrativ schätzt, ist das die erste Verbesserung, die du vornehmen solltest.
Dass sie zu messen dasselbe wäre, wie sie zu prognostizieren. Volatilität ist unter den Marktgrößen ungewöhnlich darin, dass sie anhält — auf ruhige Abschnitte folgen ruhige Abschnitte, und eine Zahl, die aus der letzten Woche berechnet wurde, sagt über die nächste Woche wirklich etwas aus, wie es keine Richtungsmessung tut. Deshalb lohnt sich die Übung überhaupt. Aber Beständigkeit über Tage ist keine Beständigkeit über Monate, die Regimewechsel sind genau das, was die obige Tabelle diese Reihe dreimal in sechzig Bars hat tun sehen, und eine Kette notiert eine Zahl für eine Zukunft, die das Band nicht zu liefern zugesagt hat. Eine gemessene Volatilität sagt dir, wie breit die jüngste Vergangenheit war. Sie ist ein guter Vorgabewert für morgen und ein schlechter für das Quartal.
Aufgaben
- Berechne sie auf deinem eigenen Instrument auf drei Arten. Nimm 60 Schlusskurse. Berechne die Standardabweichung der Log-Renditen pro Bar über die letzten 20, die letzten 40 und alle 60, und schreib die drei Zahlen nebeneinander auf. Weichen sie stärker voneinander ab, als das oben genannte Rauschintervall für 20 Bars erlaubt, hat dein Instrument nicht durchgehend dasselbe getan, und du hast etwas gelernt, was dir keine einzelne Zahl gesagt hätte. Es sind vier Spalten in einer Tabellenkalkulation und kostet einmalig zehn Minuten.
- Mach eine Stückzahl daraus und vergleiche sie mit dem, was du tatsächlich handelst. Rechne deine Zahl pro Bar in eine tägliche Standardabweichung um, setz einen Stop bei zwei davon, teile dein übliches Dollar-Risiko durch diesen Stop-Abstand und lies die Stückzahl ab. Vergleiche sie nun mit der Größe, die du gehandelt hast. Weichen die beiden um mehr als den Faktor zwei voneinander ab, ist eine von beiden falsch, und welche, ist beantwortbar: Zähle, wie oft dein Stop erreicht wird, bevor die Idee, auf die hin du eingestiegen bist, überhaupt die Chance hatte, richtig oder falsch zu sein. Einen Stop innerhalb einer Standardabweichung erreicht das Rauschen etwa in einem Drittel der Fälle.
- Prüfe die Wurzel, bevor du dich auf sie verlässt. Berechne das Varianzverhältnis auf deiner eigenen Reihe für Horizonte von 2, 5 und 20 Bars, und bring für den Zwanzig-Bar-Horizont weit mehr als sechzig Schlusskurse mit, denn auf diesem Horizont enthalten sechzig Schlusskurse weniger als drei unabhängige Beobachtungen. Unter 1 überzeichnet das Hochrechnen einer Ein-Bar-Zahl dein Risiko auf längeren Horizonten, deine Stops sind also weiter, als sie sein müssten, und du handelst kleiner, als du könntest. Über 1 unterzeichnet es, und das ist die gefährliche Richtung und die, die ein trendendes Instrument erzeugt. Das ist die Probe, die fast niemand macht, und sie ist der Unterschied zwischen dem Benutzen und dem Unterstellen des Wurzelgesetzes.
Quellen. Louis Bachelier, „Théorie de la spéculation“ (Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, 1900), für den Ursprung des Wurzel-Zeit-Gesetzes selbst, für Preise hergeleitet, fünf Jahre bevor dieselbe Mathematik für Pollenkörner in Wasser veröffentlicht wurde. Michael Parkinson, „The Extreme Value Method for Estimating the Variance of the Rate of Return“ (The Journal of Business, 1980), für den auf der Spanne beruhenden Schätzer, der aus denselben Bars ein Mehrfaches dessen herausholt, was die hier benutzte Methode von Schluss zu Schluss schafft. Andrew W. Lo und A. Craig MacKinlay, „Stock Market Prices Do Not Follow Random Walks: Evidence from a Simple Specification Test“ (The Review of Financial Studies, 1988), für das Varianzverhältnis, aus dem der oben durchgeführte Test stammt und wo sein Stichprobenverhalten ausgearbeitet wird. Peter Carr und Liuren Wu, „Variance Risk Premiums“ (The Review of Financial Studies, 2009), für die gemessene Lücke zwischen dem, was Ketten notieren, und dem, was Bänder liefern, und für das Argument, dass sie ein Risikopreis ist und keine Fehlbewertung.
Jede Zahl auf dieser Seite gehört zu einem einzigen Instrument. Sobald zwei Positionen offen sind, entscheidet eine zweite Größe darüber, wie viel Risiko wirklich im Buch steckt, und sie ist nicht die Summe der beiden Volatilitäten. Lektion 45 nimmt sich die Korrelation vor: wie sie berechnet wird, warum ihre Zahl sich verschiebt, wenn das Fenster sich verschiebt, genau so wie die dieser Lektion, warum sie ausgerechnet unter den Bedingungen gegen eins klettert, unter denen du das nicht gebraucht hättest, und was sie mit einem Buch aus Positionen macht, von denen jede für sich tadellos bemessen wurde.
Was ein Zeitrahmen ist
Das Fensterproblem in seiner allgemeinen Form, bevor Volatilität ihm zwei Fenster gab.
Lektion lesen →Terminierte Ereignisse
Der Straddle, dessen notierte Bewegung diese Lektion von seiner Standardabweichung trennt.
Lektion lesen →Positionsgrößen
Die Arithmetik, die eine Volatilitätszahl am Ende speist.
Lektion lesen →Korrelation
Was entscheidet, ob zwei korrekt bemessene Positionen in Wahrheit eine Position sind.
Lektion lesen →Nur zu Bildungszwecken. Der Handel ist mit erheblichem Verlustrisiko verbunden. Keine Finanzberatung. Vergangene Wertentwicklung ist keine Garantie für zukünftige Ergebnisse.
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