Der Drawdown, mit dem du rechnen solltest

Woraus ein Drawdown besteht

Ein Drawdown hat zwei Eltern. Das eine ist dein Vorteil, oder dessen Fehlen. Das andere ist die Streuung deiner Trade-Ergebnisse, und die gibt es, ob der Vorteil da ist oder nicht. Jeder Trader im Loch schreibt ihn dem ersten Elternteil zu. Die Rechnung unten sagt, dass fast die ganze Arbeit vom zweiten kommt, und sie sagt es mit einer Überlappung, die du nachmessen kannst, statt mit einem Argument, das du glauben musst.

Hier ist der Prüfstand, vollständig, denn alles auf dieser Seite kommt daraus. Das Ergebnis eines Trades wird aus einer Normalverteilung gezogen, deren Standardabweichung ein R beträgt und deren Mittelwert d ist, der Vorteil, in denselben Einheiten. Der schlimmste Drawdown eines Laufs ist der größte Fall von einem laufenden Hoch auf einen späteren laufenden Stand, wobei das Hoch bei null beginnt — ein Lauf, der nie über seinen Start hinauskommt, hat also trotzdem einen Drawdown. Jede Zahl unten sind 20.000 unabhängige Läufe von 156 Trades ab Startwert 20260903.

Ein R ist auf dieser Seite eine Standardabweichung eines Trades, und das ist nicht das R aus Lektion 18, wo ein Verlierer genau ein R ist und die Streuung der Ergebnisse 1,49 davon beträgt. Die Umrechnung ist eine einzige Division und lohnt sich jetzt, weil sie eine Lektion, die du schon gelesen hast, in diese Tabelle stellt. Das System aus Lektion 18 gewinnt in 45 Prozent der Fälle bei zwei zu eins, macht also 0,35R pro Trade bei einer Standardabweichung von 1,4925R. Teile: sein Vorteil in den Einheiten dieser Seite ist 0,2345, und der landet zwischen der vierten und der fünften Zeile unten.

Der Prüfstand lässt sich außerdem gegen etwas prüfen, das keine Simulation ist. Ganz ohne Vorteil liefert die stetige Zeit einen mittleren schlimmsten Drawdown von der Wurzel aus πT/2, und über 156 Trades sind das 15,65R. Die Simulation gibt 14,53R zurück, und die Lücke ist kein Fehler: ein Weg, der nur einmal pro Trade hinsieht, verpasst die Extreme zwischen den Blicken. Verfeinere auf 256 Blicke pro Trade, und heraus kommen 15,61R.

Wahrer Vorteil, R pro Trade	Glücklichstes Zehntel	Zentralwert	Unglücklichstes Zehntel	Unglücklichstes Hundertstel
0,00, nichts da	7,56	13,26	23,33	33,95
0,05	6,35	10,65	18,59	27,81
0,10	5,51	8,82	14,96	22,57
0,20	4,29	6,52	10,49	15,71
0,30	3,50	5,17	8,03	11,66

Lies sie die Spalten hinunter statt die Zeilen entlang, denn in den Spalten steckt die Lektion. Das glücklichste Zehntel der toten Systeme erreicht 7,56R. Das typische lebende bei einem Zehntel R erreicht 8,82R. Diese beiden Zahlen stehen in der falschen Reihenfolge für die Geschichte, die alle über Drawdowns erzählen, und kein noch so langes Starren auf die eigene Kapitalkurve rückt sie zurecht, weil die Verteilungen, aus denen sie stammen, sich fast über ihre ganze Länge überlappen. Eine Tiefe von acht R liegt bequem im gewöhnlichen Bereich beider.

Mach aus der Tiefe also die einzige Frage, die sich über sie lohnt. Wenn du D im Minus bist, wie viel wahrscheinlicher ist das unter einem toten System als unter einem lebenden? Es ist je eine Überschreitungszählung auf zwei Simulationen, geteilt.

Sechs R: erreicht von 97,0 Prozent der toten Systeme und von 84,6 Prozent der lebenden, ein Verhältnis von 1,15.

Acht R: 87,2 Prozent gegen 59,5 Prozent, ein Verhältnis von 1,47.

Zwölf R: 58,5 Prozent gegen 22,6 Prozent, ein Verhältnis von 2,59.

Zwanzig R: 18,2 Prozent gegen 2,3 Prozent, ein Verhältnis von 7,78.

Ein Verhältnis von 1,47 heißt: acht R im Minus zu stehen multipliziert die Chancen, die du ohnehin schon auf ein totes System gesetzt hattest, mit 1,47, und mit nicht mehr. Es ist ein Beleg, ein schwacher. Zum Handeln reicht er bei weitem nicht, und er ist das Stärkste, was ein Leser in dem Moment hat, in dem er üblicherweise handelt. Die Tiefe, die wirklich etwas entscheiden würde, sind zwanzig R, wo das Verhältnis endlich 7,78 erreicht — und zwanzig R sind eine Tiefe, die zwei von hundert lebenden Systemen erreichen und achtzehn von hundert toten, sodass Warten darauf bedeutet, dass die meisten deiner wirklich toten Systeme sie ebenfalls nie auslösen.

Fast niemand, der je ein System abgeschaltet hat, hat dieses Verhältnis für die Tiefe berechnet, bei der er abgeschaltet hat. Zwei Simulationen und zwei Überschreitungszählungen, und ein Abend reicht für beides.

Das Blatt, das dieses Modul seit Lektion 62 aufbaut, bekommt hier eine sechste Spalte, und das ist die Tiefe, bei der du aufhören wirst, vor dem Start aufgeschrieben. Daneben schreibst du den Anteil der lebenden Systeme, den diese Tiefe verwirft, aus den Überschreitungszahlen oben, denn eine Abbruchregel ohne diesen Anteil daneben ist eine Zahl, die jemand gegriffen hat. In Lektion 70 wird das ganze Blatt auf einmal eingelöst.

Der Test, der die Frage tatsächlich beantwortet

Die Tiefe versagt als Beleg, weil Tiefe beschränkt ist und Belege es nicht sind. Ein Drawdown kann nur so tief werden, bis das Geld weg ist, aber die Zahl der Trades, die du genommen hast, steigt weiter, und jeder einzelne trägt ein wenig Information darüber, welches System du hältst. Hör also auf, das Loch zu vermessen, und fang an, die Trades zu sammeln.

Walds sequenzieller Test führt eine einzige laufende Zahl mit: den Logarithmus davon, wie viel wahrscheinlicher deine Trades unter einem lebenden System sind als unter einem toten. Nach jedem Trade addiert er einen Term. Für ein Ergebnis x, bei einem Test von Mittelwert null gegen Mittelwert d:

L → L + d x − d²/2

Zwei Linien werden vor dem ersten Trade gezogen. Erkläre es für lebend, wenn L auf den Logarithmus von (1 − β) durch α steigt; erkläre es für tot, wenn L auf den Logarithmus von β durch (1 − α) fällt. Bei 5 Prozent Irrtumswahrscheinlichkeit auf jeder Seite sind das +2,9444 und −2,9444, und die Symmetrie folgt daraus, dass die beiden Fehlerraten gleich gewählt wurden; eine Annahme ist sie nicht.

Eine Einsetzung, vollständig. Bei einem Vorteil von einem Zehntel R addiert jeder Trade 0,10x − 0,005 zu L. Die Trades eines lebenden Systems liegen im Mittel bei +0,10, sein mittlerer Schritt ist also 0,10 mal 0,10 minus 0,005, und das sind +0,005. Die Trades eines toten Systems liegen im Mittel bei null, sein mittlerer Schritt ist also −0,005. Jedes läuft mit derselben Geschwindigkeit auf seine eigene Linie zu, und jedes hat 2,9444 zurückzulegen. Teile: 2,9444 durch 0,005 sind 589 Trades. Bei vierzig Trades im Monat sind das 14,7 Monate.

Vorteil, auf den du prüfst	Schritt pro Trade, d²/2	Trades bis zum Urteil	Monate bei vierzig im Monat
0,05	0,00125	2.356	58,9
0,10	0,00500	589	14,7
0,20	0,02000	148	3,7
0,30	0,04500	66	1,6

Die Trade-Zahlen sind aufgerundet, und die Monate teilen die ungerundete Erwartung durch vierzig — darum steht in der letzten Zeile 66 und 1,6 statt 66 und 1,7.

Zieh die beiden Linien jetzt dort, wo ein Trader sie auch sehen kann, nämlich auf dem laufenden Stand in R. L ist eine Gerade in diesem Stand: nach n Trades ist L gleich 0,10 mal dem Stand, weniger 0,005n. Setze L auf jede der beiden Schranken und löse auf, und die beiden Linien sind der Stand gleich n mal d durch zwei, minus und plus 2,9444 geteilt durch d.

Bei 156 Trades, dem Horizont, den Lektion 65 festgelegt hat, liegt die Tot-Linie damit bei −21,6R und die Lebend-Linie bei +37,2R, während ein lebender Vorteil von einem Zehntel R erwartet, +15,6R gemacht zu haben. Beides ist ein zweites Lesen wert. Der Test erklärt ein System erst dann für tot, wenn es 21,6R im Minus steht, und das ist das Zweieinhalbfache des Zentralwert-Drawdowns, den ein lebendes System erzeugt, und tiefer als bei dessen unglücklichstem Zehntel. Und er erklärt es bei +15,6R nicht für lebend, obwohl genau das ein lebendes liefern sollte. Genau dort, wo ein echter Vorteil geleistet hat, was er versprochen hat, hat dieser Test noch immer nichts dazu zu sagen.

Noch eine Linie, und sie ist eine Identität, kein Zufall. Bei 588,89 Trades — der ungerundeten Erwartung, 14,7 Monate weit — liegt die Tot-Linie bei genau null. Die Algebra ist n mal d durch zwei gegen 2,9444 durch d, und bei n gleich zweimal 2,9444 geteilt durch d im Quadrat sind diese beiden Größen dieselbe Zahl, sie heben sich also auf. Bis zum fünfzehnten Monat ist ein System, das dir überhaupt nichts eingebracht hat, noch nicht durchgefallen.

Ein Drawdown misst deine Streuung, nicht deinen Vorteil.

Walds Schranken sind eine Näherung, und eine Näherung kann man prüfen statt glauben. Füttere den Test mit Trades aus einem wahren Vorteil von einem Zehntel R, 20.000 Läufe, Startwert 20260903: er liefert 19.092 mal lebend und 908 mal tot, eine Rate falscher Todesurteile von 4,5 Prozent gegen die 5 Prozent, für die er gebaut wurde. Füttere ihn mit Trades aus gar nichts: 19.035 mal tot und 965 mal lebend, 4,8 Prozent falsch lebend. Der Zentralwert des Urteils kommt bei 435 Trades, der Mittelwert bei 545, beide unter Walds 589, weil die Erwartung von der Minderheit der Läufe hochgezogen wird, die lange umherirren.

Stell das neben die Formel für feste Stichproben aus Lektion 19, die 7,85 geteilt durch das Quadrat des Verhältnisses von Vorteil zu Rauschen verlangte. Bei einem Zehntel R sind das 785 Trades, und gekauft hat sie damit die Aussicht, einen echten Vorteil in vier von fünf Fällen überhaupt zu bemerken. Walds zwei Linien kaufen neunzehn von zwanzig in beide Richtungen und kommen bei einem Zentralwert von 435 zum Urteil. Teile: der sequenzielle Test leistet die strikt bessere Arbeit auf 55 Prozent der Stichprobe, und der Grund ist, dass er aufhört, sobald die Antwort feststeht, statt auf einen Termin zu warten, den jemand vorher gesetzt hat.

Zieh also beide Linien heute Abend auf deiner eigenen Kapitalkurve, vor dem Drawdown, und hör auf, die Tiefe zu lesen.

Was das nicht klärt

Dass Trades unabhängig und normalverteilt sind. Beides trifft auf keinen echten Datensatz zu, und die zwei Fehler zeigen in entgegengesetzte Richtungen. Die Schiefe schmeichelt der Tabelle: nimm die tatsächlichen Ergebnisse aus Lektion 18, +2R und −1R bei 45 Prozent, und der Zentralwert des schlimmsten Drawdowns über 200 Trades ist 9,00R, während der Normal-Prüfstand bei gleichem Mittelwert und gleicher Standardabweichung 9,68R gibt, eine Überschätzung um 7,6 Prozent, weil eine Verteilung mit großen Gewinnern und kleinen Verlierern schneller aus Löchern klettert als eine symmetrische. Die Häufung zeigt in die andere Richtung und ist vermutlich größer: Verluste, die zusammen ankommen, graben tiefer als Verluste, die verstreut ankommen, und davon bildet diese Seite überhaupt nichts ab.

Dass die zweite Nachkommastelle etwas bedeutet. Zwei Dinge stellen sie in Frage, und sie verstärken sich. Ein R ist die Standardabweichung deiner eigenen Trade-Ergebnisse, geschätzt aus demselben kurzen Datensatz, um den du dir Sorgen machst, und auf 156 Beobachtungen liegt ihr eigener Standardfehler bei etwa 5,7 Prozent; jede Tiefe in der ersten Tabelle skaliert mit ihr, die 8,82 sind also 8,82 plus minus ein halbes R, bevor irgendetwas anderes gezählt wird. Die Simulation legt ihr eigenes Wackeln obendrauf: lass diesen Zentralwert unter vier anderen Startwerten laufen, und er landet auf 8,84, 8,83, 8,75 und 8,84. Zwei Nachkommastellen stehen da, weil eine Tabelle ein Format für jede Zelle braucht.

Dass der Test die richtige Hypothese prüft. Walds Verhältnis vergleicht zwei bestimmte Mittelwerte, null und ein Zehntel R, und ein echtes System ist meist keines von beiden. Füttere ihn mit Trades aus einem wahren Vorteil von 0,05 — der Hälfte dessen, worauf er prüft, und immer noch ein völlig echter Vorteil — und er teilt sich fast genau in der Mitte: 49,91 Prozent nennt er lebend und 50,09 Prozent tot, bei einem Zentralwert von 672 Trades. Der Test funktioniert dort nicht falsch. Er wurde nach diesem Fall nie gefragt, und wer ihn bei einem Zehntel R laufen lässt, hat stillschweigend zugestimmt, einen halbierten Vorteil wie einen Münzwurf zu behandeln.

Dass Warten überhaupt möglich ist, und das ist das Zugeständnis, das am meisten kostet. Alles oben sagt, dass die ehrliche Antwort 589 Trades und 14,7 Monate braucht und dass die Tot-Linie am 156-Trade-Horizont bei 21,6R im Minus liegt. Wer bei zwei Prozent pro Trade 21,6R im Minus steht, hat rund ein Drittel des Kontos verloren, und die Rechnung auf dieser Seite sagt ihm, er solle weitermachen. Wie, kann sie ihm nicht sagen, und sie kann es nicht, weil die Frage, ob du durchhältst, eine Frage der Positionsgröße und des Geldes ist und keine der Belege. In Lektion 20 wohnt die Antwort auf das Problem, das diese Lektion diagnostiziert, und diese Seite kann nur sagen, dass Diagnose und Behandlung verschiedene Fächer sind.

Und das eine, das die Tabelle selbst untergräbt: sie ist nach dem wahren Vorteil geordnet, und das ist die einzige Größe, die du nie hast. Deine eigene Zeile kannst du nicht nachschlagen. Vorwärts gelesen ist die Tabelle unbrauchbar. Rückwärts gelesen sagt sie nur, dass keine Tiefe, in der du gerade stecken könntest, irgendeine Zeile ausschließt. Das ist ein dünneres Ergebnis, als fünf Spalten mit Zahlen aussehen lassen, und es ist die ehrliche Fassung dessen, was ein Drawdown dir sagt.

Bleibt der Fall, den diese Seite immer wieder beiseitegeschoben hat, weil er keine der beiden Hypothesen ist, die der Test vergleicht. Lektion 68 nimmt sich einen Vorteil vor, der nicht stirbt, sondern verfällt. Füttere den Test mit einem Zehntel R, das über genau die 589 Trades, die er braucht, linear auf null abklingt, und er erklärt das System in 65,46 Prozent der Fälle für tot und in 34,53 Prozent für lebend, bei einem Zentralwert von 627 Trades — wenn das Urteil fällt, ist das, was geprüft wurde, also längst weg, egal wie es ausfällt.