Was Eile kostet

Market Impact ist keine Strafe dafür, groß zu sein. Er ist der Preis dafür, es eilig zu haben, und die übliche Schätzung sagt das genau: Die Bewegung, die du auslöst, ist die tägliche Volatilität deines Instruments mal der Quadratwurzel aus deiner Order als Anteil am Tagesvolumen. Rechne sie rückwärts, und sie sagt dir, wie viel du handeln kannst, bevor der Impact ein Zehntel Prozent erreicht. Auf den fünf Instrumenten, die Lektion 57 durchgerechnet hat, liegt diese Schwelle bei 358 Millionen Dollar im börsengehandelten Fonds und bei 1.050 Dollar im Micro Cap — eine Spanne von 341.000 zu eins gegen eine Dollarvolumen-Spanne von 24.300 zu eins. Der zusätzliche Faktor 14 ist exakt das Quadrat des Verhältnisses ihrer Volatilitäten. Setz den Impact dann gegen die Uhr, die Lektion 57 bepreist hat, und im Optimum steckt überhaupt keine Volatilität mehr: Die beste Zahl an Sitzungen ist die Quadratwurzel aus der Größe der Order in Volumentagen, geteilt durch das, was du an sicheren Kosten zu zahlen bereit bist, um einen Dollar Risiko loszuwerden.

Voraussetzungen: Lektion 11, die gezeigt hat, dass eine Market-Order, die größer ist als die Tiefe vor ihr, das Buch abläuft und jede Ebene bezahlt, die sie frisst, Lektion 57, für den Fahrplan, die Beteiligungsrate und das Zeitrisiko, das mit der Quadratwurzel der Sitzungen wächst, und Lektion 12, für die Gewohnheit, jede Kostenzahl durch das zu teilen, was das Instrument an einem Tag bewegt, bevor man entscheidet, ob sie groß ist.

Am Boden sind die beiden Terme gleich

Nimm den Small Cap und sieh der Summe zu. Eine Million Aktien zu 30 Dollar, 800.000 Aktien am Tag, 45 Prozent im Jahr, also 2,84 Prozent und 85 Cent am Tag. Die Order ist 1,25 Volumentage. Über eine halbe Sitzung gearbeitet beträgt der Impact 1,34 je Stück und das Risiko 0,60, macht 1,95. Über eine Sitzung 0,95 und 0,85, macht 1,80. Über zwei 0,67 und 1,20, macht 1,88. Über fünf 0,43 und 1,90, macht 2,33. Über die 12,5 Sitzungen, die die Zehn-Prozent-Konvention vorschreibt, 0,27 und 3,01, macht 3,28.

Der Boden liegt bei 1,118 Sitzungen, was die Quadratwurzel aus 1,25 ist, und die Summe dort beträgt 1,798 je Stück. Sieh dir an, was die beiden Terme an dieser Stelle machen: Der Impact ist 0,899 und das Risiko ist 0,899. Sie sind gleich, und nicht durch die Konstruktion genau dieser Zahlen.

Diese Gleichheit ist der brauchbare Teil, weil sie überlebt, wenn die Konstanten es nicht tun. Egal welche Volatilität, egal welches Volumen, egal welche Bereitschaft, für Sicherheit zu zahlen: Der Fahrplan, der die Summe minimiert, ist der, bei dem der gezahlte Impact dem gewichteten Zeitrisiko entspricht, das du trägst. Du musst keine der beiden Konstanten kennen, um das zu nutzen. Schätz beide Terme für den Fahrplan, den du tatsächlich fährst, vergleiche sie, und der größere sagt dir, in welche Richtung du musst: mehr Impact als Risiko heißt zu schnell, mehr Risiko als Impact heißt zu langsam.

Wende es auf die Konvention an, und es geht auf, was der ehrliche Schluss ist. Bei 12,5 Sitzungen beträgt der Impact 0,269 und das ungewichtete Risiko 3,007. Die sind nicht annähernd gleich, also sind 12,5 Sitzungen bei einem Dollar für einen Dollar nicht der Boden — sie kosten 1,478 je Stück mehr, 82 Prozent über dem Minimum. Gewichte das Risiko mit 0,089, der Bereitschaft, die die Konvention unterstellt, und es wird zu 0,269. Wieder gleich. Die Konvention ist optimal — für ein Desk, das einen Dollar Zeitrisiko mit neun Cent bewertet. Ob deins das tut, ist eine Frage über dein Desk und nicht über den Markt.

Was das nicht klärt

Dass der Koeffizient eins ist. Das Gesetz, wie es hier steht, setzt keine Konstante vor den Volatilitätsterm, und veröffentlichte Kalibrierungen setzen dort eine hin, meist irgendwo zwischen einem halben und anderthalb, je nach Markt, Zeitraum und wessen Daten benutzt wurden. Jede Dollarzahl in den beiden Tabellen skaliert linear damit, ein Koeffizient von 0,6 macht die Schwelle des Fonds also auf knapp 1 Milliarde und die des Micro Caps auf knapp 2.900. Was nicht skaliert, ist das Verhältnis zwischen den Zeilen, oder die Identität, dass der zusätzliche Faktor 14,06 das Quadrat des Volatilitätsverhältnisses ist, oder die Form des Abtauschs. Lies die Tabellen auf ihre Spannweite hin, nicht auf ihre Niveaus.

Dass die Bereitschaftszahl eine Messung wäre. Ist sie nicht. Sie ist die eine Stelle in der ganzen Rechnung, an der jemandes Präferenz eintritt, und diese Seite hat sie mit Absicht sichtbar gelassen, statt sie in eine Konstante zu falten. Die veröffentlichten Darstellungen nennen sie Risikoaversion und wählen sie dann, und diese Wahl leistet dasselbe wie die Wahl der 12,5 Sitzungen, die sie rechtfertigen soll. Nichts hier sagt dir, wie deine aussehen sollte.

Dass Impact eine Kostenart wäre, die man zahlt und zurückbekommt. Ein Teil davon ist vorübergehend und läuft zurück, sobald du aufhörst, und ein Teil ist dauerhaft, weil der Markt anhaltenden einseitigen Flow so liest, als wüsste jemand etwas. Die Schätzung hier trennt die beiden nicht, und die Trennung ist wichtig für jeden, der die Position halten wird, denn der dauerhafte Teil ist ein schlechterer Einstiegskurs und der vorübergehende Teil ist eine Bewertung, die du zurücklaufen sehen wirst. Alles auf dieser Seite ist die Summe.

Dass die Volatilität, die man einsetzt, die historische wäre. Die beiden Tabellen benutzen zurückliegende Jahreszahlen geteilt durch die Quadratwurzel aus 252, weil das die Zahl ist, die man bekommt. Die Zahl, die das Gesetz eigentlich will, ist die Volatilität über das Fenster, in dem du handeln wirst, und die beiden laufen genau dann auseinander, wenn es darauf ankommt: rund um Quartalszahlen, Indexänderungen und die Tage, an denen jemand anderes dasselbe Papier arbeitet. Was Lektion 44 über Volatilität als Größe sagt, gilt für diese Eingabe wie für jede andere, und Lektion 43 benennt die Tage, an denen die zurückliegende Zahl genau die falsche ist.

Dass fünf Instrumente eine Verteilung wären. Sind sie nicht. Sie wurden in Lektion 57 ausgewählt, um eine Bandbreite abzudecken, nicht um eine abzubilden, und die Zahl 341.000 zu eins ist eine Aussage über die Endpunkte einer gewählten Bandbreite und nicht über den Markt. Die Identität darunter — dass das Schwellenverhältnis das Volumenverhältnis um das Quadrat des Volatilitätsverhältnisses übersteigt — ist exakt und gilt für zwei beliebige Instrumente. Die 341.000 sind eine Illustration davon.

Und das Zugeständnis, das diese Lektion am meisten kostet: Sie hat das Geschäft bepreist und nicht die Entscheidung. Jede Zahl hier setzt voraus, dass die Position es wert ist, und fragt nur, was das Eingehen kostet. Aber die Größe, ab der der Impact eine Edge auffrisst, ist die Größe, ab der die Position kleiner sein sollte, und das ist eine Portfoliofrage, die diese Seite nicht anfasst. Wer die Small-Cap-Zeile als Ausführungsproblem liest, wird einen Nachmittag mit Algorithmen verbringen. Wer sie als Größenbeschränkung liest, verbringt zehn Minuten damit und kommt weiter. Die Rechnung oben kann dir nicht sagen, welche Lesart deine ist, und die zweite stimmt öfter als die erste.

Aufgaben

1. Finde die Größe, ab der du der große Händler bist. Schreib für die drei Instrumente, die du am meisten handelst, das durchschnittliche Tagesvolumen in Dollar und die tägliche Volatilität in Prozent auf. Teile 0,1 durch die Volatilität, quadriere es und multipliziere mit dem Dollarvolumen. Das ist die Position, ab der dein geschätzter Impact ein Zehntel Prozent erreicht. Vergleiche sie mit der Position, die du tatsächlich eingehst. Zehn Minuten, und bei mindestens einem der drei wird die Antwort unangenehm sein.
2. Miss die tägliche Volatilität, statt sie anzunehmen. Nimm sechzig Tagesschlusskurse, rechne die prozentualen Veränderungen von Bar zu Bar aus und nimm deren Standardabweichung. Auf der Reihe dieses Lehrgangs kommt dabei 1,50 Prozent je Bar heraus, was auf 23,7 Prozent im Jahr hochgerechnet wird. Mach es für dieselben drei Instrumente und prüf die Antworten gegen die Zahl, die deine Plattform anzeigt, denn Plattformen unterscheiden sich im Fenster und darin, ob sie annualisieren. Eine halbe Stunde, und jede Zahl aus der ersten Aufgabe hängt davon ab, dass diese hier stimmt.
3. Prüf die Gleichheit an deinem eigenen Fahrplan. Nimm eine Order, die du tatsächlich in Stücken gearbeitet hast. Rechne den Impact-Term für die Zahl der Sitzungen aus, die du gebraucht hast, dann den Risiko-Term, dann ihr Verhältnis. Ist der Impact größer, warst du zu schnell; ist das Risiko größer, warst du zu langsam; liegen sie nah beieinander, warst du nahe am Boden für die Bereitschaft, die du implizit benutzt hast. Ein Nachmittag, und anders als die Tabellen oben benutzt das dein Instrument, deine Größe und deine Gewohnheiten.

Quellen. Albert Kyle, „Continuous Auctions and Insider Trading“ (Econometrica, 1985), für den dauerhaften Impact als das Einpreisen der Information, die der Markt aus dem order flow schließt — der Term, den diese Seite in eine Summe faltet und nicht trennt. Robert Almgren und Neil Chriss, „Optimal Execution of Portfolio Transactions“ (Journal of Risk, 2000), für den Abtausch zwischen Impact und Zeitrisiko und für den Risikoaversionsparameter, den diese Seite eine Bereitschaft nennt und sich weigert, für dich zu wählen. Robert Almgren, Chee Thum, Emmanuel Hauptmann und Hong Li, „Direct Estimation of Equity Market Impact“ (Risk, 2005), für die Kalibrierung auf echten Orderdaten, woher der Koeffizient stammt, über den sich das erste Zugeständnis beschwert. Jean-Philippe Bouchaud, Doyne Farmer und Fabrizio Lillo, „How Markets Slowly Digest Changes in Supply and Demand“ (Handbook of Financial Markets, 2009), für den Wurzelexponenten über Instrumente und Jahrzehnte hinweg und für die konkurrierenden Erklärungen, warum es überhaupt eine Quadratwurzel sein sollte.

Impact ist der Preis der Geschwindigkeit. Die Schätzung ist die tägliche Volatilität mal der Quadratwurzel aus deiner Order als Anteil am Tagesvolumen, und ihre Umkehrung sagt, wie groß du sein kannst, bevor es beißt: 358 Millionen Dollar in einem Indexfonds, 29.900 in einem Small Cap, 1.050 in einem Micro Cap, wobei die Spanne zwischen den Enden die Volumenspanne um exakt das Quadrat des Volatilitätsverhältnisses übersteigt. Auf der eigenen Reihe dieses Lehrgangs, deren Bars eine Standardabweichung von 1,50 Prozent tragen, kommt die Schwelle bei 0,45 Prozent eines Tages. Setz das gegen die Uhr aus Lektion 57, und im Optimum fallen die Volatilität und der Preis heraus, übrig bleibt die Quadratwurzel aus den Volumentagen der Order über einer Bereitschaftszahl, die eine Präferenz ist und keine Messung — und in diesem Optimum sind der gezahlte Impact und das getragene Risiko exakt gleich, was ein Test ist, den du ohne Kenntnis beider Konstanten fahren kannst. Lektion 60 wendet sich einer Gruppe von Teilnehmern zu, deren Flow überhaupt keine Wahl ist: Händler, die Optionen short sind und Stärke kaufen und Schwäche verkaufen müssen, den ganzen Tag, was immer sie denken.

Nur zu Bildungszwecken. Der Handel ist mit erheblichem Verlustrisiko verbunden. Keine Finanzberatung. Vergangene Wertentwicklung ist keine Garantie für zukünftige Ergebnisse.