الأوزان التي تستطيع حملها

سعّر الدرس 72 دفتراً كل مركز فيه بالحجم نفسه، وترك لهذه الصفحة سؤال كم يدخل في كل واحد. وهذا هو الجواب الذي تعطيه الآلة المعتادة، على قواعد الدرس 71 الأربع وعلى الحركات الثماني والعشرين نفسها: 0.987 وسالب 0.438 وسالب 0.705 و1.156. يقتطع من الانحراف المعياري لليوم 10.65 في المئة، وهو على أربعة مراكز كل منها اثنان في المئة يساوي 0.78 نقطة مئوية من اليوم. ويطلب منك أيضاً أن تبيع على المكشوف اثنتين من قواعدك الأربع، وأن تحمل 3.29 دولاراً من المراكز لكل دولار في الحساب. امنع البيع على المكشوف فيصير الجواب 0.630 و0.370 مع قاعدتين عند الصفر، وهو ما يبقي 59 في المئة من الاقتطاع، ويحمل دولاراً من المراكز لكل دولار في الحساب، وحين يُقدَّر على ثمانية وعشرين يوماً بدل أن يكون معلوماً سلفاً، يعطي في المتوسط يوماً أفضل من الجواب غير المقيّد.

المتطلبات المسبقة: الدرس 72، عن الدفتر متساوي الأوزان الذي تعيد هذه الصفحة ترجيحه، الدرس 71، عن القواعد الأربع وارتباطاتها الستة، و الدرس 12، عن الكلفة التي تكبر مع ما تتداوله.

ما الذي تحويه الدالة الهدف فعلاً

أدنى تباين سطر واحد. خذ مصفوفة التغاير لما تحمله، واعكسها، واضربها في عمود من الآحاد، واقسم على المجموع كي تجمع الأوزان إلى واحد. هذه هي الطريقة كلها، ولها صيغة مغلقة، وأي جدول حسابات ينجزها على أربع قواعد في دقيقة.

w = Σ⁻¹1 / (1′Σ⁻¹1)

اقرأ ما فيها، والأهم، ما ليس فيها. لا عوائد متوقّعة، وهذا مقصود: احتاج الدرس 67 إلى 589 صفقة ليحسم إن كان عُشر R حقيقياً، فتقدير ما ستكسبه كل قاعدة هو أقلّ الأرقام في المبنى موثوقية، والدالة التي تحتاجه ترث ذلك. لا كلفة فيها. ولا قيد فيها البتّة. وستُرجع الصيغة وزناً سالباً بلا تعليق، والسالب يعني بيعاً على المكشوف.

المدخلات هي القواعد الأربع التي اختارها الدرس 71: متوسّط شمعتين في مواجهة خمس، وثلاث في مواجهة عشر، وخمس في مواجهة عشرين، وثماني في مواجهة ثلاثين، على الحركات الثماني والعشرين التي تكون فيها كل قاعدة من شبكة الدرس 63 معرَّفة. وارتباطاتها الستة هي ارتباطات الدرس 71، من 0.6282 إلى 0.9742. وانحرافاتها المعيارية قريبة بعضها من بعض: 0.6375 و0.7218 و0.7265 و0.7032 بالوحدات التي تُرجعها القواعد.

يستحقّ أن نضع أربعة ترجيحات جنباً إلى جنب. الأوزان المتساوية هي ما افترضه الدرس 72. والتباين المقلوب هو ما يقصده معظم الناس بتكافؤ المخاطرة حين يستعجلون: رجّح بواحد على تباين كل قاعدة، وتجاهل الارتباطات تماماً. ثم جواب أدنى تباين مع منع البيع على المكشوف، والجواب نفسه دون أي منع.

الترجيح	الأوزان	المراكز لكل دولار	الانحراف المعياري لليوم	الاقتطاع
متساوية	0.25, 0.25, 0.25, 0.25	1.000	0.64074	—
التباين المقلوب	0.297, 0.231, 0.228, 0.244	1.000	0.63502	0.89%
أدنى تباين، دون بيع على المكشوف	0.630, 0, 0, 0.370	1.000	0.60021	6.32%
أدنى تباين	0.987، −0.438، −0.705، 1.156	3.287	0.57252	10.65%

ابدأ بحجم الخلاف. المسافة كلها من الصفّ الأعلى إلى الأسفل هي 0.06822، مقابل نقطة انطلاق 0.64074. كل ما لدى بناء المحافظ ليقوله عن هذا الدفتر، من أفظّ قاعدة إلى الأمثل الدقيق محسوباً والأجوبة في اليد، يساوي 10.65 في المئة من الانحراف المعياري لليوم. وعند اثنين في المئة للمركز وعند متوسّط الارتباط 0.7887 الذي يعطيه الدرس 71 لهذه الأربع، تجعل الأوزان المتساوية اليوم 7.339 في المئة ويجعله الأمثل 6.557 في المئة. والجائزة كلها ثمانية أعشار نقطة مئوية في اليوم. تستحقّ أن تُؤخذ ولا تستحقّ عناءً كبيراً، ومعرفة أيّ الاثنتين هي قبل أن تبدأ هي معظم ما وُجدت هذه الصفحة له.

ثم اقرأ الصفّ الثاني، لأنه الذي يشغّله الناس فعلاً. يجمع التباين المقلوب 0.89 في المئة من الـ10.65 المتاحة، أي جزءاً من اثني عشر. ويفشل لأن الانحرافات المعيارية الأربعة متقاربة إلى حدّ أن الترجيح بها لا يحرّك شيئاً تقريباً، ولأن الجائزة كلها في هذا الدفتر تسكن في الارتباطات. والترجيح الذي يتجاهل الارتباطات على مجموعة قواعد تمتدّ ارتباطاتها من 0.63 إلى 0.97 يحلّ مشكلة لا يعاني منها هذا الدفتر.

ثم الاثنان اللذان يهمّان. الجواب غير المقيّد يقتطع من اليوم 4.33 نقطة مئوية إضافية، فينقل الاقتطاع من 6.32 في المئة إلى 10.65، ويشتري ذلك بساقين قصيرتين مجموعهما 1.143 وبمركز إجمالي قدره 3.287 دولاراً لكل دولار في الحساب. أما القيد فيكلّف خُمسَي الجائزة ويزيل الرافعة كلها.

يكاد لا أحد يكون قد حسب الاثنين. فالرقم غير المقيّد هو ما يُرجعه افتراضياً كل كتاب مدرسي وكل مكتبة برمجية، والمقيّد يبعد أربعة أسطر، والفرق بينهما هو الفرق بين محفظة تستطيع وصفها ومحفظة تستطيع حملها.

بطاقة الوحدة 9 تكسب عموداً ثالثاً، وهو الوزن الذي تعطيه هذه الصفحة لكل قاعدة، مكتوباً مرتين: مرة كما يُرجعه المحسّن، ومرة مع منع البيع على المكشوف. والدرس 75 هو حيث تُنفق البطاقة كلها دفعة واحدة.

ما تستطيع ثمانية وعشرون يوماً دفعه

خرجت الأوزان أعلاه من عشرة أرقام، أربعة تباينات وستة تغايرات، قُدّرت من ثماني وعشرين ملاحظة. وهذا ليس قليلاً بداهةً وليس كافياً بداهةً، فقِسه بدل أن تتجادل فيه.

عامل التغاير المقيس أعلاه كأنه الحقيقة. اسحب منه T ملاحظة، وطابق المحسّن على السحب كأنه كل ما لديك، ثم قيّم الأوزان الناتجة في مواجهة الحقيقة التي انطلقت منها. والفجوة بين التقييم والأمثل الحقيقي هي خطأ التقدير، وهو الشيء الوحيد الذي تحويه هذه التجربة. عشرون ألف سحبة عند كل T، من البذرة 20260905، بحيث يستقرّ العمود الثالث إلى عُشر نقطة والرابع إلى عُشرين.

الملاحظات	الانحراف المعياري الذي تسلّمه الأوزان المطابَقة فعلاً	حصة الجائزة التي تصل	يتفوّق على الجواب دون بيع على المكشوف
28	0.60798	48.0%	50.4%
60	0.58781	77.6%	85.6%
125	0.57960	89.6%	99.1%
250	0.57594	95.0%	100.0%
1,000	0.57338	98.7%	100.0%

الصفّ الأول هو الحكم الصادق على الأوزان التي افتتحت بها هذه الصفحة. فحين يُطابَق على ثماني وعشرين ملاحظة، يسلّم المحسّن غير المقيّد 0.60798 بدل 0.57252 التي يطبعها، أي 48.0 في المئة من الجائزة بدل الجائزة كلها. ومع ذلك يتفوّق على الأوزان المتساوية، وبفارق مريح: على هذا الدفتر ليس المحسّن خطأً، والزعم الشائع بأن القسمة على N تفوز دائماً ليس ما يقوله الحساب.

العمود الرابع هو النتيجة، ويجب أن يُقرأ في مقابل الثاني. حين يُطابَق على ثماني وعشرين ملاحظة، يتفوّق الجواب غير المقيّد على المقيّد في 50.4 في المئة من السحوبات، أي رمية عملة، بينما يسلّم في المتوسط 0.60798 مقابل 0.60021 التي يسلّمها القيد دون أي تقدير على الإطلاق. الأوزان التي لا تستطيع حملها تفوز في نصف الحالات، وتخسر في المتوسط، وتحمل في الحالتين ثلاثة دولارات من المراكز لكل دولار. ويلزم ستون ملاحظة قبل أن يفوز الجواب غير المقيّد خمس مرات من ست، و125 قبل أن يفوز دائماً تقريباً، و125 ملاحظة يومية هي ستة أشهر من الإغلاقات.

والآن انظر إلى الأوزان نفسها بدل ما تسلّمه. أعد سحب الأيام الثمانية والعشرين مع الإرجاع أربعة آلاف مرة من البذرة 20260906، وأعد المطابقة، واقرأ النتائج التسعين الوسطى من كل مئة:

2-و-5، المطابَق عند 0.987: يقع بين 0.724 و1.316.

3-و-10، المطابَق عند سالب 0.438: يقع بين سالب 0.881 وسالب 0.043.

5-و-20، المطابَق عند سالب 0.705: يقع بين سالب 1.381 و0.081، ويكون موجباً في 6.6 في المئة من عمليات إعادة السحب.

المركز الإجمالي، المطابَق عند 3.287: الوسيط 3.194، وفوق ثلاثة دولارات لكل دولار في الحساب في 63.9 في المئة من عمليات إعادة السحب.

الانحراف المعياري الذي تسلّمه تلك الأوزان مستقرّ. أما الأوزان فليست كذلك. ووزنٌ قدره سالب 0.705 تمتدّ عمليات إعادة سحبه من سالب 1.381 إلى موجب 0.081 ليس قراراً بشأن قاعدة، بل هو رواسب عشرة تقديرات تتنازع ثمانية وعشرين يوماً، وطباعته بثلاث خانات هي الجزء الذي يُضلّل. ثم إن 153 من أصل أربعة آلاف عملية إعادة سحب أعطت مصفوفة تغاير بلا معكوس أصلاً، أي أن الطريقة في قرابة سحبة واحدة من كل خمس وعشرين من أيامك أنت لا تُرجع جواباً خاطئاً، بل لا تُرجع شيئاً.

وهنا يستحقّ القيد مكانه، وهو يفعل أكثر من حمايتك من الرافعة. فمنع الأوزان السالبة قريب حسابياً من الإقرار بأن التغاير مقيس قياساً رديئاً وجرّه نحو شيء أبسط: قلّص تغاير هذا الدفتر إلى منتصف الطريق نحو متوسّط الارتباط الواحد الذي استعمله الدرس 72، فيُرجع المحسّن مركزاً إجمالياً قدره 1.205 وانحرافاً معيارياً قدره 0.59512، مقابل 1.000 و0.60021 عند القيد. إقراران مختلفان بالجهل نفسه، ينزلان على بُعد واحد في المئة أحدهما من الآخر في اليوم وخُمس دولار في المركز.

والجواب المقيّد يضع 5-و-20 عند الصفر، وهي بالضبط القاعدة التي قال لك الدرس 71 أن تحذفها لأن ارتباطها بالبقية هو الأعلى. هدفان مختلفان، أحدهما مقيس على الارتباطات والآخر على التباين، يختاران القاعدة نفسها للإزالة.

فشغّل المحسّن مع منع البيع على المكشوف، وخذ الـ6.32 في المئة التي يستطيع حملها بدل الـ10.65 التي لا يستطيع.

ما لا يحسمه هذا

أن أدنى تباين هو الهدف. هو الهدف الذي يطلب أقلّ شيء، لا الهدف الذي تريده. لا شيء فيه يعرف أي قاعدة تكسب المال، فالقاعدة الهادئة عديمة القيمة تجمع وزناً لأنها هادئة. وكل عتبة في هذه الدورة تنطبق على كل قاعدة قبل أن تنطبق أوزان هذه الصفحة على المجموعة: عارضة الدرس 64، واختبار الدرس 67، وشرط المرشّح في الدرس 70. وترجيح دفتر من أربع قواعد ميتة على أدنى تباين ينتج طريقة مستقرّة جداً لخسارة المال.

أن الـ10.65 في المئة مجانية. المركز الإجمالي يمضي من دولار إلى 3.287، وكل كلفة تكبر مع ما تتداوله تكبر معه: فارق الدرس 12 في الدخول والخروج، وأثر الدرس 59 في الدخول، وسَعة الدرس 68 على الحجم الذي تستطيع حمله أصلاً. والدالة الهدف لا تحوي أياً منها، فتشتري عن طيب خاطر ثمانية أعشار نقطة مئوية من الانحراف المعياري اليومي مقابل مضاعفة الفاتورة ثلاث مرات. وفي صندوق الدرس 12 تستحقّ تلك الصفقة بوضوح، وفي السهم الصغير جداً لا تستحقّ بوضوح، والصيغة لا تفرّق بينهما لأنها لم تُعرض عليها الأسعار قطّ.

أن المحاكاة تقيس الخطأ كله. إنها لا تقيسه، وهي تجامل المحسّن بحكم بنائها. فالحقيقة التي تسحب منها هي التغاير نفسه الذي أنتجته الأيام الثمانية والعشرون، فما يسعّره الجدول هو خطأ التقدير لا غير. ولا يقول شيئاً عن كون التغاير خاطئاً من الأساس، وتلك هي المشكلة الأكبر وهي مشكلة الصفحة التالية.

أن أربع قواعد هي الحالة الصعبة. بل هي السهلة. عشرة معاملات من ثماني وعشرين ملاحظة أمر غير مريح؛ وعشرون قاعدة تعني 210 معاملات من الأيام الثمانية والعشرين نفسها، وعند ثماني وعشرين قاعدة يفقد المصفوف المقيس معكوسه تماماً، فلا يُرجع المحسّن جواباً سيئاً بل لا يُرجع جواباً أصلاً. وعدد المعاملات يكبر بمربّع عدد القواعد ولا تكبر البيانات معه، ولهذا فإن كل معالجة احترافية لهذه المشكلة تدور حول تقليص المصفوف أو تقييده أو تحليله إلى عوامل، لا حول عكس ما قِسته.

أن الأوزان قرار بشأن القواعد. إنها قرار بشأن هذا الدفتر في هذه الأيام. أضف قاعدة خامسة فتتحرّك الأوزان الأربعة كلها، لأن الدالة الهدف لا تعرف شيئاً عن جدارة القاعدة في ذاتها، بل عن إسهامها في مجموعة بعينها. ولذلك يكون العمود الثالث في البطاقة أقلّ ما فيها قابلية للنقل، ولذلك يُكتب مرتين، ولذلك تكون الكتابة الثانية هي التي يُعمل بها.

والتنازل الأغلى ثمناً: عاملت هذه الصفحة التغاير كأنه شيء واحد مقيس على نافذة واحدة، وهو ليس شيئاً واحداً. اقسم الحركات الثماني والعشرين نفسها نصفين، فيكون متوسّط الارتباط بين القواعد الأربع 0.5673 في الأربع عشرة الأولى و0.9247 في الأربع عشرة الأخيرة، وتكون الأوزان المطابَقة على النصف الأول 0.308 و0.225 وسالب 0.731 و1.197 بدل 0.987 وسالب 0.438 وسالب 0.705 و1.156. وفي الأربع عشرة الأخيرة الأمر أسوأ من عدم الاستقرار: ثلاث من القواعد الأربع تحمل المركز نفسه في كل يوم من تلك الأيام، وارتباطاتها تساوي واحداً بالضبط، ومصفوفة التغاير ليس لها معكوس البتّة. من هناك يبدأ الدرس 74، من نصف بياناتك أنت الذي لا تعمل عليه آلة هذه الصفحة.

تمارين

1. رجّح دفترك أنت بطريقتين. خذ العوائد اليومية للقواعد التي تشغّلها، وابنِ مصفوفة التغاير في جدول حسابات، واحسب أوزان أدنى تباين مع حدّ أدنى عند الصفر ودونه. نصف ساعة، وتخرج بمجموعتَي أوزان ورقم واحد: الفرق في الانحراف المعياري لليوم بينهما، وهو ما تتقاضاه الساق القصيرة.
2. سعّر الجائزة قبل أن تجري وراءها. احسب الانحراف المعياري لدفترك عند الأوزان المتساوية وعند الأمثل غير المقيّد، وخذ النسبة. عشر دقائق، وتخرج برقم واحد: أقصى ما تستطيع إعادة الترجيح أن تفعله لك يوماً، تقارنه بالـ10.65 في المئة في هذه الصفحة وبمقدار ارتفاع كلفك عند المركز الإجمالي للأمثل.
3. أعد سحب أوزانك أنت. اسحب أيامك أنت مع الإرجاع، وأعد مطابقة الأوزان، وافعل ذلك مئتَي مرة. أمسية واحدة، وتخرج برقم واحد لكل قاعدة: حصة عمليات إعادة السحب التي يكون فيها وزنها سالباً، وأي قاعدة تقترب حصتها من النصف لم تنل وزناً من بياناتك.

المصادر. Harry Markowitz، «Portfolio Selection» (The Journal of Finance، 1952)، عن الهدف الذي تحسبه هذه الصفحة، وعن الملاحظة التي قيلت منذ البداية وتُنسى عادةً، وهي أن مدخلاته تقديرات. Richard O. Michaud، «The Markowitz Optimization Enigma: Is Optimized Optimal?» (Financial Analysts Journal، 1989)، عن الحجّة القائلة إن المحسّن يعظّم الأخطاء في مدخلاته مع كل شيء آخر، وهي الجدول الثاني مقروءاً في جملة واحدة. Ravi Jagannathan و Tongshu Ma، «Risk Reduction in Large Portfolios: Why Imposing the Wrong Constraints Helps» (The Journal of Finance، 2003)، عن النتيجة القائلة إن منع المراكز المكشوفة يكافئ تقليص مصفوفة التغاير، ولهذا ينزل الجواب المقيّد والجواب المقلَّص هنا في المكان نفسه. Victor DeMiguel, Lorenzo Garlappi و Raman Uppal، «Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient Is the 1/N Portfolio Strategy?» (The Review of Financial Studies، 2009)، عن نوافذ التقدير التي تحتاجها محفظة مُحسَّنة قبل أن تتفوّق على الأوزان المتساوية، وهي العمود الثالث من الجدول الثاني منجزاً كما ينبغي وعلى نطاق واسع.

كلٌّ منها معرَّف في المسرد إزاء الحساب الوارد في هذه الصفحة.

Minimum Variance

لأغراض تعليمية فقط. ينطوي التداول على مخاطر خسارة كبيرة. هذه ليست نصيحة مالية. الأداء السابق لا يضمن النتائج المستقبلية.